Asignaturas antecedentes y subsecuentes Álgebra Lineal II y Cálculo Vectorial I.

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1 PROGRAMA DE ESTUDIOS GEOMETRÍA DIFERENCIAL I Área a la que pertenece: ÁREA SUSTANTIVA PROFESIONAL Horas teóricas: 5 Horas prácticas: 0 Créditos: 10 Clave: F0049 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Álgebra Lineal II y Cálculo Vectorial I. PRESENTACIÓN La geometría es indispensable para la comprensión del espacio que nos rodea y es un prerrequisito y un tema recurrente en muchas de las ramas de las matemáticas. La geometría diferencial es una herramienta necesaria para modelar los espacios que requieren las teorías relativistas de la física, así como para estudios posteriores de las geometrías no euclidianas y la topología diferencial. El curso de geometría diferencial I inicia definiendo el sistema de Frenet, el cual asigna una base ortonormal a cada punto de una curva en el espacio; la parte central del curso es la teoría local de curvas en el espacio, la cual culmina con el teorema fundamental. Finalmente se estudia una introducción a las superficies regulares, principal objeto de estudio de la geometría diferencial; en esta parte se definen las funciones diferenciables sobre superficies y sus propiedades. OBJETIVO GENERAL Comprender la teoría local de curvas parametrizadas en el espacio. Analizar la forma fundamental de una curva. Estudiar las superficies regulares a partir de la geometría plana. CONTENIDO 1 EL ESPACIO EUCLIDIANO R n Relacionar los conceptos de producto interno, norma, producto vectorial y base ortonormal en R n para definir el espacio vectorial tangente a R n en un punto. F0049_Geometíia Diferencial I 1/5

2 1.1. R 3 como espacio vectorial Norma y sus propiedades 1.3. Distancia y sus propiedades 1.4. Producto interno y sus propiedades 1.5. Bases ortonormales en R n Producto vectorial en R 3 y sus propiedades Espacios duales Isomorfismos de espacios vectoriales Espacios tangentes y sus duales Haz tangente. Comprensión del espacio euclidiano n- dimensional con su estructura vectorial y métrica. Habilidad para distinguir bases ortonormales. Comprensión del espacio tangente a un punto en el espacio euclidiano n- dimensional, así como el isomorfismo existente entre R n y su dual. Comprensión del haz tangente. 2 TEORIA LOCAL DE CURVAS EN R 3. Comprender la relación entre la geometría de una curva en R 3 y las funciones curvatura y torsión de la misma. Calcular la primera forma fundamental de una curva. Analizar la teoría local para curvas planas y comprender el teorema fundamental para curvas en el espacio Definición de curvas parametrizadas en R n Velocidad, rapidez y aceleración de curvas Reparametrización de curvas Campos vectoriales sobre curvas Derivación de campos vectoriales sobre curvas Aparato de Frenet para curvas de rapidez unitaria en el espacio Fórmulas de Frenet para curvas de rapidez unitaria Primera forma fundamental. Comprensión del aparato de Frenet para curvas en R 3 y de la curvatura con signo para curvas planas. Habilidad para demostrar sus propiedades. Identificación de curvas según, su curvatura y torsión. Comprensión del círculo osculador y planos en el espacio TNB. Habilidad para la interpretación geométrica del aparato de Frenet. Comprensión del teorema fundamental para curvas planas y para curvas en el F0049_Geometíia Diferencial I 2/5

3 2.9. Interpretación geométrica de la curvatura y la torsión Círculo osculador y plano osculador Fórmulas de Frenet para curvas de rapidez arbitraria en el espacio Cálculo del aparato de Frenet para curvas de rapidez arbitraria Hélices cilíndricas Imagen esférica de una curva Curvatura con signo de una curva plana Transformaciones euclideas Teorema fundamental para curvas planas Teorema fundamental para curvas en el espacio. espacio. 3 INTRODUCCION A LAS SUPERFICIES REGULARES Comprender el concepto de superficie regular entendida como una generalización del espacio euclidiano R 2 y aplicar resultados del cálculo diferencial a este concepto matemático. Comprender el concepto de diferenciabilidad para funciones entre superficies Funciones vectoriales diferenciables Definición de superficie regular Imagen inversa de valores regulares Cambio de parámetros Funciones diferenciables sobre superficies. Comprensión de la definición de superficie regular. Identificación de una superficie según el tipo: Imagen inversa de valor regular o gráfica de una función diferenciable. Identificación de funciones diferenciables entre superficies. Habilidad para demostrar algunos teoremas relativos a superficies. F0049_Geometíia Diferencial I 3/5

4 Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Trabajar ejercicios y ejemplos en clases. Dar sugerencias para la solución de problemas. Exposición individual de temas del curso y con sesiones de preguntas y respuestas involucrando a todo el grupo. Propiciar el uso de material audiovisual y de software científico. Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica. Aplicar la técnica de lluvia de ideas. Demostrar las propiedades de norma y distancia, así como las de producto interno y vectorial. Resolver correctamente ejercicios que involucren bases ortonormales. Demostrar que R n y T p (R n ) son isomorfos. Identificar el haz tangente a partir de los espacios duales. A partir de la definición del aparato de Frenet de una curva y de la expansión mediante el polinomio de Taylor de grado 3, discutir el significado geométrico de la curvatura y la torsión. Calcular el aparato de Frenet para curvas en R 3 y la curvatura con signo de una curva plana; interpretando su geometría según estos resultados. Calcular la ecuación del círculo osculador y planos en el espacio TNB. Demostrar que T, N y B forman una base ortonormal en cada punto. Identificar la aplicación del teorema fundamental de curvas en ejemplos dados. Estrategias de evaluación del aprendizaje Preguntas escritas. Preguntas orales. Exposición individual o por equipos con el uso de software y material audiovisual. Examen escrito. Tareas individuales. Bibliografía Básica 1. Cordero, L.A. Geometría diferencial de curvas y superficies con Mathematica. Addison-Wesley- Iberoamericana. Edición en español Do Carmo, M.P. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Publicaciones del Departamento de Matematicas. Facultad de Ciencias, UNAM, Valencia A. Geometría Diferencial I. Unison F0049_Geometíia Diferencial I 4/5

5 Bibliografía Complementaria 1. Hsiung C.C A First Course in Differential Geometry. John Wiley and Sons, Marsden, Tromba.Cálculo Vectorial. Prentice-Hall Thorpe J.A. Elementary Topics in Differential Geometry. Springer-Verlag, F0049_Geometíia Diferencial I 5/5