CURVAS Y SUPERFICIES Hoja 1: Curvas

Transcripción

1 CURVAS Y SUPERFICIES Hoja 1: Curvas 1. Sea σ (t) = (cos t, sen t, t) con t [0, π] y sea f(x, y, z) = x + y + z. Evaluar la integral σ fdσ. (Sol.: π 3 (3 + 4π )).. Sea σ : [0, π/] R 3 la curva σ(t) = (30 cos 3 t, 30 sen 3 t, 0) y f(x, y, z) = 1 + y/3. Calcular la integral de f sobre la curva σ. (Sol.: 5). 3. Evaluar las siguientes integrales de línea: (a) f(x, y, z) = e z y γ(t) = (1,, t ), t [0, 1]. (Sol.: ) (b) f(x, y, z) = yz, y σ(t) = (t, 3t, t), t [1, 3]. (Sol.: 5 14) (c) f(x, y, z) = (x+y) (y+z) y γ(t) = ( t, 3 t3/, t ), t [1, ]. (Sol.: 16/3 3) (d) f : R 3 {(x, y, z) R 3 : y = 0} R, f(x, y, z) = y 4 y γ(t) = (log t, t, ), t [1, ]. (Sol.: ) 4. Sea f(x, y, z) = x y + 4z 8, x(t) = t 4, y(t) = t 4, z(t) =, 1 t 0. Calcular la integral de f a lo largo de esta trayectoria. (Sol.: ). 5. Hallar la longitud de un arco de circunferencia de radio r y α radianes. 6. Calcular la longitud del pasamanos que se precisa para una escalera de caracol que servirá para comunicar dos plantas con una altura entre ellas de 6m, siendo el radio de la escalera de 4m y tal que al dar una vuelta completa se ha salvado un desnivel de 3m. 7. Calcular la longitud del cable eléctrico que se precisa para unir dos torretas A y B de alta tensión que distan 40m, sabiendo que en ambas torretas el cable parte desde la misma altura y que la curva que describe el cable viene dada por la función y = 0 cosh x suponiendo A está en el punto x = 0 y B en el punto x = 0 0 (catenaria o cuerda colgante). 8. Supongamos una semicircunferencia hecha de alambre de densidad uniforme gramos por unidad de longitud. Hallar su masa y su centro de masas. 9. Hallar la masa del alambre descrito por la curva de ecuación σ(t) = (t cos t, 0, t sen t) para 0 t π, si la densidad en cada punto del alambre viene dada por el valor de la función f (x, y, z) = x + z. 10. Hallar la curvatura de la catenaria σ(t) = (t, cosh t, 0), t R, en un punto genérico. 11. Sea la curva σ(t) = (e t cos t, e t sent, e t ). Hallar el Triedro de Frenet y la curvatura y la torsión en el punto (1,0,1). 1. Se considera la curva de ecuaciones σ(t) = ( 1 sen t, sen t, cos t). Se pide, para el punto que corresponde a t = π: (a) El plano rectificante y la recta binormal. (b) Las curvaturas de flexión y de torsión.

2 13. Sea la curva intersección de las superficies x + y + z = 4, x + y x = 0. Se pide: (a) Representarla geométricamente de forma aproximada. Dar una representación paramétrica. (b) Determinar las curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. 14. Se considera la curva C parametrizada por r(t) = (t cos t, sen t, e t ), se pide (a) Obtener las ecuaciones de la recta binormal y del plano rectificante a la curva C en el punto P = ( 1, 0, 1). (b) Obtener las curvaturas de flexión y de torsión de la curva C en el punto P = ( 1, 0, 1). 15. Sea la curva intersección de la superficie z = xy con el cilindro parabólico y = x. (a) Hallar una parametrización de la curva razonando si el parámetro elegido es el parámetro arco. (b) En el punto (0, 0, 0), obtener la ecuación de su plano osculador así como la de su recta normal. (c) En el punto (0, 0, 0), obtener las proyecciones de la curva sobre los planos del Triedro de Frenet. (d) Obtener las curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. 16. Sea la curva x (t) = 1 + cos t, y (t) = sen t, z (t) = (1 cos t), para t [0, π). Se pide: (a) Curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. (b) Vectores del Triedro de Frenet en el punto (1,1,) y ecuación de su plano osculador. (c) Estudiar si la curva es plana y encontrar, en su caso, el plano que la contiene. 17. Sea la curva proyección sobre el plano XOY de la curva alabeada x = z cos(ln z), y = z sen(ln z). Obtener, para esta curva proyección: (a) Elementos del Triedro de Frenet en un punto genérico. (b) Curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. Centro de curvatura y radio de curvatura en un punto genérico. 18. Sea la curva del paraboloide z = x + y que se proyecta verticalmente sobre la parábola y = x del plano z = 0. (a) Elementos del Triedro de Frenet en el punto (1,1,) (b) Ángulo que forman las tangentes en los puntos (0,0,0) y (1,1,). 19. Se considera la curva C parametrizada por σ(t) = (t + 3 sen t, cos t, 3 t sent).

3 (a) Se trata de una parametrización natural? Si no es así, obtener una parametrización natural de C. (b) Hallar las ecuaciones del plano osculador y de la recta normal de C en el punto P = (0,, 0). (c) Obtener las curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. 0. Hallar la ecuación del plano osculador en el punto P de coordenadas ( 1, 1, 1 ) de la curva C definida como la intersección de las siguientes superficies: S 1 x + y = z, S x + y = 1 y. 1. Determínese la curvatura y la torsión de la curva intersección de las superficies: S 1 x + y + z = 11, S x + y =, z > 0, en el punto P de coordenadas (0,, 3). Hallar la circunferencia osculatriz en el punto P.. Sea la curva C con parametrización: r(t) = ( t 3, t + 1, t t ). Hallar el radio de curvatura en el punto P de coordenadas (1,, 0). 3. Se considera la curva C intersección de las superficies: S 1 x + y + z = 4, z 0, S (x 1) + y = 1. (a) Los vectores del triedro de Frenet en el punto P de coordenadas (, 0, 0). (b) La curvatura y la torsión de la curva en el punto P. (c) Es C una curva plana? 4. Sea la curva C con parametrización: r(t) = ((t + π) cos (t), (t + π) sen(t), t + πt + π ), t [ π, π]. (a) ( Ecuaciones ) de los planos del triedro de Frenet en el punto P de coordenadas 0, π, π. 4 (b) Puntos en los cuales el plano osculador es paralelo al plano de ecuación z = 0. (c) Punto interseción del( plano normal ) en el punto P y la recta tangente en el punto Q de ecuación π, 0, π.

4 5. Se considera la curva C intersección de las superficies: S 1 y + (z 1) = 1, S x + y = 1. (a) Vectores del triedro de Frenet en el punto P de coordenadas (1, 0, 0). (b) Curvatura y torsión de la curva C en el punto P. (c) Es C una curva plana? (d) Hallar el plano osculador en el punto P. 6. Hallar el centro de curvatura de la curva C con parametrización: γ(t) = ( te t, e t, t + 1 ) en el punto P de coordenadas (0, 1, 1). 7. Hallar la curvatura de la curva intersección de las superficies y = ln 1, z = 0, cos x x ( π, ) ( ) π, en el punto P de coordenadas π, ln 6 3, La cicloide es el lugar geométrico de los puntos P de una circunferencia de radio r que rueda sin deslizar por una recta. Hallar los puntos singulares de la cicloide con parametrización r(t) = (t sen t, 1 cos t), t [0, π]. Hallar el vector tangente a la cicloide en un punto regular arbitrario. Decimos que un punto P = r(t 0 ) C es un punto singular para la parametrización r(t) de C si r (t 0 ) = 0. Cuál es el límite de los vectores unitarios tangentes cuando tendemos a un punto singular? 9. Se define la evoluta de una curva C como el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva C. Se pide hallar la evoluta de la elipse con parametrización r(t) = (a cos t, b sen t), t [0, π). 30. Probar que la curva con parametrización r(t) = (t cos t, t sen t, t), t [0, π), está contenida en un cono. Hallar la curvatura y la torsión en el punto que corresponde al vértice del cono. 31. Demostrar que la curva con parametrización r(t) = ( sen t, sen t cos t, cos t ), t [0, π), está contenida en una esfera y que todos los planos normales a dicha curva contienen al origen de coordenadas. 3. Determínese la curvatura de la curva de ecuaciones cartesianas x + y + z = 11, z 0, x + y =, en el punto P de coordenadas (0,, 3).

5 33. Determínese una base del plano normal a la curva de ecuaciones cartesianas x +y = z, x + y + z = en el punto P de coordenadas (1, 1, ). 34. Hállese la curvatura de la curva y = ln(1/ cos x), x ( π/, π/) en el punto de coordenadas (π/6, ln / 3). 35. Determínese la ecuación cartesiana del plano normal a la curva determinada por x + y + z = 3 y x y + z = en el punto P de coordenadas (1, 1, 1). 36. Calcular unas ecuaciones paramétricas de la curva cuyas ecuaciones intrínsecas son κ(s) = 4 y τ(s) = 0 y tal que para el valor del parámetro s = 0 sea ( t(0) = 0, 4 5, 3 ) (, n(0) = ( 1, 0, 0), b(0) = 0, 3 5 5, 4 ). 5 Sitúese el origen de coordenadas de modo que el punto de la curva correspondiente a s = 0 tenga coordenadas (0, 0, 0). 37. Se considera la curva parametrizada σ(t) = ( 1 t, 3 t3, 1 4 t4 ). (a) Obtener la función arco. (b) Vectores del Triedro de Frenet en un punto genérico. (c) Puntos singulares. Es una curva plana? (d) Es una hélice? Si lo es, expresar el ángulo que forma la tangente a la curva con su eje. 38. Se considera la curva parametrizada σ(t) = ( 1 3 t3, t, t ). (a) Obtener la longitud del arco de curva comprendido entre los puntos P = ( 1,, 1) y Q = (9, 6, 9). 3 (b) Vectores del Triedro de Frenet en el punto P = ( 1,, 1). 3 (c) Obtener las curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. (d) Es una hélice? Si lo es, obtener su eje y el ángulo que forma la tangente a la curva con su eje. 39. Se considera la curva de ecuación x(t) = (cosh t,senh t, t). (a) Vectores del Triedro de Frenet en en un punto genérico. (b) Obtener sus curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. (c) Probar que es una hélice y obtener su eje. 40. Se considera la curva de ecuaciones x + y = 1, y x = tan z. (a) Longitud del arco determinado entre los planos z = 0, z = π. (b) Elementos del Triedro de Frenet en (,, π 4 ). (c) Estudiar si es una hélice. En caso afirmativo, hallar su eje. (d) Obtener el lugar geométrico de las intersecciones de sus rectas tangentes con el plano z = Se considera la curva C parametrizada por σ(t) = (3t t 3, 3t + t 3, 3t ).

6 (a) Estudiar si la curva es una hélice. En caso afirmativo, obtener su eje. (b) Calcular las curvaturas de flexión y de torsión, y los vectores del triedro de Frenet en el punto (, 4, 3). 4. Se considera la curva C parametrizada por σ(t) = (4 1t 8t 3, 4 + 1t + 1t + 8t 3, 3 + 1t + 1t ). (a) Hallar llos elementos del Triedro de Frenet en el punto P = (4, 4, 3). (b) Estudiar si es una hélice. En caso afirmativo, hallar su eje. 43. Se considera la curva de ecuación x(t) = (a cosh t, a sinh t, bt). (a) Elementos (vectores, rectas y planos) del Triedro de Frenet en (a, 0, 0). (b) Obtener sus curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. (c) Determinar una relación entre a y b para que la curva sea una hélice y, en ese caso, obtener su eje y el ángulo que forma éste con las tangentes a la curva. 44. Se considera la curva r(t) = (t /, 1 t, t 3 /6). (a) Vectores del Triedro de Frenet en un punto genérico. (b) Planos y rectas del Triedro de Frenet en (1/, 0, 1/6). (c) Curvaturas de flexión y de torsión en un punto genérico. Determinar si se trata de una hélice y, en su caso, obtener el eje de la misma. 45. Se considera la curva C con parametrización: y el punto P de coordenadas ( σ(t) = sen t, t, ) cos t, t R, (, π, 0 ). (a) Comprobar que t es el parámetro arco de la( curva dada. Hallar la longitud de la curva desde el punto A de coordenadas 0, 0, ) hasta el punto B de ( coordenadas 0, π, ). (b) Hallar el plano osculador y la recta binormal en el punto P. (c) Hallar la torsión y la curvatura (esto es, curvaturas de flexión y de torsión) en un punto genérico de la curva. (d) Estudiar si la curva es una hélice y en caso afirmativo hallar el eje. 46. Probar que si la curva es tal que todas sus tangentes pasan por un punto fijo del espacio, entonces la curva es una recta. 47. Probar que si una curva C es tal que todas sus rectas normales principales contienen a un punto fijo P del espacio, entonces la curva es una circunferencia. 48. Probar que si todos los planos osculadores a una curva dada pasan por un punto, la curva es plana.