3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.

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Juan Molina Arroyo
hace 7 años
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1 3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.. Se considera el conjunto C = {(x, y, z R 3 : x y + z = x 3 y + z = }. Encontrar los puntos singulares de la curva C. Solución: Llamemos f (x, y, z = x y + z y f (x, y, z = x 3 y + z. Buscamos los puntos P = (x, y, z pertenecientes a la curva C que verifiquen que ( f x rango (P f (P f (P y z f (P f (P f (P. Se tiene que ( f (P f (P f (P f (P f (P f (P = ( x 3x y z Si el determinante de la matriz que forman las dos últimas columnas no es, entonces el rango de la matriz es dos y podríamos eliminar todos esos puntos del estudio de puntos singulares. Este determinante es cuando ( z ( y = z + y =, es decir, cuando z = y. Por tanto, todos los puntos P = (x, y, z verificando que x y no podrían ser puntos singulares en la curva. Restringimos nuestro estudio al conjunto de puntos en C dados por P = (x, y, y. La matriz anterior para estos puntos queda de la siguiente forma: ( x 3x y y Esta matriz no tendrá rango sólo cuando el determinante de la matriz formada por las dos primeras columnas sea, es decir, cuando 4xy+3x =. Esto ocurre, bien cuando x = o bien cuando 4y + 3x =. Si y = z = 3x, para que el punto P = (x, 3x, 3 x fuera un punto de la curva, debería verificar sus ecuaciones, luego debe ser x 3 4 x x = y x3 ( 3 4 x + ( 3 4 x =,

2 o, lo que es lo mismo, x =. Como estamos estudiando el caso y = z = 3x, 4 este conjunto se reduce al punto (,, C. Para el caso x =, el rango de la matriz ( y y es siempre, por lo que todos los puntos de la forma (, y, y para cualquier y R serán puntos singulares. Es inmediato comprobar que estos puntos pertenecen a la curva. En conclusión, los puntos {(, y, y : y R} son puntos singulares de la curva C.. Calcular la longitud del arco entre los puntos α( y α( de la curva α(t = (t, t, t. Comprobar que no es una curva regular y calcular la recta tangente a dicha curva en el punto (,,. Solución: El vector velocidad asociado a la parametrización del enunciado viene dado por α (t = (t, t, t para cada t R. De aquí queda claro que para t =, esta curva tiene α ( = (,,, por lo que no es una curva regular. La recta tangente a la curva en (,, = α( viene dada por la parametrización es decir, (x, y, z = α( + sα (, x = + s y = + s z = + s, s R es una parametrización de la recta tangente a la curva en α( = (,,. La longitud de arco entre α( y α( viene dado por L = α (t dt = t dt = 3tdt = Determinar el triedro de Frenet de la curva y = x, z = x en el punto P = (,,. Comprobar que la curvatura es constante en todos los puntos de la curva alabeada. Interpretar el valor de la torsión en todo punto de la curva.

3 Solución: Una parametrización de la curva viene dada por α(t = (t, t, t, t R. El punto del enunciado es α( = (,,. Se tiene que α (t = (, t,, por lo que el vector tangente en un punto cualquiera de la curva es T α (t = (, t, = (, t,. + 4t + 4t + 4t + 4t Para calcular el vector normal, necesitamos el valor de α (t = (,, para todo t R. Por tanto, el vector binormal vendrá dado por el vector de norma con la siguiente dirección t = (,,. Es decir, B α (t = (,,, t R. El vector normal viene definido por N α (t = B α (t T α (t = +4t t +4t +4t = ( t, + t + t, t + t. Para el valor t =, se tiene que el triedro intrínseco viene dado por {(,,, {( 6, 6,, (,,, (,, }} La curvatura viene dada por κ(t = α (t = 4, por lo que es constante en el tiempo. La torsión es nula en todo punto por lo que se deduce que la curva está contenida en un plano de R Hallar el triedro intrínseco de la curva α(t = (sin(t, cos(t, sin(t. Solución: Un procedimiento similar al del ejercicio 3. permite deducir que el triedro viene dado por {α(t, {T α (t, N α (t, B α (t}}, 3

4 siendo cos(t T α (t = ( cos (t +, sin(t cos (t +, cos(t cos (t +, N α (t = ( sin(t sin (t,, sin(t sin (t, B α (t = (,,. 5. Hallar los planos normal, rectificante y osculador para la curva α(t = (, t, t, en el punto (,,. Solución: Derivando se tiene que α (t = (,, t, luego T α (t = (,, t. + 4t + 4t También, α (t = (,,, luego un vector proporcional a B α (t será t = (,,. De aquí que B α (t = (,,. Por último, N α (t = +4t t +4t = (, t,. + 4t + 4t Para t = se tiene que α( = (,, que es el punto que queremos estudiar. En él se tiene que T α ( = (, 5, 5, N α ( = ((, 5, 5 y B α ( = (,,. El plano osculador es x y z =, es decir, el plano x =. En forma paramétrica viene dado por (x, y, z = (,, + (,, t + (,, s, con s y t parámetros reales. Para obtener 4

5 el plano normal, se hacen los mismos cálculos con los vectores normal y binormal. Se obtiene el plano y+z = 3. El plano rectificante está generado por los vectores tangente y binormal. Su ecuación es y + z = 3, sin más que seguir el procedimiento anterior. 6. Calcular la curvatura y la torsión de la curva de los ejercicios 4. y 5. y comprobar que se cumplen las fórmulas de Frenet. Solución: Es claro que la torsión en ambos casos será cero puesto que las dos curvas están contenidas en el plano x = z y x = respectivamente. Vamos a realizar los cálculos para comprobarlo. Para el ejercicio 4., se tiene que κ α (t = α (t = + sin (t, mientras que τ α (t = B α (t, N α(t = (,,, ( Para el ejercicio 5., se tiene que κ α (t = y τ α (t =. 3. Otros ejercicios propuestos:. Dada la curva α(t = (t, t, t 3, se pide determinar: la ecuación de la recta tangente en el punto t =. cos(t sin (t,, cos(t sin (t =. los planos osculador, normal y rectificante en dicho punto.. Dada la hélice α(t = (a cos t, a sin t, bt, a, b > fijos y t R, se pide calcular el triedro intrínseco, la curvatura, la torsión y el plano osculador en todo punto de la hélice. 5

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