1.3 Curvatura y torsión. Triedro de Frenet.
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- Miguel Ángel Vargas Páez
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1 1.3 Curvatura y torsión. Triedro de Frenet. Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curvas y Superficies, 2015
2 Curvas y superficies 1. Curvas 2. Superficies 3. Superficies Regladas
3 Curvas 1.1 Definición de curva parametrizada espacial. Representación impĺıcita. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco. 1.3 Curvatura y torsión. Triedro de Frenet. 1.4 Curvas notables: hélices, curvas de Bézier.
4 Contenidos Repaso de notación Curvatura Vector normal Plano osculador. Circunferencia osculatriz Torsión Vector binormal Torsión Triedro de Frenet Fórmulas de Frenet-Serret Teorema Fundamental
5 Repaso de notación Curvatura Vector normal Plano osculador. Circunferencia osculatriz Torsión Vector binormal Torsión Triedro de Frenet Fórmulas de Frenet-Serret Teorema Fundamental
6 Repaso de notación Sea C una curva parametrizada por la longitud de arco s, con representación paramétrica natural β : J = (a, b) R R 3. T (s) = β (s) vector tangente unitario a C en el punto P = β(s). La recta tangente a C en P tiene como vector director a T (s). r(λ) = P + λt (s). El plano normal a C en P tiene como vector normal T (s).
7 Repaso de notación Curvatura Vector normal Plano osculador. Circunferencia osculatriz Torsión Vector binormal Torsión Triedro de Frenet Fórmulas de Frenet-Serret Teorema Fundamental
8 Curvatura Gateway Arch, St Louis, USA. Eero Saarinen (arquitecto) y Hannskarl Bandel (ingeniero), 1965
9 Definición Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s 0 ), al vector β (s 0 ) y curvatura (de flexión), a su módulo β (s 0 ). Definimos además la función curvatura κ : J R, κ(s) = β (s). Si κ(s 0 ) 0, llamamos a su inverso ρ(s 0 ) = 1 κ(s 0 ) radio de curvatura. Interpretación geométrica La curvatura está ligada a la rapidez con la que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P. β (s 0 ) = lim s s0 β (s) β (s 0 ) s s 0. κ(s 0 ) mide la tasa de cambio del ángulo que forma T (s 0 ) con vectores tangentes a C en puntos próximos a P.
10 Definición Llamamos vector curvatura de C en el punto P = β(s 0 ), al vector β (s 0 ) y curvatura (de flexión), a su módulo β (s 0 ). Definimos además la función curvatura κ : J R, κ(s) = β (s). Si κ(s 0 ) 0, llamamos a su inverso ρ(s 0 ) = 1 κ(s 0 ) radio de curvatura. Interpretación geométrica La curvatura está ligada a la rapidez con la que se aleja la curva C de la recta tangente en un punto P. β (s 0 ) = lim s s0 β (s) β (s 0 ) s s 0. κ(s 0 ) mide la tasa de cambio del ángulo que forma T (s 0 ) con vectores tangentes a C en puntos próximos a P.
11 Proposición Una curva C parametrizada por la longitud de arco tiene curvatura identicamente nula si, y sólo si, es una recta. Ejemplos 1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en el origen es 1 r y su radio de curvatura r. 2. Consideramos una hélice circular parametrizada por la longitud de arco, ( ( ) ( ) ) s s s β(s) = acos, asen, b, a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 s R. La curvatura y el radio de curvatura son κ(s) = a a 2 + b 2 y ρ(s) = a2 + b 2. a
12 Proposición Una curva C parametrizada por la longitud de arco tiene curvatura identicamente nula si, y sólo si, es una recta. Ejemplos 1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en el origen es 1 r y su radio de curvatura r. 2. Consideramos una hélice circular parametrizada por la longitud de arco, ( ( ) ( ) ) s s s β(s) = acos, asen, b, a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 s R. La curvatura y el radio de curvatura son κ(s) = a a 2 + b 2 y ρ(s) = a2 + b 2. a
13 Proposición Una curva C parametrizada por la longitud de arco tiene curvatura identicamente nula si, y sólo si, es una recta. Ejemplos 1. La curvatura de una circunferencia de radio r centrada en el origen es 1 r y su radio de curvatura r. 2. Consideramos una hélice circular parametrizada por la longitud de arco, ( ( ) ( ) ) s s s β(s) = acos, asen, b, a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 s R. La curvatura y el radio de curvatura son κ(s) = a a 2 + b 2 y ρ(s) = a2 + b 2. a
14 Vector normal Si κ(s) 0 entonces β (s) y el vector tangente β (s) a la curva C en un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que β (s) β (s) = 1 2β (s) β (s) = 0. Definición. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) al vector unitario N(s) en la dirección del vector curvatura N(s) = β (s) β (s) = β (s) κ(s). Tenemos así la primera fórmula de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s).
15 Vector normal Si κ(s) 0 entonces β (s) y el vector tangente β (s) a la curva C en un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que β (s) β (s) = 1 2β (s) β (s) = 0. Definición. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) al vector unitario N(s) en la dirección del vector curvatura N(s) = β (s) β (s) = β (s) κ(s). Tenemos así la primera fórmula de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s).
16 Vector normal Si κ(s) 0 entonces β (s) y el vector tangente β (s) a la curva C en un punto P = β(s) son vectores ortogonales, ya que β (s) β (s) = 1 2β (s) β (s) = 0. Definición. Llamamos vector normal principal a C en P = β(s) al vector unitario N(s) en la dirección del vector curvatura N(s) = β (s) β (s) = β (s) κ(s). Tenemos así la primera fórmula de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s).
17 Plano osculador. Circunferencia osculatriz Definición La recta normal a C en P = β(s) es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector normal principal N(s). Definición El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afín Ω que contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s). Definición Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) al punto de la recta normal Z(s) = P + ρ(s)n(s). La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferencia contenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvatura Z(s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
18 Plano osculador. Circunferencia osculatriz Definición La recta normal a C en P = β(s) es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector normal principal N(s). Definición El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afín Ω que contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s). Definición Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) al punto de la recta normal Z(s) = P + ρ(s)n(s). La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferencia contenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvatura Z(s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
19 Plano osculador. Circunferencia osculatriz Definición La recta normal a C en P = β(s) es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector normal principal N(s). Definición El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afín Ω que contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s). Definición Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) al punto de la recta normal Z(s) = P + ρ(s)n(s). La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferencia contenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvatura Z(s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
20 Plano osculador. Circunferencia osculatriz Definición La recta normal a C en P = β(s) es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector normal principal N(s). Definición El plano osculador de C en P = β(s) es el plano afín Ω que contiene a P y tiene como vectores directores T (s) y N(s). Definición Llamamos centro de curvatura de C en P = β(s) al punto de la recta normal Z(s) = P + ρ(s)n(s). La circunferencia osculatriz de C en P es la circunferencia contenida en el plano osculador Ω, de centro el centro de curvatura Z(s) y radio el radio de curvatura ρ(s).
21 Intuitivamente Ω es el plano que mejor se adapta a la curva en un entorno del punto P. La circunferencia osculatriz tiene un orden de contacto máximo con la curva. Los vectores tangente y normal principal en P a la curva y la circunferencia coinciden. Los puntos de la circunferencia osculatriz son los puntos de intersección del plano osculador Ω y la esfera de centro Z(s) y radio ρ(s).
22 Repaso de notación Curvatura Vector normal Plano osculador. Circunferencia osculatriz Torsión Vector binormal Torsión Triedro de Frenet Fórmulas de Frenet-Serret Teorema Fundamental
23 Torsión Puente de Madrid Río. D. Perrault, 2011
24 Vector binormal Definición Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 0. Llamamos vector binormal a C en P, al producto vectorial B(s) = T (s) N(s). Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador. Definición La recta binormal a la curva C en el punto P es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector binormal B(s). Definición El plano rectificante de la curva C en el punto P es el plano afín Γ que contiene a P y tiene como vectores directores a T (s) y B(s).
25 Vector binormal Definición Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 0. Llamamos vector binormal a C en P, al producto vectorial B(s) = T (s) N(s). Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador. Definición La recta binormal a la curva C en el punto P es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector binormal B(s). Definición El plano rectificante de la curva C en el punto P es el plano afín Γ que contiene a P y tiene como vectores directores a T (s) y B(s).
26 Vector binormal Definición Sea P = β(s) un punto de C con κ(s) 0. Llamamos vector binormal a C en P, al producto vectorial B(s) = T (s) N(s). Observamos que B(s) es unitario y ortogonal al plano osculador. Definición La recta binormal a la curva C en el punto P es la recta afín que contiene a P y tiene como vector director al vector binormal B(s). Definición El plano rectificante de la curva C en el punto P es el plano afín Γ que contiene a P y tiene como vectores directores a T (s) y B(s).
27 Torsión Segunda fórmula de Frenet-Serret B (s) = τ(s)n(s) Definición Supongamos que κ(s) 0, s J. El número real τ(s), tal que B (s) = τ(s)n(s), se denomina torsión de C en P = β(s). Interpretación geométrica La torsión esta ligada a la variación del vector binormal, ya que τ(s) = B (s) mide la velocidad con que la curva C se aleja del plano osculador en P. B (s) mide la tasa de cambio del ángulo que forman el plano osculador de C en P con los planos osculadores en puntos de C cercanos a P.
28 Torsión Segunda fórmula de Frenet-Serret B (s) = τ(s)n(s) Definición Supongamos que κ(s) 0, s J. El número real τ(s), tal que B (s) = τ(s)n(s), se denomina torsión de C en P = β(s). Interpretación geométrica La torsión esta ligada a la variación del vector binormal, ya que τ(s) = B (s) mide la velocidad con que la curva C se aleja del plano osculador en P. B (s) mide la tasa de cambio del ángulo que forman el plano osculador de C en P con los planos osculadores en puntos de C cercanos a P.
29 Torsión Segunda fórmula de Frenet-Serret B (s) = τ(s)n(s) Definición Supongamos que κ(s) 0, s J. El número real τ(s), tal que B (s) = τ(s)n(s), se denomina torsión de C en P = β(s). Interpretación geométrica La torsión esta ligada a la variación del vector binormal, ya que τ(s) = B (s) mide la velocidad con que la curva C se aleja del plano osculador en P. B (s) mide la tasa de cambio del ángulo que forman el plano osculador de C en P con los planos osculadores en puntos de C cercanos a P.
30 Torsión Proposición Sea C una curva tal que κ(s) 0, s J. Entonces, Demostración C es una curva plana τ(s) = 0, s J. C está contenida en un plano si y sólo si B(s) es contante, igual a B 0 = (b 1, b 2, b 3 ), para todo s J. Equivalentemente B (s) = 0 = (0, 0, 0), s J y τ(s) = 0, s J. Fórmula para calcular la torsión: τ(s) = [β (s), β (s), β (s)] κ(s) 2.
31 La torsión puede ser positiva o negativa. Ejemplo Continuación del ejemplo de la hélice circular τ(s) = b a 2, s R. + b2 Por tanto, el signo de la torsión depende del signo de b. Mostramos las hélices para valores a = 1 y b = ±2. b = 2, τ(s) < 0 b = 2, τ(s) > 0
32 La torsión puede ser positiva o negativa. Ejemplo Continuación del ejemplo de la hélice circular τ(s) = b a 2, s R. + b2 Por tanto, el signo de la torsión depende del signo de b. Mostramos las hélices para valores a = 1 y b = ±2. b = 2, τ(s) < 0 b = 2, τ(s) > 0
33 Repaso de notación Curvatura Vector normal Plano osculador. Circunferencia osculatriz Torsión Vector binormal Torsión Triedro de Frenet Fórmulas de Frenet-Serret Teorema Fundamental
34 Triedro de Frenet Resumiendo, dada la curva C con parametrización natural β : J R 3 y κ(s) 0, s J. Asociados a un punto P = β(s) hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos T (s) = β (s), N(s) = β (s)/κ(s), B(s) = T (s) N(s). Definición La base ortonormal {T (s), N(s), B(s)} de R 3 recibe el nombre de triedro de Frenet de C en P = β(s). En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referencia afín ortonormal de R 3 con origen en P y base {T (s), N(s), B(s)}.
35 Triedro de Frenet Resumiendo, dada la curva C con parametrización natural β : J R 3 y κ(s) 0, s J. Asociados a un punto P = β(s) hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos T (s) = β (s), N(s) = β (s)/κ(s), B(s) = T (s) N(s). Definición La base ortonormal {T (s), N(s), B(s)} de R 3 recibe el nombre de triedro de Frenet de C en P = β(s). En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referencia afín ortonormal de R 3 con origen en P y base {T (s), N(s), B(s)}.
36 Triedro de Frenet Resumiendo, dada la curva C con parametrización natural β : J R 3 y κ(s) 0, s J. Asociados a un punto P = β(s) hemos definido vectores unitarios y ortogonales dos a dos T (s) = β (s), N(s) = β (s)/κ(s), B(s) = T (s) N(s). Definición La base ortonormal {T (s), N(s), B(s)} de R 3 recibe el nombre de triedro de Frenet de C en P = β(s). En cada punto P = β(s) de C tenemos un sistema de referencia afín ortonormal de R 3 con origen en P y base {T (s), N(s), B(s)}.
37 Fórmulas de Frenet-Serret Jean Fréderic Frenet ( ), Joseph Serret ( ) Las derivadas T (s) y B (s) expresadas en el Triedro de Frenet generan entidades geométricas, la curvatura y la torsión, que proporcionan información sobre el comportamiento de la curva C en un entorno del punto P = β(s). Tercera fórmula de Frenet-Serret N (s) = B (s) T (s) + B(s) T (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). Completando así las fórmulas de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s), N (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). B (s) = τ(s)n(s).
38 Fórmulas de Frenet-Serret Jean Fréderic Frenet ( ), Joseph Serret ( ) Las derivadas T (s) y B (s) expresadas en el Triedro de Frenet generan entidades geométricas, la curvatura y la torsión, que proporcionan información sobre el comportamiento de la curva C en un entorno del punto P = β(s). Tercera fórmula de Frenet-Serret N (s) = B (s) T (s) + B(s) T (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). Completando así las fórmulas de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s), N (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). B (s) = τ(s)n(s).
39 Fórmulas de Frenet-Serret Jean Fréderic Frenet ( ), Joseph Serret ( ) Las derivadas T (s) y B (s) expresadas en el Triedro de Frenet generan entidades geométricas, la curvatura y la torsión, que proporcionan información sobre el comportamiento de la curva C en un entorno del punto P = β(s). Tercera fórmula de Frenet-Serret N (s) = B (s) T (s) + B(s) T (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). Completando así las fórmulas de Frenet-Serret T (s) = κ(s)n(s), N (s) = τ(s)b(s) κ(s)t (s). B (s) = τ(s)n(s).
40 Teorema Fundamental Intuitivamente podemos imaginar una curva en R 3 como el resultado de someter una recta a combamiento (curvatura) y atornillamiento (torsión). Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funciones diferenciables κ, τ : J R R, κ(s) > 0, s J, existe una curva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es su función curvatura y τ(s) es la torsión en cada punto s J. Esta curva es única salvo movimientos rígidos directos.
41 Teorema Fundamental Intuitivamente podemos imaginar una curva en R 3 como el resultado de someter una recta a combamiento (curvatura) y atornillamiento (torsión). Teorema Fundamental de curvas alabeadas Dadas dos funciones diferenciables κ, τ : J R R, κ(s) > 0, s J, existe una curva C, parametrizada por la longitud de arco, tal que κ es su función curvatura y τ(s) es la torsión en cada punto s J. Esta curva es única salvo movimientos rígidos directos.
42 Teorema Fundamental Dado un movimiento rígido directo σ : R 3 R 3, la curva transformada σ(c) tiene la misma curvatura y torsión que C. Esto es: 1. γ = σ β es una parametrización por la longitud del arco de σ(c). 2. σ(t β (s)) = T γ (s), σ(n β (s)) = N γ (s) y σ(b β (s)) = B γ (s). 3. κ β (s) = κ γ (s) y τ β (s) = τ γ (s)
43 Curvas no parametrizadas por la longitud de arco Sea C una curva con parametrización regular α : I R R 3. κ(t) := κ β (s(t)) = α (t) α (t) α (t) 3 0, τ(t) := τ β (s(t)) = [α (t), α (t), α (t)] α (t) α (t) 2. T (t) := T β (s(t)) = α (t) α (t), B(t) := B β (s(t)) = α (t) α (t) α (t) α (t), N(t) = B(t) T (t).
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