y v 0, 0, 1 y v 1, 0, 1 se tiene la ecuación

Transcripción

1 SUPERFICIES Mostraremos varios métodos para generar superficies y encontrar sus ecuaciones. 1. Superficies cilíndricas Dada una curva en el plano de ecuación y un vector con Γ 0, es decir, no horizontal, la recta O P O P 0 t v cuando P 0 varía en la curva describe una superficie llamada superficie cilíndrica. La curva se llama directriz y las rectas O P se llaman generatrices del cilindro. Si escribimos la ecuación destacando las coordenadas x, y, z x 0, y 0, z 0 t Α, Β, Γ y eliminamos los parámetros x 0, y 0, z 0, t nos queda la ecuación cartesiana del cilindro. Ejemplo 1. Si la directriz es la circunferencia: x2 y z 0 y v 0, 0, 1 se tiene el cilindro común. Su ecuación cartesiana es x 2 y ParametricPlot3D CosΘ, SinΘ, t, t, 1, 1, Θ, 0, 2Π; Ejemplo 2. Si la directriz es nuevamente la circunferencia x2 y z 0 se tiene un cilindro inclinado. Su ecuación paramétrica es y v 1, 1, 1 x, y, z cos Θ, sen Θ, 0 t 1, 1, 1 y eliminando Θ y t obtenemos la ecuación cartesiana del cilindro. x z 2 y z 2 0 ParametricPlot3D CosΘ t, SinΘ t, t, t, 1, 1, Θ, 0, 2Π; Ejemplo 3 Si la directriz es la parábola z y2 0 x 0 x, y, z 0, y 0, y 0 2 t 1, 0, 1 y v 1, 0, 1 se tiene la ecuación Eliminando los parámetros, obtenemos la ecuación cartesiana Plot3Dx y 2, x, 0, 4, y, 2, 2; Ejercicio Una ecuación a la que le falta una variable representa en el espacio una superficie cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la variable faltante.

2 2 TEO superficies.nb Por ejemplo f x, z 0 es una superficie cilíndrica con vector v 0, 1, 0. Dibujar las superficies y. 2. Superficies cónicas Dado un punto y una curva que no lo contiene, la recta O P O V t V P 0 cuando P 0 recorre la curva describe una superficie llamada superficie cónica. El punto V se llama vértice del cono y la curva su directriz. Si destacamos las coordenadas x, y, z a, b, c t x 0 a, y 0 b, z 0 c y eliminamos los parámetros x 0, y 0, z 0, t obtenemos la ecuación cartesiana del cono. Ejemplo 1. Tomamos el vértice en el origen y la directriz x2 y Parametrizamos la directriz y obtenemos la ecuación vectorial paramétrica x, y, z t cos Θ, sen Θ, 1 Eliminando Θ, t queda la ecuación cartesiana. x 2 y 2 z 2 Este es el cono recto usual. ParametricPlot3D t CosΘ, t SinΘ, t, Θ, 0, 2Π, t, 2, 2; Ejemplo 2 El vértice en el origen y la elipse x2 16y La ecuación paramétrica del cono es y la ecuación cartesiana : x, y, z t cos Θ, 1 1 sen Θ, 1 4 como directriz. ParametricPlot3D t CosΘ, t 1 SinΘ 1, t, Θ, 0, 2Π, t, 0, 1; 4 Ejemplo 3 Vértice en el origen y directriz 2y x2 0 El cono tiene ecuación 2y z x 2. ParametricPlot3D t s, 1 2 t s2, t, s, 3, 3, t, 1, 1; Homogeneidad de la ecuación Si un cono tiene vértice en el origen se verifica que:

3 TEO superficies.nb 3 si x, y, z pertenece al cono entonces t x, t y, t z también para cada t Por lo tanto su ecuación cartesiana f x, y, z 0 goza de la siguiente propiedad: si f x, y, z 0 entonces f t x, t y, t z 0 para cada número t En los tres ejemplos anteriores las ecuaciones son x 2 y 2 z 2 0 ; x 2 16y z 2 z 2 0 ; x 2 2y z 0 que tienen esa propiedad. Se dice que estas ecuaciones son homogéneas de grado 2. En general una función f x, y, z se dice homogénea de grado k si f t x, t y, t z t k f x, y, z Por ejemplo: x 2 y z es homogénea de grado 0 y 2 2 2z x 3 4x y 2 x z 2 es homogénea de grado 3 pero x 2 3x y y 3 no es homogénea En general la ecuación de un cono con vértice en el origen es homogénea. Recíprocamente, una ecuación homogénea representa un cono con vértice en el origen. Ejemplo 4. La ecuación homogénea en el origen y directriz x2 2x y y 0 representa un cono de vértice que es una hipérbola. Ejemplo 5. El vértice en el origen y como directriz consideramos una curva en el cilindro vertical x 2 y 2 1. Para ello elegimos una función periódica hθ y la curva cos Θ, sen Θ, hθ Por ejemplo, para hθ sen 2 Θ. ParametricPlot3D CosΘ, SinΘ, Sin2Θ, Θ, 0, 2Π; La ecuación paramétrica del cono es x, y, z t cos Θ, sen Θ, sen 2Θ o sea x t cos Θ, y t sen Θ, z t sen 2Θ 2 t sen Θ cos Θ Luego x 2 y 2 t 2 y z 2 y x y de aquí obtenemos la ecuación cartesiana t z 2 x 2 y 2 4x 2 y 2 0 que es homogénea de grado 4

4 4 TEO superficies.nb ParametricPlot3D tcosθ, SinΘ, Sin2Θ, Θ, 0, 2Π, t, 0, 1, PlotPoints 50; Para se tiene la ecuación del cono ParametricPlot3D tcosθ, SinΘ, Sin3Θ, Θ, 0, 2Π, t, 0, 1, PlotPoints 50; 3. Superficies de revolución Dada una curva en un plano y una recta en ese plano, al hacer girar la curva alrededor de la recta se genera una superficie que se llama superficie de revolución. Ejemplo 1 Hacemos girar la parábola alrededor del eje. Obtenemos la superficie siguiente: ParametricPlot3D x, x CosΘ, x SinΘ, Θ, 0, 2Π, x, 0, 4, PlotPoints 50; Método para encontrar la ecuación. Hacemos girar la curva de ecuación f x, z 0 alrededor del eje x. Para encontrar la ecuación cartesiana de esta superficie de revolución hacemos así. Sea Px, y, z un punto de la superficie que está en la circunferencia descripta por el punto P'x, 0, z' de la curva : f x, z' 0. Esa circunferencia tiene radio z' y por lo tanto y 2 z 2 z' 2. Luego f x, y 2 z 2 0 es la ecuación buscada. Los puntos de la superficie son aquéllos que verifican esta ecuación. Si hacemos girar la curva f x, z 0 alrededor del eje z, por un razonamiento similar obtenemos que la ecuación de la superficie de revolución es f x 2 y 2, z 0. Ejemplo 1 Si hacemos girar la parábola z 2 x 0 alrededor del eje x, la ecuación de la superficie de revolución es y 2 z 2 x 0. Se llama "paraboloide de revolución". El punto P 2, 1, 1 está en la superficie pues verifica la ecuación. El punto Q 1, 0, 2 no está en ella. Ejemplo 2 Si hacemos girar la parábola z 2 x 0 alrededor del eje z obtenemos la superficie de ecuación z 2 x 2 y 2 0 ó z 4 x 2 y 2 0 que es una ecuación de grado 4. ParametricPlot3D r 2 CosΘ, r 2 SinΘ, r, Θ, 0, 2Π, r, 2, 2, PlotPoints 50; Ejemplo 3 Al girar la elipse 4x 2 9z 2 1 alrededor del eje x se genera la superficie de ecuación 4x 2 9y 2 9z 2 1 que se llama "elipsoide" de revolución.

5 TEO superficies.nb 5 ParametricPlot3D 1 2 CosΘ, 1 3 SinΘ Cosφ, 1 SinΘ Sinφ, 3 Θ, 0, 2Π, φ, 0, 2Π, PlotPoints 50; Ejemplo 4 Hacemos girar la hipérbola x 2 z 2 1 alrededor del eje x que es su eje focal. La ecuación es y la superficie se llama "hiperboloide de dos hojas" de revolución. ParametricPlot3D 1 r 2, r CosΘ, r SinΘ, 1 r 2, r CosΘ, r SinΘ, Θ, 0, 2Π, r, 0, 2, PlotPoints 50; Ejemplo 5 Hacemos girar la hipérbola x 2 z 2 1 alrededor del eje z que es perpendicular a su eje focal. La ecuación es x 2 y 2 z 2 1 y la superficie se llama "hiperboloide de una hoja" de revolución. ParametricPlot3D r CosΘ, r 2 1, r SinΘ, r CosΘ, r 2 1, r SinΘ, Θ, 0, 2Π, r, 1, 2, PlotPoints 50; Ejemplo 4 Directriz la circunferencia unidad cos Θ, sen Θ, 0, 0 Θ 2Π, en el plano z 0. Vector en cada punto de la directriz v Θ sen Θ, cos Θ, 1 Observamos que se proyecta en el tangente a la circunferencia sen Θ, cos Θ, 0 ) La ecuación vectorial paramétrica de la superficie es x, y, z cos Θ, sen Θ, 0 t sen Θ, cos Θ, 1 Igualamos las componentes y eliminamos los parámetros Θ, t : x cos Θ t sen Θ, y sen Θ t cos Θ, z t x 2 y 2 1 z 2 que es la ecuación de un hiperboloide de una hoja de revolución. ParametricPlot3D CosΘ t SinΘ, SinΘ t CosΘ, t, Θ, 0, 2Π, t, 2, 2, PlotPoints 50; Elipsoide x 2 y2 z2 1 c 2 i) La intersección con cada eje coordenado es un par de puntos que determina un eje del elipsoide. ii) La traza con cada plano coordenado es una elipse. iii) Es simétrica respecto del origen y de cada plano coordenado. iv) La sección con un plano x k es una elipse si k a, un punto si k a, y es vacío si k a. Similarmente con planos paralelos a los otros planos coordenados. v) La superficie está entonces confinada al paralelepípedo:

6 6 TEO superficies.nb x a, y b, z c ParametricPlot3D 2 CosΑ CosΒ, 3CosΑ SinΒ, SinΑ, Α, 0, 2Π, Β, 0, Π, PlotPoints 50; Hiperboloide de una hoja i) La intersección con el eje x es un par de puntos, lo mismo que con el eje y. No interseca al eje z. ii) Las secciones con los planos z k son elipses. Las secciones con los planos x k y con los planos y k son hipérbolas. iii) Es simétrica respecto del origen y de los planos coordenados. iv) Está situada fuera del cilindro x 2 y2 v) Si a b es de revolución de una hipérbola. Siempre es reglada. 1 y no es acotada. ParametricPlot3D 2 Cosha Cosb, 3Cosha Sinb, Sinha, a, 1, 1, b, 0, 2 Π, PlotPoints 50; Hiperboloide de dos hojas x 2 y2 z2 1 c 2 i) Interseca al eje x en un par de puntos. No interseca ni al eje y ni al eje z. ii) La traza con el plano y 0 y con el plano z 0 es una hipérbola. No interseca al plano coordenado x 0. iii) Es simétrica respecto del origen y de los planos coordenados. iv) La sección con el plano x k es vacía si k a, un punto si k a, y una elipse si k a. La sección con el plano y k es una hipérbola. La sección con el plano z k es una hipérbola. v) La superficie está situada en x a y no es acotada. vi) Si b c es de revolución de una hipérbola. ParametricPlot3D Cosha, 2Sinha Sinb, Sinha Cosb, Cosha, 2Sinha Sinb, Sinha Cosb, a, 1, 1, b, 0, 2 Π, PlotPoints 50; Paraboloide elíptico z x2 y2 i) Interseca a cada uno de los ejes coordenados en el origen. ii) Interseca al plano x 0 en una parábola lo mismo que al plano y 0. Interseca al plano z 0 en el origen. iii) No tiene centro de simetría. Es simétrica respecto del plano x 0 y del plano y 0. iv) La sección con x k es una parábola. La sección con y k es una parábola. La sección con es vacía si, el origen si y una elipse si.

7 TEO superficies.nb 7 v) Está confinada en el semiespacio z 0 y no es acotada. vi) Si a b es de revolución de una parábola. ParametricPlot3D r Cosa, 2 r Sina, r 2, r, 0, 1, a, 0, 2Π, PlotPoints 50; Paraboloide hiperbólico z x2 y2 i) La intersección con cada uno de los ejes coordenados es el origen. ii) La traza con el plano x 0 es una parábola invertida. La traza con el plano y 0 es una parábola hacia arriba. La traza con el plano z 0 es un par de rectas que se cortan en el origen. iii) No tiene centro de simetría. Es simétrica respecto del plano x 0 y del plano y 0. iv) La sección con x k es una parábola hacia abajo. La sección con y k es una parábola hacia arriba. La sección con z k es una hipérbola si k 0. Todas estas hipérbolas tienen las mismas asíntotas: y ± b a x. v) No es acotada. Es reglada. Se conoce como "silla de montar". La graficamos y luego vemos el corte con el plano que es una hipérbola. Plot3D3x 2 2y 2, x, 1, 1, y, 1, 1, PlotPoints 50; Plot3D1, x, 1, 1, y, 1, 1; Show, ;