P = (0) = (0; 1; 1) ; 0 (t) = 1; e t ; ae at ; 0 (0) = (1; 1; a) :

Transcripción

1 E.T.S. rquitectura Curvas y super cies. Curso 07/8. Examen enero PELLIDOS... NOMBRE... Grupo... Exp... Duración del examen horas y media. No se pernmite el uso de calculadora.. ( puntos) Se considera la curva C con parametrización (t) = t; e t ; e at ; t [ ; ]; y el punto P = (0; ; ) de la curva. Se pide (a) (0, puntos) Ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva en P. Determinar el valor del parámetro a para el cual la recta tangente a la curva en el punto P está contenida en el plano z =. P = (0) = (0; ; ) ; 0 (t) = ; e t ; ae at ; 0 (0) = (; ; a) Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva en P son 8 < x = t; y = + t; t R z = + at; Para a = 0 la recta tangente está contenida en el plano z =. (b) ( punto) Para a =, determinar la curvatura en P. La curvatura en P = (0) viene dada por la siguiente expresión Para a =, se tiene luego y, por tanto, (0) = p p. (0) = k0 (0) ^ 00 (0)k k 0 (0)k 0 (t) = ; e t ; ae at ; 00 (t) = 0; e t ; a e at ; 0 (0) = (; ; ) ; 00 (0) = (0; ; ) ; 0 (0) ^ 00 (0) = (0; ; ) ; k 0 (0) ^ 00 (0)k = p ; k 0 (0)k = p ;

2 E.T.S. rquitectura. Curvas y super cies. Curso (c) ( punto) De nir circunferencia osculatriz de una curva en un punto de la misma. Para a =, determinar el centro, radio y unas ecuaciones paramétricas de la circunferencia osculatriz de la curva en P. P = (0) = (0; ; ) ; 0 (0) = (; ; ) ; 00 (0) = (0; ; ) ; t (0) = p (; ; ) ; b (0) = 0 (0)^ 00 (0) k 0 (0)^ 00 (0)k = p (0; ; ) ; n (0) = b (0) ^ t (0) = p p ( ; ; ) ; (0) = p p Por tanto, el radio de la circunferencia osculatriz en P es (0) = p p. El centro es Z = P + (0) n (0) = (0; ; ) + p p p p ( ; ; ) = (0; ; ) + ( ; ; ) = ; ; Y una parametrización de la circunferencia osculatriz en P es r(t) = Z + (0) (cos(t)n (0) + sen(t)t (0)) = ; ; + p p cos(t) p p ( ; ; ) + sen(t) p (; ; ) = cos(t) + p sen(t); + cos(t) + p sen(t); + cos(t) + p sen(t) ; t [0; ] (d) (0. puntos) Determinar los valores del parámetro a para los cuales la curva es plana. La función torsión de la curva viene dada por la expresión (t) = [0 (t); 00 (t); 000 (t)] k 0 (t) ^ 00 (t)k La curva es plana si y sólo si (t) es idénticamente nula; esto es, si y sólo si [ 0 (t); 00 (t); 000 (t)] = 0 para todo valor de t. luego, 0 (t) = ; e t ; ae at ; 00 (t) = 0; e t ; a e at ; 000 (t) = 0; e t ; a e at ; [ 0 (t); 00 (t); 000 (t)] = e t ae at 0 e t a e at 0 e t a e at = a (a ) e (a+)t Por tanto, la curva es plana si y sólo si a = 0 ó a =.

3 E.T.S. rquitectura. Curvas y super cies. Curso ( puntos) Se considera la super cie S con parametrización Se pide r(u; v) = (cos(u); sen(u) + v ; v); u [ ; ]; v [ ; ] (a) (0, puntos) La matriz de la primera forma fundamental de S en un punto genérico. r u (u; v) = ( sen(u); cos(u); 0); r v (u; v) = (0; v; ); v cos(u) I r(u;v) = v cos(u) + 4v (b) (0, puntos) Obtener los puntos de la super cie en los que las líneas coordenadas son ortogonalmente. Como F (u; v) = v cos(u), para los valores v = 0 y u = ;, F (u; v) = 0. Por tanto, las líneas corrdenadas son ortogonales en los puntos de las siguientes cuvas r(u; 0) = (cos(u); sen(u); 0); u [0; ]; r ; v = (0; + v ; v); v [ ; ]; r ; v = (0; + v ; v); v [ ; ] (c) (0, puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman las curvas (t) = r(t; ) y (t) = r(t ; t ) en el punto P = (; ; ). P = (0) = () = r (0; ) y por tanto, 0 (t) = r u (t; ) + 0 r v (t; ); 0 (t) = r u (t; t ) + t r v (t; t ); 0 (0) = r u (0; ); 0 () = r u (0; ) + r v (0; ) La matriz de la primera forma fundamental en P es I r(0;) = Por tanto, cos 0 (0); \ 0 () = v 0 u (;0) 0 v 0 u = p 9

4 E.T.S. rquitectura. Curvas y super cies. Curso (d) (0, puntos) Vector normal a la super cie en un punto genérico. r u (u; v) ^ r v (u; v) = (cos(u); sen(u); v sen(u)) ; kr u (u; v) ^ r v (u; v)k = p + 4v sen (u); N (u; v) = (cos(u); sen(u); v sen(u)) p+4v sen (u) (e) (0, puntos) La matriz de la segunda forma fundamental S en un punto genérico. y Luego r uu (u; v) = ( cos(u); sen(u); 0) ; r uv (u; v) = (0; 0; 0); r vv (u; v) = (0; ; 0); r uu (u; v) N (u; v) = p+4v sen (u) ; r uv (u; v) N (u; v) = 0; r vv (u; v) N (u; v) = sen(u) p+4v sen (u) ; 0 II r(u;v) = p +4v sen (u) 0 sen(u) (f) ( punto) Calcular la curvatura total en un punto arbitrario. Clasi car los puntos de la super cie. La curvatura total en un punto arbitrario es Por tanto, k G (u; v) = det(ii r(u;v)) det(i r(u;v) ) = sen(u) (+4v sen (u)) P = r(u; v) es parabólico si y sólo si u = ; 0;, P = r(u; v) es elíptico si y sólo si u ( ; 0), P = r(u; v) es hiperbólico si y sólo si u (0; ). (g) ( punto) Hallar las direcciones principales en el punto P = (; ; ) expresadas como vectores en R. En P la matriz de la segunda forma fundamental es 0 II r(0;) = 0 0 Las direcciones principales (h; k) en el plano tangente a la super cie en P satisfacen 0 = k hk h () h (h + k) = () h = 0 ó h + k = 0

5 E.T.S. rquitectura. Curvas y super cies. Curso Las direcciones principales en el punto P expresadas como vectores en R son r u (u; v) = ( sen(u); cos(u); 0); r v (u; v) = (0; v; ); ~w = r v (0; ) = (0; ; ); ~w = r u (0; ) r v (0; ) = (0; ; 0) (0; 4; ) = (0; ; ) Y las curvaturas principales en P son (0; )II P (0; ) 0 0 k = = = 0; 0 0 (0; )I P (0; ) 0 (; )II P (; ) 0 0 k = = = (; )I P (; ) = (h) (0, puntos) Clasi car el punto P. De nir dirección asintótica y determinar las direcciones asintóticas en P. El punto P es parabólico pues una de sus curvaturas principales es cero. Una dirección del plano tangente a la super cie en un punto P es asintótica si la curvatura en dicha dirección es nula. En P hay una única dirección asintótica que es la dirección del vector ~w = r v (0; ) = (0; ; )

6 E.T.S. rquitectura. Curvas y super cies. Curso ( puntos) Se considera la super cie S con parametrización r(u; v) = ( v)(u) + v(u); u ; 0 v ; con (u) = (u; 0; cos(u)) y (u) = (u; ; sen(u)) Se pide (a) (0, puntos) Es S una super cie reglada? Justi car la respuesta. Representar grá- camente las curvas (u) y (u) y hacer un esbozo de la super cie. La super cie S admite la siguiente parametrización como super cie reglada r(u; v) = (u) + v ~w(u); u ; 0 v! siendo ~w(u) = (u)(u) los vectores directores de las generatrices de la super cie. Es una super cie reglada generada por las rectas u = u 0, con u 0 [ ; ]; esto es, r(u 0 ; v) = (u 0 ; 0; cos(u 0 )) + v (0; ; sen(u 0 ) cos(u 0 )) ; u (b) (0, puntos) El parámetro de distribución. 0 sen(u) p(u) = 0 sen(u) cos(u) = (cos(u) + sen(u)) 0 0 cos(u) + sen(u) (c) (0, puntos) Estudiar si la super cie es desarrollable. Como el parámetro de distribución no es idénticamente nulo la super cie no es desarrollable. (d) (0, puntos) Determinar las generatrices a lo largo de las cuales el plano tangente no varía. Las generatrices que satisfacen la condición del enunciado son las de puntos parabólicos; esto es, p(u) = 0. En este caso, p(u) = cos(u) + sen(u) = 0 () u = 4 La generatriz pedida es r( ; v) = u; v; p 4 p v ; 0 v