ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

Transcripción

1 Grupo A Examen de Evaluación Continua de Geometría Diferencial Curso El examen consta de dos partes y tiene un valor de 2/3 de la nota de Geometría Diferencial que supone el 10% de la nota total de la asignatura de Métodos. Las partes son: Test en moodle de las lecciones 1 y 2 por un valor de dos puntos. Dos ejercicios cuyo valor total es de ocho puntos. Ejercicios de las lecciones 1 y De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro. R 3sin( ), 3cos( ), 3 a) R b) 3sin, 3cos, c) R, 1, (2,25 puntos), R. Se pide: 2.- Dada la curva R cos(2 ), 12 sen(2 ), a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P. Ejercicio 1 Apartado a) (5,75 puntos =0,5+1+1,75+1+0,75+0,75) #1: [3 + SIN(), 3 - COS(), - 3] d #2: [3 SIN(), 3 COS() - 1, 4-3] = [3 COS(), - 3 SIN(), 4] d #3: [3 COS(), - 3 SIN(), 4] = 5 El parámetro no es el arco #4: s = 5 5 d = 5 0 s #5: = 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 1

2 Este cambio de parámetro es admisible porque la derivada de es 1/5, en consecuencia, proporciona unas ecuaciones paramétricas naturales de la curva Apartado b) #6: 3 + SIN, 3 - COS, COS #7: d SIN, 3 - COS, - 3 =, d SIN 2 2, COS 2 SIN #8: 2 2 2,, = es el parámetro arco, por lo que las ecuaciones dadas son las ecuaciones paramétricas naturales d ela curva Apartado c) #9:, - 1, d #10:, - 1, =, 1, d ( ) #11:, 1, = ( ) #12: d 4 0 No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada. Ejercicio 2. Apartado a) #13: [COS(2 ), 1-2 SIN(2 ), ] d #14: [COS(2 ), 1-2 SIN(2 ), ] = [- 2 SIN(2 ), - 4 COS(2 ), 1] d Para cualquier valor de, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula, [- 2 SIN(2 ), - 4 COS(2 ), 1] [0,0,0] Apartado b) 2 #15: [- 2 SIN(2 ), - 4 COS(2 ), 1] = (12 COS(2 ) + 5) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 2

3 no es el parámetro arco pues la longitud del vector tangente no es la unidad para cq 2 2 #16: (12 COS(2 ) + 5) d = (12 + 5) d@ 0 0 No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada. Apartado c) #17: SOLVE([COS(2 ), 1-2 SIN(2 ), ] = [1, 1, π], ) #18: = π El origen es R(π)=[1, 1, π] El vector tangente es #19: [- 2 SIN(2 π), - 4 COS(2 π), 1] = [0, -4, 1] [0, -4, 1] #20: = 0, -, [0, -4, 1] Vector binormal d 2 #21: [COS(2 ), 1-2 SIN(2 ), ] = [- 4 COS(2 ), 8 SIN(2 ), 0] d #22: [- 4 COS(2 π), 8 SIN(2 π), 0] = [-4, 0, 0] [0, -4, 1] [-4, 0, 0] #23: = 0, -, - [0, -4, 1] [-4, 0, 0] Vector normal #24: 0, -, - 0, -, = [-1, 0, 0] Apartado d) 2 2 [0, -4, 1] [-4, 0, 0] 16 #25: κ = = [0, -4, 1] Torsión d 3 #26: [COS(2 ), 1-2 SIN(2 ), ] = [8 SIN(2 ), 16 COS(2 ), 0] d #27: [8 SIN(2 π), 16 COS(2 π), 0] = [0, 16, 0] [0, -4, 1] ([-4, 0, 0] [0, 16, 0]) 4 τ = = - #28: 2 17 [0, -4, 1] [-4, 0, 0] Se trata de una curva alabeada pues τ 0 Apartado e) El radio de curvatura es ρ=1/ (16/289) = 17/4 y el centro es #29: [1, 1, π] + [-1, 0, 0] = -, 1, π 4 4 El círculo osculador es el circulo intersección de la esfera de centro y radio los de curvatura con el plano osculador U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 3

4 #30: x + + (y - 1) + (z - π) = #31: x +, y - 1, z - π 0, -, - = Apartado f) El plano osculador es que hemos calculado en el aprtado anterior y la recta tangente pasa por el punto y su dirección es la del vector tangente y #32: x +, y - 1, z - π 0, -, - = z 4 17 π 17 = x - 1 y - 1 z - π #33: = = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 4

5 Grupo B Examen de Evaluación Continua de Geometría Diferencial Curso El examen consta de dos partes y tiene un valor de 2/3 de la nota de Geometría Diferencial que supone el 10% de la nota total de la asignatura de Métodos. Las partes son: Test en moodle de las lecciones 1 y 2 por un valor de dos puntos. Dos ejercicios cuyo valor total es de ocho puntos. Ejercicios de las lecciones 1 y De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro. a) R cos,sin, sin cos 4 3 b) R sin, 1-cos, sin 5 5 R 3sin, 3cos, 3 c) (2,25 puntos), R. Se pide: 2.- Dada la curva R 2cos 1, 2sen 1, g) Estudiar si tiene algún punto singular. h) Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. i) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,0) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). j) Hallar la curvatura y la torsión en P. Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? k) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. l) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P. (5,75 puntos =0,5+1+1,75+1+0,75+0,75) Ejercicio 1. Apartado a) #34: [COS(), SIN(), SIN() COS()] d 2 #35: [COS(), SIN(), SIN() COS()] = - SIN(), COS(), 2 COS() d #36: - SIN(), COS(), 2 COS() - 1 = 2 (1-2 SIN() COS() ) #37: 2 (1-2 SIN() COS() ) d = 2 (1-2 SIN(@) COS(@) ) 0 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 5

6 no es el parámetro arco y no se puede calcular una expresión de en función de s para obtener una ecuaciones paramétricas naturales de la curva Apartado b) 4 3 #38: SIN(), 1 - COS(), SIN() 5 5 d COS() #39: SIN(), 1 - COS(), SIN() =, SIN(), d COS() 5 4 COS() 3 COS() #40:, SIN(), = es el parámetro arco, luego las ecuaciones dadas es una parametrización natural de la curva. Apartado c) #41: [3 + SIN(), 3 - COS(), - 3] d #42: [3 + SIN(), 3 - COS(), - 3] = [COS(), SIN(), 1] d #43: [COS(), SIN(), 1] = 2 #44: s = 2 d = 2 0 no es el parámetro arco pero la expresión anterior es un cambio de parámetro admisible (s'= 2 0) que permite obtener una parametrización natural. Ejercicio 2. Apartado a) #45: [2 COS() - 1, 2 SIN() + 1, ] d #46: [2 COS() - 1, 2 SIN() + 1, ] = [- 2 SIN(), 2 COS(), 1] d Para cualquier valor de, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula, [- 2 SIN(2 ), 2COS(2 ), 1] [0,0,0] Apartado b) #47: [- 2 SIN(), 2 COS(), 1] = 5 5 s #48: s = 5 d = 5 = 0 5 no es el parámetro arco pero la expresión anterior indica que existe un cambio de parámetro admisible ('= 5/5 0) que permite obtener la parametrización natural siguiente: 5 s 5 s 5 s #49: 2 COS - 1, 2 SIN + 1, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 6

7 Apartado c) Obtención Triedro de Frenet con las fórmulas para un parámetro cualquiera. Hallamos, en primer lugar el valor de que proporciona el punto [1,1,0] (es para =0) #50: SOLVE([2 COS() - 1, 2 SIN() + 1, ] = [1, 1, 0],, Real) #51: = 0 El origen del triedro de Frenet es el punto [1,1,0]=R(0) El vector tangente es R'(0)/abs(R'(0)) #52: [- 2 SIN(0), 2 COS(0), 1] = [0, 2, 1] [0, 2, 1] #53: = 0,, [0, 2, 1] 5 5 Vector binormal d 2 #54: [2 COS() - 1, 2 SIN() + 1, ] = [- 2 COS(), - 2 SIN(), 0] d #55: [- 2 COS(0), - 2 SIN(0), 0] = [-2, 0, 0] [0, 2, 1] [-2, 0, 0] #56: = 0, -, [0, 2, 1] [-2, 0, 0] 5 5 Vector normal #57: 0, -, 0,, = [-1, 0, 0] Apartado d) Cálculo de la curvatura 2 2 [0, 2, 1] [-2, 0, 0] 4 #58: κ = = 6 25 [0, 2, 1] Cálculo de la torsión d 3 #59: [2 COS() - 1, 2 SIN() + 1, ] = [2 SIN(), - 2 COS(), 0] d #60: [2 SIN(0), - 2 COS(0), 0] = [0, -2, 0] [0, 2, 1] ([-2, 0, 0] [0, -2, 0]) 1 τ = = #61: 2 5 [0, 2, 1] [-2, 0, 0] Es una curva alabeada porque la torsión no es nula (en al menos un punto) Apartado e) El radio de curvatura es ρ=1/ (4/25)= 5/2 y el centro es 5 3 #62: [1, 1, 0] + [-1, 0, 0] = -, 1, El círculo osculador es el circulo intersección de la esfera de centro y radio los de curvatura con el plano osculador #63: x + + (y - 1) + (z - 0) = #64: x +, y - 1, z 0, -, = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 7

8 Apartado f) La recta normal pasa por el punto y su dirección es la del vector normal y el plano normal pasa por el punto y su vector característico es el vector tangente x - 1 y - 1 z #65: = = y 5 z #66: x +, y - 1, z 0,, = 0 + = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 8