que se conocen como ecuaciones cartesianas implícitas de la curva.

Transcripción

1 CAPÍTULO 9: INTRODUCCIÓN A CURVAS 9.1- Definición, expresiones analíticas. Sea R = {O; ı, ȷ, k } una referencia afín en A 3 siendo B = {ı, ȷ, k } una base ortonormal. Diremos que una curva es una aplicación f definida como: f: I R R 3 λ [x(λ), y(λ), z(λ)] Siendo I un intervalo de R. - Ejemplo: una curva viene dada por la función f(λ) = [2 + λ 2, cos(λ), 1 λ] siendo I = [0,2π]. La expresión x (λ) = x(λ)ı + y(λ)ȷ + z(λ)k se denomina expresión cartesiana vectorial de la curva y las expresiones {x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ)} se denominan expresiones paramétricas de la curva. - Ejemplo: la expresión cartesiana vectorial de la curva anterior es (2 + λ 2 )ı + cos(λ)ȷ + (1 λ)k y la expresiones paramétricas de la curva anterior son {x = 2 + λ 2, y = cos(λ), z = 1 λ} Si las expresiones x(λ), y(λ), z(λ) son derivables y existe λ 0 I tal que la derivada de x con respecto a λ en el punto λ 0 no se anula entonces podemos aplicar el teorema de la función implícita (que no cunda el pánico: no vamos a utilizar cosas de cálculo para hacer los ejercicios) y concluir que la curva se puede expresar de la forma: y = y(x) z = z(x) que se conocen como ecuaciones cartesianas explícitas de la curva (también podríamos despejar las variables x, y en función de la variable z, por ejemplo). También podemos expresar la curva como intersección de dos superficies, es decir: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 que se conocen como ecuaciones cartesianas implícitas de la curva. - Ejemplo: encontrar todas las expresiones de hélice circular que tiene por expresiones paramétricas {x = 4 cos(λ), y = 4 sin(λ), z = 3λ} donde λ pertenece al intervalo (, ). La expresión cartesiana vectorial de dicha curva es 4 cos(λ)ı + 4 sin(λ)ȷ + 3λk, las ecuaciones cartesianas explícitas son {x = 4 cos z, y = 4sin 3 z } y las ecuaciones cartesianas implícitas 3 son: Pedro_CC 1

2 x 4 cos z 3 = 0 y 4sin z 3 = Curva plana y alabeada. Curva de clase h. Diremos que una curva γ es plana si existe un plano que contiene a todos los puntos de la curva. Diremos que una curva es alabeada si no existe un plano que contiene a todos los puntos de la curva. - Ejemplo: la hélice circular de ecuaciones paramétricas {x = 4 cos(λ), y = 4 sin(λ), z = 3λ} es una curva alabeada. - Ejemplo: demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas {x = cos(λ), y = sin(λ), z = 2 cos (λ)} es una curva plana. De las ecuaciones x = cos(λ), y = sin(λ) se sigue que todos los puntos de la curva verifican x 2 + y 2 = 1. De las ecuaciones x = cos(λ), z = 2 cos (λ) se sigue que todos los puntos de la curva verifican z = 2 x, por lo que podemos interpretar la curva como la intersección entre el cilindro x 2 + y 2 = 1 y el plano z = 2 x y obviamente todos sus puntos están contenidos en dicho plano. - Observación: si nos dan una curva con unas expresiones paramétricas más complicadas no parece sencillo saber a priori si dicha curva es plana o no lo es. Sin embargo, más adelante definiremos el vector binormal y veremos que para que una curva sea plana es necesario y suficiente con que dicho vector tenga una dirección constante. La idea es sencilla: calculamos el vector tangente y el vector normal en un punto cualquiera de la curva en función de λ. Si la curva es plana entonces el producto vectorial de ambos vectores siempre será un vector normal al plano que contiene a la curva, por lo que dicho producto vectorial tendrá la misma dirección independientemente del valor que tome λ. Por otra parte, diremos que la curva de expresiones paramétricas {x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ)} es de clase h si las funciones x(λ), y(λ), z(λ) admiten derivadas parciales de orden h continuas en I Punto múltiple. Curva cerrada, curva simple. Sea γ: I R 3 una curva y sea I = [λ 1, λ 2 ] el intervalo sobre el que está definida. Diremos que dicha curva es cerrada si se verifica que γ(λ 1 ) = γ(λ 2 ), es decir, si el punto inicial de la curva coincide con su punto final. Por otra parte, diremos que un punto P de dicha curva tiene multiplicidad n si existen n valores distintos α 1,, α n pertenecientes al intervalo I tales que γ(α 1 ) = = γ(α n ) = P Finalmente, si la curva γ no tiene puntos de multiplicidad mayor que uno diremos que γ es una curva simple Puntos regulares y singulares. Pedro_CC 2

3 Se dice que un punto P = x(λ 0 ), y(λ 0 ), z(λ 0 ) γ es singular si la curva γ no tiene vector tangente en dicho punto. Si el punto P es singular se verifica x (λ 0 ) = y (λ 0 ) = z (λ 0 ) = 0. En caso contrario, diremos que dicho punto es regular y el vector tangente en dicho punto viene dado por (x (λ 0 ), y (λ 0 ), z (λ 0 )). Si la curva γ viene dada como la intersección de las superficies F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 entonces podemos afirmar que el punto P es singular si se verifica que: (F, G) (x, y) (F, G) P + (x, z) (F, G) P + (y, z) P = 0 Esta última condición es equivalente a imponer que los gradientes de las funciones F, G sean proporcionales. - Observación: como ya comenté, que no cunda el pánico. En los ejercicios no va a ser necesario operar con gradientes o matrices jacobianas y es suficiente con saber calcular el vector tangente si la recta viene expresada en forma paramétrica (aunque es un buen ejercicio de cálculo 2 saber calcular el vector tangente en un punto dado de una curva que viene expresada como intersección de dos superficies) Cambio de parámetro. Longitud de una curva. Sea γ: I R 3 una curva y sea I = [λ 1, λ 2 ] el intervalo sobre el que está definida. Sea λ el parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de dicha curva y sea β otro parámetro que depende de λ. Podemos hacer un cambio de parámetro de forma que la curva γ quede en función de β si se verifica que λ β 0. - Ejemplo: consideremos la curva de ecuaciones paramétricas {x = 2 cos(λ), y = 2 sin(λ), z = 0} con λ [0,2π). Si consideramos el cambio λ = 2β tenemos que λ β = 2 0 por lo que podemos hacer el cambio de parámetro anterior y la curva queda: {x = 2 cos(2β), y = 2 sin(2β), z = 0} con β [0, π) - Observación: como se ve en el ejemplo anterior en el cambio de parámetro también cambia el intervalo al que pertenece el parámetro (pasa de [0,2π) a 0, π) con el nuevo parámetro). La idea de imponer que λ 0 sirve para que los puntos que son singulares con el parámetro λ β sigan siendo singulares con el parámetro β y que los puntos que son regulares con el parámetro λ sigan siendo regulares con el parámetro β. Por otra parte, si tenemos parametrizada la curva γ en función del parámetro λ I = [λ 1, λ 2 ] la longitud de dicha curva viene dada por la expresión: λ 2 L = x (λ) 2 + y (λ) 2 + z (λ) 2 dλ λ 1 Pedro_CC 3

4 - Observación: la idea es dividir la curva en trozos muy pequeños, para cada trozo aproximar la longitud por el módulo del vector tangente ( x (λ) 2 + y (λ) 2 + z (λ) 2 ) y sumar dichas longitudes mediante una integral Parámetro arco. Sea γ: I R 3 una curva y sea I = [λ 1, λ 2 ] el intervalo sobre el que está definida. Sea s el parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de dicha curva. Diremos que la curva γ está parametrizada respecto del parámetro arco si se verifica que: x (s) 2 + y (s) 2 + z (s) 2 = 1 para todo λ I. La utilidad de este concepto viene dada cuando queremos calcular la longitud de una curva entre dos puntos a, b puesto que: b L = x (s) 2 + y (s) 2 + z (s) 2 ds = 1ds = b a a Sin embargo, si la curva no está parametrizada respecto del parámetro arco tendríamos que calcular la integral (que puede no ser fácil). Veamos con un ejemplo cómo podemos reparametrizar una curva que nos dan respecto del parámetro arco: - Ejemplo: consideremos la curva γ de ecuaciones paramétricas {x = sinh(λ), y = cosh(λ), z = λ} con λ [0, ). Para parametrizar dicha curva respecto del parámetro arco tomamos s como parámetro arco y hacemos el cambio: λ s = x (λ) 2 + y (λ) 2 + z (λ) 2 dλ = cosh 2 (λ) + sinh 2 (λ) dλ 0 λ 0 λ = 2cosh 2 (λ) dλ = 2 cosh(λ) dλ = 2 sinh(λ) 0 donde hemos usado que sinh 2 (λ) + 1 = cosh 2 (λ) para resolver la integral. Hacemos el cambio de parámetro y resulta: 0 λ x = sinh(λ) = s 2 y = cosh(λ) = sinh 2 (λ) + 1 = s z = λ = arc sinh ( s 2 ) con s [0, ), y ya tenemos la curva parametrizada respecto del parámetro arco. - Observación: al parametrizar respecto del parámetro arco siempre se hace el cambio: a b Pedro_CC 4

5 λ s = x (λ) 2 + y (λ) 2 + z (λ) 2 dλ λ 1 siendo λ 1 un valor fijo (cero en el ejemplo anterior) y siendo λ el parámetro por el que está parametrizada la curva y el valor que ponemos arriba en la integral (para que al resolver la integral la expresión resultante siga dependiendo de λ y tengamos una ecuación que nos relaciona el parámetro arco s con el parámetro λ) 9.7- Triedro de Frenet. Consideremos una curva γ parametrizada respecto del parámetro arco s. El triedro de Frenet es una referencia móvil que para cada punto de la curva γ(s 0 ) tiene como origen dicho punto y como vectores de la referencia tiene el vector tangente, el vector normal y el vector binormal en dicho punto (el vector tangente y el normal os sonarán bastante de física y el vector binormal es el producto vectorial del vector tangente y el vector normal, lo vemos con más detalle). Además, todos los vectores de dicha referencia tienen módulo uno. Llamemos R = {γ(s 0 ); T (s 0 ), N (s 0 ), B (s 0 )} al triedro de Frenet en el punto s 0. El vector tangente unitario vendrá dado por: T (s 0 ) = γ (s 0 ) Notad que, como la curva está parametrizada por el parámetro arco se tiene que γ (s 0 ) = 1 por lo que el vector anterior tiene módulo uno. Por otra parte, el vector normal unitario en el punto s 0 viene dado por: N (s 0 ) = γ (s 0 ) γ (s 0 ) Y el vector binormal unitario viene dado por B (s 0 ) = T (s 0 ) N (s 0 ). Si la curva γ está parametrizada por un parámetro λ que no es el parámetro arco y queremos calcular el triedro de Frenet en el punto λ 0 las expresiones anteriores son un poco más complicadas. Esta vez el vector tangente unitario viene dado por: el vector binormal unitario viene dado por: y el vector normal viene dado por: 9.8- Algunas definiciones. T (λ 0 ) = γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) B (λ 0 ) = γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) N (λ 0 ) = B (λ 0 ) T (λ 0 ) Pedro_CC 5

6 Sea γ: I R 3 una curva y sea λ el parámetro que aparece en las ecuaciones paramétricas de dicha curva. Sea γ(λ 0 ) un punto de dicha curva. Definimos la recta tangente en γ(λ 0 ) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene como vector director T (λ 0 ). Definimos la recta normal en γ(λ 0 ) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene como vector director N (λ 0 ). Definimos la recta binormal en γ(λ 0 ) como la recta que pasa por dicho punto y que tiene como vector director B (λ 0 ). Definimos el plano normal en γ(λ 0 ) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene como vector normal a T (λ 0 ). Definimos el plano rectificante en γ(λ 0 ) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene como vector normal a N (λ 0 ). Definimos el plano osculador en γ(λ 0 ) como aquel que pasa por dicho punto y que tiene como vector normal a B (λ 0 ). - Ejemplo: calcular el triedro de Frenet y todas las rectas y planos anteriores con la curva de ecuaciones paramétricas {x = λ, y = 2λ 2 1, z = λ 2 + λ} en el punto P = (0, 1,0). Tenemos que el punto P = (0, 1,0) se da si λ = 0. Por otra parte, es claro que el parámetro λ no es el parámetro arco por lo que empleamos las fórmulas largas para calcular el triedro de Frenet. Tenemos que γ (λ) = (1,4λ, 2λ + 1) y γ (λ) = (0,4,2) El vector tangente es: El vector binormal es: El vector normal es: T (0) = γ (0) γ (0) = ( 1 2, 0, 1 2 ) B (0) = γ (0) γ (0) ( 4, 2,4) γ (0) γ = (0) 6 N (0) = B (0) T (0) = ( 2 6, 4 2 6, 2 6 ) Ya tenemos el triedro de Frenet. Para calcular las rectas y los planos pedidos solo hay que sustituir los vectores anteriores en las fórmulas: r tangente (0, 1,0) + λ( 1 2, 0, 1 2 ) Pedro_CC 6

7 r normal (0, 1,0) + λ( 2 6, 4 2 6, 2 6 ) r binormal (0, 1,0) + λ ( 4, 2,4) 6 π normal 1 2 x + 0(y + 1) z = 0 π osculador 4 6 x 2 6 (y + 1) z = 0 π rectificante x (y + 1) 6 6 z = 0 Veamos otro ejemplo en el que demostramos que una curva que nos dan es una curva plana empleando el vector binormal (usando la idea que comentamos en uno de los ejemplos iniciales): - Ejemplo (examen final geometría diferencial de la Universidad Complutense): considérese la curva γ: ( 1,1) R 3 definida de la siguiente manera: γ(t) = ( 1 + t 1 t, 1 1 t 2, t ) a) Calcular el triedro de Frenet en el punto γ(0). b) Demostrar que γ es una curva plana y calcular el plano que la contiene. a) Es fácil ver que la curva no está parametrizada por el parámetro arco, por lo que empleamos las fórmulas largas. Tenemos: El vector tangente es: 2 γ (t) = ( (1 t) 2, 2t (1 t 2 ) 2, 1 (1 + t) 2) 4 γ (t) = ( (1 t) 3, 2(1 + 3t2 ) (1 t 2 ) 3, 2 (1 + t) 3) T (0) = γ (0) γ (0) = ( 2 1, 0, 5 5 ) El vector binormal es: B (0) = γ (0) γ (0) (1, 4,2) γ (0) γ = (0) 21 El vector normal es: N (0) = B (0) T (0) = (4,5,8) 105 Pedro_CC 7

8 b) Si la curva es plana el vector binormal será constante en todos los puntos de la curva y será el vector normal al plano en el que está contenido la curva. Como la curva pasa por el punto (1,1,1) el plano que contiene a la curva debería ser: π 1(x 1) 4(y 1) + 2(z 1) = 0 Podéis comprobar sustituyendo las expresiones paramétricas de la curva que realmente el plano anterior la contiene Curvatura y torsión. Intuitivamente, la curvatura κ mide la tendencia que tiene una curva a desviarse del vector tangente. Por ejemplo, una recta tiene curvatura cero ya que no se desvía nada de su vector tangente y una circunferencia tiene curvatura constante (la inversa de su radio) en cualquier punto de la circunferencia la tendencia a desviarse del vector tangente es la misma por simetría. Respecto a cómo se calcula vamos a distinguir dos casos. De nuevo, si la curva γ está parametrizada por el parámetro arco las cosas son más sencillas y la expresión de la curvatura en un punto s 0 es: κ(s 0 ) = ± γ (s 0 ) = ± x (s 0 ) 2 + y (s 0 ) 2 + z (s 0 ) 2 en la fórmula anterior aparece la expresión ±. Si queremos determinar el signo de la curvatura podemos emplear las fórmulas de Frenet (ver el apartado siguiente). Si la curva γ está parametrizada por un parámetro distinto del arco la expresión de la curvatura en un punto λ 0 es: κ(λ 0 ) = ± γ (λ 0) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) 3 Por otra parte, la torsión τ mide la tendencia que tiene una curva a desviarse de su plano osculador. Si la curva γ está parametrizada por el parámetro arco las cosas son más sencillas y la expresión de la torsión en un punto s 0 es: τ(s 0 ) = det (γ (s 0), γ (s 0 ), γ (s 0 )) κ 2 (s 0 ) donde det (γ (s 0 ), γ (s 0 ), γ (s 0 )) es el determinante de la matriz que tiene por columnas γ (s 0 ), γ (s 0 ), γ (s 0 ). Si la torsión γ está parametrizada por un parámetro distinto del arco la expresión de la torsión en un punto λ 0 es: Formulas de Frenet-Serret. τ(λ 0 ) = det (γ (λ 0), γ (λ 0 ), γ (λ 0 )) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) 2 Pedro_CC 8

9 Sea γ una curva parametrizada respecto del parámetro arco s. Se verifica que: dt ds = κn dn ds = κt + τb db ds = τn Las expresiones anteriores relacionan las derivadas de los vectores que forman el triedro de Frenet con los propios vectores que forman dicho triedro. Si la curva γ está parametrizada por un parámetro λ que no es el parámetro arco las expresiones anteriores quedan de la siguiente forma: dt dλ = γ (λ) κn dn dλ = γ (λ) κt + γ (λ) τb db dλ = γ (λ) τn - Ejemplo: sea γ la curva de ecuaciones paramétricas {x = 0, y = cosh(λ), z = sinh (λ)}. Calcular el triedro de Frenet y la torsión de γ en el punto en el que la curvatura valga uno. Vemos que λ no es el parámetro arco, por lo que vamos a emprelar la expresión larga de la curvatura. Tenemos que γ (λ) = (0, sinh(λ), cosh(λ)) y γ (λ) = (0, cosh(λ), sinh(λ)). Por tanto: γ (λ) γ (λ) κ(λ) = ± γ (λ) 3 = ± sinh2 (λ) cosh 2 (λ) (sinh 2 (λ) + cosh 2 (λ)) 3/2 = ± 1 cosh 3/2 (2λ) = 1 De donde se sigue que cosh 3/2 (2λ) = 1 lo que implica que λ = 0 y el punto pedido es (0,1,0) (si tomamos el signo positivo obtenemos la ecuación cosh 3/2 (2λ) = 1 que no tiene soluciones reales). Por otra parte, observamos que γ (λ) = (0, sinh(λ), cosh(λ)) = γ (λ) por lo que: τ(λ) = det (γ (λ), γ (λ), γ (λ)) 0 γ (λ) γ (λ) 2 = γ (λ) γ (λ) 2 = 0 y la torsión es nula en todos los puntos de la curva, por lo que también será nula en el punto pedido. Finalmente tenemos: T (0) = γ (0) γ (0) = (0,0,1) Pedro_CC 9

10 B (0) = γ (0) γ (0) γ (0) γ (0) = ( 1,0,0) N (0) = B (0) T (0) = (0,1,0) -Resumen capítulo 9: En el examen final podéis esperar una cuestión que valdrá entre medio punto y un punto de este tema. Aunque aparecen muchas fórmulas, es un tema cortito (os lo explicarán en menos de dos semanas) y no será necesario hacer muchos cálculos para contestar a la cuestión del examen. Aconsejo que os escribáis todas las fórmulas en el libro y que hagáis tres o cuatro cuestiones de años anteriores para practicar (son todas del mismo estilo). Además, tener en cuenta que algunos cursos podrían no haber visto el tema entero antes del examen por lo que sólo entrará hasta donde haya visto el curso que menos ha visto. Os recuerdo que los tres temas más importantes del segundo cuatrimestre son Jordan, producto escalar y matriz proyección, transformaciones ortogonales y movimientos. Después iría el espacio afín y finalmente este tema así que no le dediquéis una cantidad desproporcionada de tiempo. Veamos alguna cuestión de examen: - Ejemplo (examen final mayo 2013, 0.5 puntos): Se considera la curva γ(λ) = (λ 3 cos(λ), λ cos(λ), 3 cos(λ) + 3). Es una curva plana? Razonar la respuesta. Solución 1: como ya hemos visto, si la curva es plana el vector binormal será constante. Tenemos que γ (λ) = (3λ 2 + sin(λ), 3λ 2 2 sin(λ), 3 sin(λ)) y γ (λ) = (6λ + cos(λ), 6λ 2 cos(λ), 3 cos(λ)) por lo que el vector binormal será: B (λ 0 ) = γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) γ (λ 0 ) En realidad nos vale cualquier vector proporcional al binormal, por lo que no es necesario calcular el módulo. Además, nos basta con calcularlo en un punto por lo que podemos hacer λ = 0 y tenemos: γ (0) γ (0) = (0,0,0) (1, 2, 3) = (0,0,0)?! El resultado obtenido es bastante raro. Esto puede llevarnos a pensar que la curva no es plana. Sin embargo, si lo miramos con calma vemos que el problema es que λ = 0 es un punto singular de la curva (puesto que γ (0) = (0,0,0)) por lo que tenemos que usar otro punto para calcular el vector binormal. Vamos a tomar λ = π a ver si hay más suerte: 2 Pedro_CC 10

11 γ π 2 γ π 2 = (3 π 2 2, 3 π 2 2, 0) (6 π 2 + 1, 6 π 2, 3) 2 = 9π2 4, 9π2 4, 3π2 4 el último vector es proporcional a (3,3, 1), por lo que éste es nuestro candidato a vector normal del plano. Un punto de la curva es ( 1,2,6) (hemos tomado λ = 0 para calcular el punto. Podemos tomar cualquier λ para calcular el punto, incluso si se trata de un λ que proporciona un punto singular). Finalmente nuestro plano candidato a contener la curva es: que podemos expresar la forma: π 3(x + 1) + 3(y 2) 1(z 6) = 0 π 3x + 3y z = 3 sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la curva resulta: 3x + 3y z = 3(λ 3 cos(λ)) + 3( λ cos(λ)) (3 cos(λ) + 3) = 3 por lo que la curva γ está contenida en π y, por tanto, es una curva plana. Solución 2: si no tenemos mucha idea de curvas podemos razonar el ejercicio. Si todos los puntos de la curva están contenidos en un plano basta con sustituir valores de λ hasta obtener tres puntos de la curva no alineados. Con esos tres puntos puedo calcular el plano candidato a contener la curva y después sustituir las ecuaciones paramétricas para concluir si la curva es plana o no lo es. Si tomamos λ = 0 obtenemos el punto ( 1,2,6). Si tomamos λ = π 2 obtenemos el punto ( π 2 3, π 2 3, 3) Si tomamos λ = 3π 2 obtenemos el punto ( 3π 2 3, 3π 2 3, 3) Es fácil comprobar que estos tres puntos no están alineados. Os aconsejo que calculéis el plano que los contiene y comprobéis que os sale el mismo que en la solución anterior. - Observación: hay muchas formas de hacer esta cuestión. La solución que tenéis en moodle muestra que la torsión es nula en todos los puntos de la curva, lo que también implica que la curva es plana (aunque no nos da el plano en el que está contenida la curva). - Ejemplo (examen final junio 2013, 1 punto): Existe algún punto P de la curva γ(λ) = (λ, λ 3 + 2, λ 2 + 1) con λ 1 en el cual la recta de 2 ecuaciones implícitas {x = 0, y = z} está contenida en el plano normal de γ(λ) en el punto P? Razonar la respuesta. Recordemos que el plano normal en un punto P es el que pasa por dicho punto y tiene como vector normal el vector tangente unitario a la curva en dicho punto. Dicho vector tangente es: Pedro_CC 11

12 T (λ) = γ (λ) γ (λ) y como no necesitamos que tenga módulo uno podemos quedarnos con: γ (λ) = (1,3λ 2, 2λ) si la recta del enunciado está contenida en el plano normal su vector director será ortogonal al vector normal del plano, es decir: (1,3λ 2, 2λ) (0,1,1) = 0 de donde se obtiene λ(3λ + 2) = 0 por lo que tenemos λ = 0 al ser λ = 2 imposible porque 3 el enunciado impone que λ 1. Tenemos que el punto buscado es P = (0,2,1) y el plano 2 normal en dicho punto es: π 1(x 0) + 0(y 2) + 0(z 1) = 0 que resulta ser el plano x = 0. Claramente dicho plano contiene a la recta del enunciado (una de las ecuaciones implícitas de dicha recta es x = 0) por lo que la respuesta a la pregunta del enunciado es sí. Pedro_CC 12