4 Superficies regulares

Transcripción

1 4 Superficies regulares Una superficie en R 3 se puede decir que es, de forma intuitiva, un subconjunto en R 3 donde en cada punto podemos encontrar una porcin de plano que ha sido deformada de forma suave. Por lo general, una superficie puede definirse como la contraimagen de una aplicación de clase C bajo ciertas propiedades. Sea U R 3 un abierto de R y F : U R una función cuyas componentes son todas de clase C en U. Consideramos c R, tal que el conjunto S = {(x, y, z R 3 : F (x, y, z = c} no es vacío y además verifica que para todo P = (x 0, y 0, z 0 S, ( F F F (P, (P, x (P (0, 0, 0. Entonces S es una superficie regular. Ejemplo: El conjunto S = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 1} es la superficie dada por la esfera de centro (0, 0, 0 y radio 1. Para comprobarlo, basta tener en cuenta que S no es un conjunto vacío pues el punto (1, 0, 0 S. Además, si P = (x 0, y 0, z 0 es un punto en S y llamamos F (x, y, z = x + y + z, para que ocurriera que ( F F F (P, (P, x (P = (x 0,, y 0, z 0 = (0, 0, 0, debera ser (x 0, y 0, z 0 = (0, 0, 0, pero esto no puede ocurrir cuando P S ya que x 0 + y 0 + z 0 = 1. Otra forma forma de definir una superficie es a partir de parametrizaciones. Una superficie, desde el punto de vista de las parametrizaciones, es un conjunto S R 3 que verifica que para cada punto P S, ciertos puntos en S que rodean a P vienen dados por la imagen de una parametrización X : U R 3, (u, v X(u, v S 1

2 que cumple que X(U es homeomorfo a U (moldeando adecuadamente U obtenemos X(U y además que si X(u, v = (x(u, v, y(u, v, z(u, v, entonces x (u x u 0, v 0 (u v 0, v 0 rango y (u y u 0, v 0 (u v 0, v 0 =, z (u z u 0, v 0 (u v 0, v 0 para cada punto P = X(u 0, v 0 en S. Ejemplo: Los puntos en la esfera x + y + z = 1 con última coordenada positiva pueden parametrizarse de esta forma: X : {(u, v R : u + v < 1} R 3 Se puede comprobar que, si (u, v (u, v, + 1 u v. x(u, v = u, y(u, v = v y z(u, v = + 1 u v, (1 entonces en un punto P = X(u 0, v 0 se cumple que x (u x u 0, v 0 (u v 0, v rango y (u y u 0, v 0 (u v 0, v 0 = rango 0 1 z (u z u 0, v 0 (u v 0, v 0 u 0 1 u 0 v 0 v 0 1 u 0 v 0 =. Dada una superficie regular S y un punto P en ella, se llama plano tangente a S en P al plano que pasa por P y, si X = (x(u, v, y(u, v, z(u, v es una parametrización que contiene al punto P = (x(u 0, v 0, y(u 0, v 0, z(u 0, v 0, entonces el plano tangente está generado por los vectores u (P, (P, u u (P y v (P, (P, v v (P Ejemplo: Considerando la parametrización dada en (1 para el hemisferio norte de la esfera, vamos a calcular el plano tangente por cada uno de sus puntos. Sea P = X(u 0, v 0 un punto en esta superficie. Por un lado, u (P, (P, u u (P = (1, 0, u 0 1 u 0 v 0.

3 y por otro, v (P, (P, v v (P = (0, 1, v 0 1 u 0 v 0. El plano tangente a S por P viene dado, de forma paramétrica por (x, y, z = (u 0, v 0, 1 u 0 v0+t(1, u 0 v 0, +s(0, 1, 0, 1 u 0 v0 1 u 0 v0 t, s R; o también: x u 0 y v 0 z 1 u 0 v0 1 0 u 0 1 u 0 v u 0 1 u 0 v 0 = 0, que, simplificando, corresponde al plano de ecuación u 0 x + v 0 y + 1 u 0 v0z = 1. Por ejemplo, para el punto (0, 0, 1 = X(0, 0 se tiene u 0 = v 0 = 0 y el plano tangente es z = 1, como era esperado. Una superficie se dice que es reglada si por cada punto de S pasa una recta, llamada generatriz, que está toda ella contenida en S. Ejemplos de superficies regladas son el plano, el cilindro y el cono. Una parametrización de una superficie reglada S es la siguiente: X(u, v = α(u + ve(u, u I, v R, siendo I el intervalo de definición de una curva alabeada (I, α cumpliendo que α(i S y que tiene un único punto en común con cada una de las generatrices. A esta curva se le llama directriz; además, e : I R 3 es cierta curva alabeada con e(i contenido en la esfera de radio 1 y centro el origen de coordenadas que indica la dirección de la recta contenida en S desde cada punto en la generatriz. Ejemplos: 1. α(t = (t, 0, 0, e(t = (0, 1, 0 produce el plano {z = 0}.. α(t = (cos(t, sin(t, 0, e(t = (0, 0, 1 produce el cilindro {x + y = 1}. 3

4 3. α(t = (0, 0, 0, e(t = 1 (cos(t, sin(t, 1 produce el cono {x + y = z }. Destacamos tres tipos de superficies regladas: 1. Superficie cónica: cuando la curva α se reduce a un único punto P. En este caso, la superficie viene dada por la parametrización X(u, v = P + ve(u.. Superficie cilíndrica: cuando el vector de dirección e(u es constante, e. En este caso, la superficie viene dada por la parametrización X(u, v = α(u + v e. 3. Superficie tangencial: Viene dada por X(u, v = α(u + vα (u. Ejemplos: La superficie cónica de directriz el punto P = (0, 0, 1 que contiene los puntos en la circunferencia C = {x + y = 1, z = 0} viene dada por las ecuaciones paramétricas (x, y, z = (0, 0, 1 + v e(u, siendo e(u la curva paramétrica dada por el vector desde P hasta la circunferencia C, es decir, e(u = (cos(u, sin(u, 1. Las ecuaciones paramétricas son: x(u, v = v cos(u, y(u, v = v sin(u, z(u, v = 1 v, La superficie cilíndrica de directriz la elipse x vector de dirección e = (0, 1, 1 viene dada por + y 4 9 v R, u (0, π. = 1, z = 0 con (x, y, z = ( cos(u, 3 sin(u, 0 + v (0, 1, 1, u (0, π, v R. La superficie tangencial asociada a la generatriz α(t = (1, t, t para t R viene dada por X(u, v = (1, u, u + v (0, 1, u = (1, u, u + uv, u R, v R. 4

5 Dadas una curva α : I R 3, a la que llamaremos directriz, y otra curva β : J R 3, a la que conocemos como generatriz, de forma que tienen un punto P = (x 0, y 0, z 0 en común, se llama superficie de traslación de directriz α y generatriz β a la superficie S generada por el movimiento de la generatriz de forma paralela a sí misma, mientras el punto P describe la trayectoria de la directriz. Las ecuaciones paramétricas vendrán dadas por (x, y, z = α(u + β(v P, (u, v I J. Ejemplo: Si se considera la curva α(u = (u, cos(u, 0, u (0, π como directriz y la curva β(v = (0, 0, v, v (0, 1 como generatriz, el punto en común de ambas es P = (0, 0, 0. La superficie de traslación a la que dan lugar es 4.1 Ejercicios: (x, y, z = (u, cos(u, v, u (0, π, v (0, Sea f : R R 3 una función verificando que sus componentes son funciones de clase C en R. Comprobar que el grafo de f, es decir es una superficie regular. Gr(f = {(x, y, z R 3 : z = f(x, y} Nota: Toda superficie puede siempre parametrizarse a partir de grafos de funciones.. Se considera la superficie helicoidal dada por Se pide: S = {(v cos(u, v sin(u, u : v (0, 1, u (0, π}. - Comprobar que la helicoide es una superficie regular. - Calcular el plano tangente en cada punto de S. 3. Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica de directriz d y generatrices paralelas a la recta r, siendo { y d 3 = x 4 z = 0 r { x + y = 0 x y + z = 0 5.

6 4. Hallar la ecuación de la superficie cónica, S, de vértice el punto P = (1, 1, 1 y directriz la curva de ecuaciones { z = 4 d x + y = Escribir su correspondiente ecuación implícita. 5. Hallar la superficie tangencial asociada a la curva α(t = (e t, e t, t, t R. 6. Hallar el paraboloide engendrado por la parábola z = by, x = 0, al trasladarse paralelamente a sí misma a lo largo de la parábola z = ax, y = 0. 6