Superficies regladas y desarrollables a lo largo de curvas de Bézier

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1 Superficies regladas y desarrollables a lo largo de curvas de Bézier Mauricio Alejandro Londoño Arboleda Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de Magíster en Matemáticas Director Marco Paluszny Kluczynsky Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Ciencias 2010

2 Resumen Se estudian superficies regladas y se abordan sus elementos básicos como la linea de estricción y el parámetro de distribución. Se estudian algoritmos para el diseño de superficies desarrollables, a saber el algoritmo de Aumann y el algoritmo proyectivo de Pottmann, en este último las superficies desarrollables racionales de Bézier se interpretan como curvas en el espacio proyectivo dual (P 3 ). Se estudia de manera exhaustiva el problema de diseño de superficies desarrollables de grado polinomial 3; cuando la curva base es una curva de Bézier cúbica no plana y la generatriz es cuadrática. Las técnicas estudiadas se implementan en el diseño de superficies desarrollables a lo largo de curvas B-spline cúbicas. I

3 Agradecimientos Deseo expresar los más sinceros agradecimientos: A mi esposa Claudia, por su incondicional apoyo y comprensión en todo momento. A mis padres, a los cuales les debo todo. Al profesor Marco, por todo su tiempo, energía y colaboración brindadas. A los profesores Marianela Lentini y Edgar Ramos por el tiempo empleado en la revisión de este trabajo. II

4 Índice general Introducción IV 1. Preliminares El espacio afín Nociones básicas sobre curvas Curvas de Bézier y curvas b-spline Forma polar Curvas B-spline de grado El espacio proyectivo Coordenadas homogéneas y afines Rectas y planos en espacios proyectivos Dualidad en espacios proyectivos Familias paramétricas de rectas Superficies regladas Linea de estricción Parámetro de distribución Superficies desarrollables Diseño de superficies desarrollables Algoritmo de Aumann Construcción de superficies desarrollables sobre cúbicas de Bézier Diseño de superficies desarrollables sobre curvas B-spline cúbicas Superficies desarrollables vía dualidad con curvas en (P 3 ) Curvas de Bézier en espacios proyectivos Algoritmo proyectivo Bibliografía 56 III

5 Introducción En este trabajo se estudia el diseño de superficies desarrollables sobre curvas polinómicas y en especial para curvas polinómicas de grado 3, para tal estudio consideramos dichas curvas representadas en la base de polinomios de Bernstein; polinomios que surgen naturalmente al estudiar la geometría afín de R n. Además consideramos curvas B-spline de grado 3. Previo a esto ofrecemos nociones básicas sobre geometría afín, geometría proyectiva y curvas de Bézier. Las nociones de geometría proyectiva se presentan con el fin de abordar el algoritmo proyectivo para diseñar superficies desarrollables racionales dado por H. Pottmann y G. Farin en [8]. El marco teórico de este trabajo se desarrolla en el capítulo 2, en el cual se ofrecen con detalle las herramientas básicas para el estudio de las superficies regladas y desarrollables. A continuación ofrecemos un resumen de este capítulo. Una superficie reglada es una superficie que está conformada por rectas llamadas reglas o generadores, de lo cual se sigue que dado cualquier punto de la superficie reglada, existe una recta que pasa por dicho punto y dicha recta está totalmente contenida en la superficie. Usualmente, una superficie reglada se expresa por medio de una curva base llamada directriz y un vector sobre cada punto de la curva base, este vector es el que otorga la dirección al generador en dicho punto. El cilindro y el cono son ejemplos de superficies regladas, otro ejemplo es el hiperboloide de una hoja. Todos los generadores de un cilindro son rectas paralelas y todos los generadores de un cono tienen un punto en común, a saber; el vértice del cono. La diferencia fundamental entre el cilindro y el hiperboloide de una hoja es el comportamiento del plano tangente a lo largo de un generador; en el caso del cilindro el plano tangente a lo largo de un generador es siempre el mismo, esto no se cumple para el hiperboloide de una hoja. Para cualquier superficie reglada no cilíndrica se puede definir una curva sobre la superficie llamada línea de estricción, esta curva es de gran importancia, debido a la siguiente propiedad: Si una superficie reglada tiene singularidades, éstas se IV

6 V encuentran sobre su línea de estricción. Una clase importante de las superficies regladas lo constituyen las superficies desarrollables. Una superficie es desarrollable si el plano tangente a lo largo de cada uno de sus generadores es el mismo. En este sentido el cilindro y el cono son superficies desarrollables pero el hiperboloide de una hoja no lo es. Otro ejemplo muy importante de superficie desarrollable son las superficies regladas que se obtienen tomando como generador el vector tangente a la curva base, estas superficies se llaman superficies tangentes. Por medio de un pegado suave entre generadores de superficies desarrollables (i.e., haciendo que los planos tangentes sobre los generadores coincidan) es posible obtener de nuevo una superficie desarrollable. En general las superficies desarrollables son de gran interés en aplicaciones de diseño geométrico, debido a que se pueden aplicar sobre una región plana de forma isométrica; es decir, sin deformación métrica i.e., sin alterar distancias entre puntos.

7 Capítulo 1 Preliminares En este capítulo se enunciarán algunas definiciones y resultados básicos sobre geometría afín, teoría básica de curvas, curvas de Bézier, curvas B-spline y geometría proyectiva, los cuales serán necesarios para el estudio sobre superficies desarrollables realizado en este trabajo El espacio afín Para los propósitos del diseño geométrico, es conveniente expresar ciertos lugares geométricos (conjuntos de puntos del espacio euclídeo), en términos de la geometría afín. Consideramos el conjunto de n-tuplas de números reales R n con la estructura de espacio vectorial usual y a la vez como un espacio afín, para esto hacemos una distinción entre vectores y puntos en R n. Cuando se habla de la estructura afín de R n, se hace referencia a este como un conjunto de puntos, el cual no cuenta con puntos privilegiados (como el origen de R n, visto como espacio vectorial) y cada par de puntos determina una dirección (un elemento de R n visto como espacio vectorial). Las propiedades y subestructuras (subespacios) de interés, son aquellas que son invariantes bajo transformaciones lineales compuestas con traslaciones. Daremos a continuación la definición general de espacio afín. Definición Sea A un conjunto (sus elementos se llamarán puntos) y sea V un espacio vectorial sobre un campo K, se dice que A es un espacio afín con direcciones en el espacio vectorial V si existe una función ϕ : A A V, con ϕ(a, b) = v, que verifica lo siguiente: I. Para todo a A y v V existe un único b A tal que ϕ(a, b) = v. 1

8 1.1. EL ESPACIO AFÍN 2 II. Si ϕ(a, b) = 0 entonces a = b. III. Para toda terna de puntos a, b, c en A se da la identidad ϕ(a, c) = ϕ(a, b) + ϕ(b, c). La dimensión de A es por definición la dimensión de V. Ejemplo En este ejemplo veremos la estructura afín que posee el conjunto formado por las rectas del plano que no pasan por el origen. Consideremos { } A = l R 2 : l es una recta que no pasa por el origen. Cada punto (aunque en realidad es una recta ) l A puede representarse (de manera única) por medio de una ecuación de la forma ax + by + 1 = 0, con a y b en R 2, así dados dos puntos l 1 y l 2 en A, éstos tienen representaciones únicas a 1 x + b 1 y + 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + 1 = 0 respectivamente, definimos entonces ϕ : A R 2 como ϕ(l 1, l 2 ) = (a 2 a 1, b 2 b 1 ). La función ϕ definida satisface las tres condiciones de la definición de espacio afín. Denotamos por A n al espacio afín cuyos puntos son n-tuplas de números reales con direcciones en el espacio vectorial R n. La estructura afín queda introducida por medio de la aplicación ϕ : A n A n R n con ϕ(a, b) = b a. Esta definición permite hacer una distinción entre lo que vamos a llamar puntos (denotados por a, b, c, etc.) en A n y lo que vamos a llamar vectores (denotados por a, b, c, etc.) en R n. Es importante tener en cuenta que dado un vector v existen infinitas parejas de puntos a y b tales que b a = v, pues basta considerar los puntos a + w y b + w, para cualquier vector w, con estos nuevos puntos también se sigue que (b + w) (a + w) = v. A continuación veremos parte del álgebra permitida en el espacio afín A n. Definición Sean b 0, b 1,..., b k puntos en A n, un punto b que pueda ser escrito de la forma b = k α i b i, (1.1) i=0 con k i=0 α i = 1 se denomina una combinación afín de los puntos b i, con i = 0, 1,..., k. La ecuación (1.1) puede reescribirse como b = b 0 + k α i (b i b 0 ), i=1 la cual expresa al punto b como la suma del punto b 0 mas una combinación lineal de los vectores b 1 b 0, b 2 b 0,..., b k b 0.

9 1.1. EL ESPACIO AFÍN 3 Definición Un conjunto de puntos {b 0, b 1,..., b k } de A n se dice que es afinmente independiente si el conjunto de vectores {b 1 b 0, b 2 b 0,..., b k b 0 } de R n es linealmente independiente. Definición Sea a un punto en A n y {v 1, v 2,..., v n } un conjunto linealmente independiente de R n, el conjunto {a, v 1, v 2,..., v n } se llama sistema de referencia para A n. En términos de la definición anterior y de resultados básicos del álgebra lineal, se tiene que, dado cualquier punto b en A n existen numeros reales (únicos) α 1, α 2,..., α n tales que b = a + α 1 v 1 + α 2 v α n v n. Los escalares α i se denominan coordenadas afines respecto al sistema {a, v 1, v 2,..., v n }. Equivalentemente se tiene el siguiente resultado: Dado un conjunto B = {b 0, b 1,..., b n } afinmente independiente en A n y un punto b de A n existen escalares (únicos) α 0, α 1,..., α n con n i=0 α i = 1 tales que b = n α i b i, i=0 en este caso los números α i se llaman las coordenadas baricéntricas de b respecto a B. Un caso especial a considerar es cuando ocurre que α i 0 para i = 0, 1..., n, en tal caso el punto b pertenece a la cápsula convexa (convex hull) generada por B la cual se define como hull(b) = { n α i b i : i=0 n α i = 1 y α i 0 para i=0 i = 0, 1,..., n En un espacio vectorial las propiedades de mayor interés son aquellas que son invariantes por aplicaciones lineales; en un espacio afín se estudian las propiedades que son invariantes afines, es decir las propiedades que son invariantes bajo aplicaciones afines. Definición Una aplicación afín es una función f : A n A m que envía combinaciones afines en combinaciones afines, es decir, para cualquier par de puntos x e y en A n y todo α en R se da que f ((1 α)x + αy) = (1 α) f (x) + α f (y). De la definición anterior se sigue lo siguiente: Si f : A n A m es una aplicación afín; b 0, b 1,..., b k puntos en A n y si los escalares α 0, α 1,..., α k cumplen que k i=0 α i = 1 entonces ( ) k k f α i b i = α i f (b i ). i=0 i=0 }.

10 1.2. NOCIONES BÁSICAS SOBRE CURVAS 4 Una caracterización muy útil que tienen las aplicaciones afines, es la siguiente: Si f : A n A m es una aplicación afín, entonces, una vez fijados sistemas afines para R n y R m existe una matriz A de tamaño m n y un vector v R m tal que f (x) = Ax + v. Lo anterior muestra que una aplicación afín está compuesta por una aplicación lineal y una traslación Nociones básicas sobre curvas Para el objetivo del diseño con curvas y superficies es conveniente tratar éstas de una manera ligeramente distinta a como se manejan con las herramientas clásicas de la geometría diferencial. Definición Sea p : [a, b] A n una función. Decimos que p es diferenciable en un punto t de (a, b) si existe lím h 0 p(t + h) p(t). h Cuando t es un extremo del intervalo se toma el límite lateral. Definimos la derivada de p en t como el vector p p(t+h) p(t) (t) = lím h 0 h. Decimos que la función p es de clase C r en [a, b] si existe la r ésima derivada p (r) (t), para todo t [a, b]. Notemos que en la definición anterior las derivadas (de cualquier orden) son funciones vectoriales definidas en [a, b] sobre el espacio vectorial R n. Definición Sea p : [a, b] A n de clase C r en [a, b]. Definimos una curva parametrizada de clase C r como el conjunto de puntos {p(t)/t [a, b]}. La función p : [a, b] A n se llama una parametrización de la curva. Por simplicidad denotaremos a la curva simplemente por p. Si un punto sobre la curva p en t tiene coordenadas p(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) entonces su derivada en dicho punto viene dada por el vector p (t) = ( x 1 (t), x 2(t),..., x n(t) ). Veamos ahora algunos elementos básicos sobre curvas en A 3. Sea p una curva parametrizada contenida en A 3 definida sobre un intervalo [a, b]. El vector tangente unitario a la curva p en el punto p(t) se define como T(t) = p (t) p (t).

11 1.2. NOCIONES BÁSICAS SOBRE CURVAS 5 Otro vector importante asociado a la curva es el vector normal principal N(t), el cual es ortogonal a T(t). N(t) apunta en la dirección en la cual está cambiando la curva, éste se puede calcular con la fórmula N(t) = T (t) T (t). Un tercer vector importante asociado a la curva en el punto p(t) es el vector binormal B(t), el cual es ortogonal a T(t) y N(t) y se calcula mediante el producto vectorial. B(t) = T(t) N(t). El conjunto de estos tres vectores, {T(t), N(t), B(t)} es conocido como el triedro de Frenet. Este conjunto forma una base ortonormal para cada punto p(t) (donde T(t) y N(t) existan y sean no paralelos). T(t) B(t) N(t) Figura 1.1: Triedro de Frenet. El plano que pasa por p(t) y es generado por los vectores T(t) y N(t) se conoce como plano osculador en p(t), así, un punto q sobre este plano se escribe como q = p(t) + αt(t) + βn(t), donde α y β son escalares reales. El plano osculador en p(t) se expresa implícitamente como el conjunto formado por los puntos x en A 3 que satisfacen la ecuación (x p(t)) B(t) = 0. El plano que pasa por p(t) y es ortogonal al vector normal principal N(t) se conoce como plano rectificante, así éste queda definido como el conjunto de puntos x de A 3 que satisfacen la ecuación (x p(t)) N(t) = 0. Ya que el plano rectificante es normal a N(t) entonces este se puede generar con T(t) y B(t), de lo cual se desprende que los puntos x del plano rectificante se pueden escribir como x = p(t) + αt(t) + βb(t), donde α y β son escalares reales.

12 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 6 Plano rectificante T(t) B(t) Plano osculador N(t) Figura 1.2: Planos osculador y rectificante en p(t). En la teoría básica de curvas se tienen además dos cantidades escalares que determinan (salvo traslación y rotación) de manera local a la curva en cada punto p(t), estas son la curvatura κ(t) y la torsión τ(t) κ(t) = p (t) p (t) p (t) 3 (1.2) τ(t) = (p (t) p (t)) p (t) p (t) p (t) 2. (1.3) La curvatura puede interpretarse como la medida de que tan lejos está la curva de ser una linea recta. Sobre el plano osculador se puede construir un círculo que toca a la curva de tal forma que la primera y segunda derivada del círculo y la curva en el punto p(t) coinciden. Este círculo llamado círculo osculador, tiene la propiedad de que su radio ρ(t) es ρ(t) = 1/κ(t) y tiene su centro ubicado sobre la recta del plano osculador que tiene dirección N(t). Así, podríamos pensar, que la curvatura se hace mas grande a medida que el círculo osculador se hace mas pequeño y de esta forma la curva tendería a verse mas cerrada. Por otra parte, la torsión se puede ver como la medida de que tan lejos está la curva de ser una curva plana (es decir, que ésta esté contenida en un plano). En otras palabras, la torsión mide la variación del plano osculador a lo largo de la curva. Se tiene entonces, que una curva con torsión nula, τ(t) 0, tiene plano osculador constante a lo largo de ésta Curvas de Bézier y curvas b-spline El algoritmo de de Casteljau es una herramienta básica empleada en el diseño geométrico, en el cual, dados un conjunto de m + 1 puntos en A n se obtienen los

13 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 7 puntos de una curva polinómica interpolante de grado menor o igual que m. Algoritmo de de Casteljau. Sean b 0, b 1, b m puntos en A n el algoritmo está dado por la siguiente recursión: b 0 i (t) = b i b j i (t) = (1 t)bj 1 i (t) + tb j 1 i+1 (t), con j = 0,..., m; i = 0,..., m j. (1.4) Para fijar ideas se ilustra el caso m = 3, para el cual el algoritmo se representa con el siguiente diagrama: b 0 1 t b 1 t 1 t b 1 0 (t) 1 t t b 2 b 1 1 (t) b2 0 (t) 1 t t 1 t 1 t t t b 3 b 1 2 (t) b2 1 (t) b3 0 (t) t b 2 b 1 2 b 2 1 b 1 1 b 3 b 1 b 3 0 = b(t) b 2 0 b 1 0 b 0 Figura 1.3: Curva obtenida con el algoritmo de de Casteljau.

14 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 8 Tomando el polígono de cuatro lados con vértices b 0, b 1, b 2 y b 3 (Figura 1.3), se toman sobre éste los puntos b 1 0, b1 1 y b1 2 dados por el algoritmo, luego sobre el polígono determinado por estos tres puntos nuevos, se toman b 2 0 y b2 1 como aparece en el diagrama, finalmente en el segmento determinado por estos dos puntos se toma b 3 0 como el punto sobre la curva para el valor t [0, 1]. Se define entonces b(t) como b(t) = b 3 0 (t) y la fórmula explícita para b(t) es b(t) = (1 t) 3 b 0 + 3t(1 t) 2 b 1 + 3t 2 (1 t)b 2 + t 3 b 3. Notemos que b(t) es una combinación afín de los puntos b 0, b 1, b 2 y b 3, ya que (1 t) 3 + 3t(1 t) 2 + 3t 2 (1 t) + t 3 1. En general, al aplicar el algoritmo de de Casteljau a los m + 1 puntos, b 0, b 1, b m se obtiene una curva polinomial de grado m en A n, parametrizada por b(t) = m i=0 ( ) m t i (1 t) m i b i i con t [0, 1]. Las curvas obtenidas por medio del algoritmo de de Casteljau se conocen como curvas de Bézier. Usualmente se denotan por con b(t) = B m i (t) = m Bi m (t)b i (1.5) i=0 ( ) m t i (1 t) m i, i para i = 0, 1,..., m. Los puntos b 0, b 1,..., b m son llamados puntos de control o puntos de Bézier y los polinomios B m i (t) se conocen como los polinomios de Bernstein de grado m. Antes de iniciar el estudio básico sobre curvas de Bézier es necesario mencionar algunas de las propiedades más importantes del conjunto de polinomios {Bi m (t)} i=0 m. 1. {Bi m (t)} i=0 m es un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual que m en la variable t, denotado por P m [t]. P m [t] = {a m t n + a m 1 t m a 1 t + a 0 : a 0, a 1,, a m en R}. Lo cual implica que {Bi m (t)} i=0 m forma una base para P m[t].

15 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 9 2. Notando que 1 = (t + (1 t)) m ( m = i = m i=0 m Bi m (t), i=0 ) t i (1 t) m i se concluye que {Bi m } i=0 m forma un partición de la unidad en [0, 1]. 3. Calculemos la derivada a B m i (t) db m i (t) dt ( ) m d(t = i (1 t) m i ) i dt ( ) m = (it i 1 (1 t) m i (m i)t i (1 t) m i 1 ) i (( ) ( ) m m = m t i 1 (1 t) m 1 i )t i (1 t) m 1 i i i ( ) = m B m 1 i 1 (t) Bm 1 i (t). Se tiene entonces la fórmula recursiva para la derivada del polinomio B m i (t), para i = 0, 1,..., m db m i (t) dt ( = m B m 1 i 1 ) (t) Bm 1 i (t) donde se toma B 1 m (t) = Bm m+1 (t) = 0 para todo t R y todo m N Veamos ahora algunas de las propiedades de las curvas de Bézier, las cuales serán usadas en este trabajo. Consideremos la curva de Bézier b(t) = m i=0 Bm i (t)b i en A n. 1. Es claro que b(0) = b 0 y que b(1) = b m, lo cual exhibe la propiedad interpolante que tiene una curva de Bézier sobre sus puntos de control, en los extremos.

16 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE Calculemos la derivada de b(t). b (t) = db(t) dt m dbi = m (t) dt i=0 ( = m = m i=0 b i B m 1 i 1 ) (t) Bm 1 i (t) b i m mb m 1 i (t)(b i+1 b i ) i=0 m 1 = m i=0 B m 1 i (t)(b i+1 b i ) adoptando la notación b i = b i+1 b i, se tiene la fórmula b m 1 (t) = m i=0 B m 1 i (t) b i. (1.6) Las diferencias b i son vectores de R n, se tiene que b (t) m es una curva de Bézier de grado m 1 y sus puntos de control son b i. 3. Los vectores tangentes a la curva en t = 0 y en t = 1 vienen dados por b (0) = m b 0 y b (1) = m b m Forma polar Dada una curva de Bézier b de grado m en A n, es posible asociar a ésta una función polinomial p : R m A n de grado m, la cual es multiafín y simétrica. Ser multiafín significa que es una aplicación afín en cada componente, es decir, para i = 1, 2,..., m y para todo α R p(t 1,..., αs + (1 α)t,..., t } {{ } m ) = αp(t 1,..., s,..., t m ) + (1 α)p(t 1,..., t,..., t m ) i ésima posición y que la función sea simétrica significa, que para toda permutación σ de {1, 2,..., m} se da que p(t σ(1), t σ(2),..., t σ(m) ) = p(t 1, t 2,..., t m ). Este polinomio p(t 1, t 2,..., t m ) es comúnmente conocido como la forma polar o blossom asociado a la curva b. La principal característica la forma polar es que sobre la diagonal, es decir, cuando t 1 = t 2 =... = t m = t se tiene que p(t, t,..., t) = b(t).

17 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 11 Es más, si los puntos de control de la curva b son b 0, b 1,..., b m entonces p(0, 0,..., 0, 0) = b 0 p(0, 0,..., 0, 1) = b 1 p(0, 0,..., 1, 1) = b 2. p(1, 1,..., 1, 1) = b m. Dados los puntos de Bézier b 0, b 1,..., b m existe un algoritmo que permite calcular la forma polar asociada a la curva de Bézier determinada por los puntos dados. Este algoritmo se conoce como el Algoritmo de de Casteljau Generalizado. Algoritmo de de Casteljau Generalizado. Sean b 0, b 1, b m puntos en A n el algoritmo está dado por la siguiente recursión: b 1 i (t 1) = (1 t 1 )b i + t 1 b i+1 b j i (t 1,..., t j ) = (1 t j )b j 1 i (t 1,..., t j 1 ) + t j b j 1 i+1 (t 1,..., t j 1 ), con j = 1,..., m; i = 0,..., m j. La forma polar p asociada a la curva de Bézier b resulta ser p(t 1, t 2,..., t m ) = b m 0 (t 1, t 2,..., t m ). Para m = 3 el algoritmo se puede representar con el siguiente diagrama b 0 1 t 1 t 1 b 1 b 1 0 (t 1) 1 t 1 t 1 1 t 2 b 2 b 1 1 (t 1) b 2 0 (t 1, t 2 ) 1 t 1 t 1 t 2 1 t 2 t 2 1 t 3 b 3 b 1 2 (t 1) b 2 1 (t 1, t 2 ) b 3 0 (t 1, t 2, t 3 ) explícitamente la forma polar obtenida es p(t 1, t 2, t 3 ) = (1 t 1 )(1 t 2 )(1 t 3 )b 0 + [t 1 (1 t 2 )(1 t 3 ) + (1 t 1 )t 2 (1 t 3 ) + (1 t 1 )(1 t 2 )t 3 ] b 1 + [t 1 t 2 (1 t 3 ) + t 1 (1 t 2 )t 3 + (1 t 1 )t 2 t 3 ] b 2 + t 1 t 2 t 3 b 3. t 3

18 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE Curvas B-spline de grado 3 Una curva B-spline de grado 3 es una curva polinomial por trozos y cada trozo es una curva de Bézier de grado 3. La curva B-spline es de clase C 2, o sea, las derivadas por la izquierda y por la derecha en el punto común de trozos adyacentes coinciden. (Figura 1.4). Figura 1.4: B-spline cúbico formado por tres curvas de Bézier. Para definir una curva B-Spline de grado 3 y k pedazos se necesita: 1. k + 5 numeros reales x 2, x 1, x 0, x 1,..., x k, x k+1, x k+2, llamados nodos. 2. k + 3 puntos p 0, p 1,..., p k+2 en A n. Estos puntos son llamados puntos de de Boor. Iniciamos la construcción definiendo k formas polares de grado 3, p i con i = 1, 2..., k, tal que cada p i esta definida por los puntos p i 1, p i, p i+1 y p i+2. Cada forma polar p i debe cumplir p i (x i 3, x i 2, x i 1 ) = p i 1 p i (x i 2, x i 1, x i ) = p i p i (x i 1, x i, x i+1 ) = p i+1 p i (x i, x i+1, x i+2 ) = p i+2. Con esta asignación de puntos que se da para cada forma polar p i es suficiente para obtener las expresiones generales p i (t 1, t 2, t 3 ) como una combinación afín de los puntos p i 1, p i, p i+1 y p i+2, este hecho se desprende de la multiafinidad y la simetría

19 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 13 de cada forma polar. Para obtener dicha expresión nos basamos en el siguiente diagrama: p i (x i 3, x i 2, x i 1 ) x i 3 x i p i (x i 2, x i 1, x i ) p i (x i 2, x i 1, t 3 ) x i 2 x i+1 x i 2 x i p i (x i 1, x i, x i+1 ) p i (x i 1, x i, t 3 ) p i (x i 1, t 2, t 3 ) x i 1 x i+2 x i 1 x i+1 x i 1 x i p i (x i, x i+1, x i+2 ) p i (x i, x i+1, t 3 ) p i (x i, t 2, t 3 ) p i (t 1, t 2, t 3 ) Para fijar ideas mostramos sólo el primer paso (mirando el diagrama de derecha a izquierda). Se escribe a t 1 como una combinación afín de x i 1 y x i, con lo cual se tiene t 1 = x i t 1 x i x i 1 x i 1 + t 1 x i 1 x i x i 1 x i, luego, de la multiafinidad de la forma polar se sigue ( p i (t 1, t 2, t 3 ) = p i xi t 1 x x i x i 1 + t ) 1 x i 1 x i 1 x i x i, t 2, t 3 i 1 = x i t 1 x i x i 1 p i (x i 1, t 2, t 3 ) + t 1 x i 1 x i x i 1 p i (x i, t 2, t 3 ). Así, siguiendo el diagrama usando la idea mostrada en el primer paso, se obtiene que la fórmula explícita para p i es p i (t 1, t 2, t 3 ) = q i 0 (t 1, t 2, t 3 )p i 1 + q i 1 (t 1, t 2, t 3 )p i + q i 2 (t 1, t 2, t 3 )p i+1 + q i 3 (t 1, t 2, t 3 )p i+2 donde q0 i (t (x 1, t 2, t 3 ) = i t 3 )(x i t 2 )(x i t 1 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 )(x i x i 3 ) q1 i (t (x 1, t 2, t 3 ) = i t 3 )(x i t 2 )(t 1 x i 3 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 )(x i x i 3 ) + (x i t 3 )(t 2 x i 2 )(x i+1 t 1 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 )(x i+1 x i 2 ) (t + 3 x i 1 )(x i+1 t 2 )(x i+1 t 1 ) (x i x i 1 )(x i+1 x i 1 )(x i+1 x i 2 )

20 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 14 q i 2 (t 1, t 2, t 3 ) = (x i t 3 )(t 2 x i 2 )(t 1 x i 1 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 )(x i+1 x i 2 ) + (t 3 x i 1 )(x i+1 t 2 )(t 1 x i 2 ) (x i x i 1 )(x i+1 x i 1 )(x i+1 x i 2 ) + (t 3 x i 1 )(t 2 x i 1 )(x i+2 t 1 ) (x i x i 1 )(x i+1 x i 1 )(x i+2 x i 1 ) q i 3 (t 1, t 2, t 3 ) = (t 3 x i 1 )(t 2 x i 1 )(t 1 x i 1 ) (x i x i 1 )(x i+1 x i 1 )(x i+2 x i 1 ) Es importante notar que para i = 1,..., k 1, las formas polares p i y p i+1 toman los mismos valores p i, p i+1 y p i+2, lo cual ocurre cuando se evalúan en las ternas de nodos (x i 2, x i 1, x i ), (x i 1, x i, x i+1 ) y (x i, x i+1, x i+2 ). Al tomar en la forma polar p i, para i = 1,..., k, los puntos b i0 = p i (x i 1, x i 1, x i 1 ) (1.7) b i1 = p i (x i 1, x i 1, x i ) b i2 = p i (x i 1, x i, x i ) b i3 = p i (x i, x i, x i ) son los puntos de control de la curva de Bézier b i (u(t)) = p i (u(t), u(t), u(t)), donde u : [0, 1] [x i 1, x i ], con u(t) = (1 t)x i 1 + tx i, b i es una curva de Bézier parametrizada sobre el intervalo [x i 1, x i ]. La variable u introducida es una variable sobre el intervalo [x 0, x k ], esta se conoce como parámetro global del B-spline p, el cual se define como p(u) = b i (u) cuando u [x i 1, x i ]. El siguiente teorema garantiza la continuidad y la diferenciabilidad de orden 2 del B-spline sobre los nodos. Teorema Para i = 1,..., k las curvas de Bézier b i (u) parametrizadas sobre [x i 1, x i ] satisfacen que 1. b i (x i ) = b i+1 (x i ) db i du u=x i = db i+1 du u=x i. d 2 b i du 2 u=xi = d2 b i+1 du 2 u=xi. Demostración. Usando la forma polar p i se calculan los puntos de control de b i como en (1.7) y se tiene que

21 1.3. CURVAS DE BÉZIER Y CURVAS B-SPLINE 15 b i0 = + (x i x i 1 ) 2 ( (x i x i 2 )(x i x i 3 ) p (xi+1 x i 1 )(x i 1 x i 2 ) i 1+ (x i x i 2 )(x i+1 x i 2 ) + (x ) i x i 1 )(x i 1 x i 3 ) p (x i x i 2 )(x i x i 3 ) i (x i 1 x i 2 ) 2 (x i x i 2 )(x i+1 x i 2 ) p i+1 b i1 = x i+1 x i 1 p x i+1 x i + x i 1 x i 2 p i 2 x i+1 x i+1 i 2 b i2 = x i+1 x i p x i+1 x i + x i x i 2 p i 2 x i+1 x i+1 i 2 b i3 = + (x i+1 x i ) 2 (x i+1 x i 1 )(x i+1 x i 2 ) p i+ (x i x i 1 ) 2 (x i+1 x i 1 )(x i+2 x i 1 ) p i+2. ( (xi+2 x i )(x i x i 1 ) (x i+1 x i 1 )(x i+2 x i 1 ) + (x i+1 x i )(x i x i 2 ) (x i+1 x i 1 )(x i+1 x i 2 ) Note que b i3 = b i+1 0, lo cual significa que b i (x i ) = b i+1 (x i ). Ahora, usando la regla de la cadena se obtiene la derivada de las curvas de Bézier b i (u) y b i+1 (u) en u = x i. y ) p i+1 db i du u=x i = db i dt dt du u=x i 3 = (b x i x i3 b i2 ) (1.8) i 1 db i+1 du u=x i = db i+1 dt = dt du u=x i 3 x i+1 x i (b i+1 1 b i+1 0 ). (1.9) Simplificando adecuadamente las expresiones (1.8) y (1.9) se obtiene que éstas coinciden, lo cual implica el resultado deseado. Para ver que las segundas derivadas coinciden en u = x i, es suficiente simplificar las expresiones y d 2 ( ) b i du 2 u=x i = d2 b i dt 2 dt 2 u=xi du 6 = (x i x i 1 ) [(b 2 i3 b i2 ) (b i2 b i1 )] d 2 ( ) b i+1 du 2 u=xi = d2 b i+1 dt 2 dt 2 u=xi du 6 = (x i+1 x i ) [(b 2 i+1 2 b i+1 1 ) (b i+1 1 b i+1 0 )] verificando que éstas coinciden.

22 1.4. EL ESPACIO PROYECTIVO El espacio proyectivo Actualmente la geometría proyectiva ocupa un papel importante en el diseño de curvas y superficies, ya que éstas se pueden ver como envolventes de familias de lugares geométricos (por ejemplo familias, de rectas, de planos, de círculos, etc.) en R 3 y estas familias pueden ser vistas como conjuntos de puntos en algún espacio proyectivo. Por conveniencia, consideramos la definición de espacio proyectivo con cierto nivel de generalidad Definición Dado un espacio vectorial real V de dimensión n + 1, se define la relación de equivalencia sobre V dada por: u v si y sólo si, existe λ 0 tal que u = λv El espacio proyectivo de dimensión n basado en V se define como el cociente P n (V) = (V {0})/. En particular, denotamos el espacio proyectivo basado en el espacio vectorial R n+1 simplemente por P n. Para una interpretación del espacio proyectivo P n, tomemos un punto B en P n, B resulta ser una clase de equivalencia, es decir, B = [b] para algún b R n+1 {0}, si escogemos a b como representante de B, entonces cualquier otro representante v de B sería v = λb, es decir, v es un vector sobre la recta generada por b que pasa por el origen, de lo cual se sigue que todos los representantes de B están sobre dicha recta, de esta forma es natural identificar o pensar en los elementos de P n como las rectas de R n+1 que pasan por el origen Coordenadas homogéneas y afines Definición Si B es un punto en P n, entonces B = [b], con b = (b 0, b 1,..., b n ) un vector de R n+1, el vector b se conoce como vector de coordenadas homogéneas de B. Es claro que el vector de coordenadas homogéneas de B no es único, ya que para cualquier λ 0 se tiene que B = [λb], así λb es también un vector de coordenadas homogéneas para B. La siguiente definición exhibe la relación entre P n y R n. Definición Si b = (b 0, b 1,..., b n ) son las coordenadas homogéneas de un punto B en P n, decimos que B es un punto en el infinito o dirección si b 0 = 0, en ( caso contrario decimos que B es un punto finito, de lo cual se sigue que el vector 1, b 1 ) b 0,..., b n b 0

23 1.4. EL ESPACIO PROYECTIVO 17 es también un vector de coordenadas homogéneas para B el cual se conoce como vector de coordenadas afines de B. Es fácil ver que las coordenadas afines de un punto finito B no dependen de las coordenadas homogéneas tomadas, de esto se desprende que las coordenadas afines de un punto finito son únicas. Ahora, los puntos de R n están unívocamente asociados con los puntos finitos de P n, basta considerar el siguiente diagrama. i R n R n+1 x 0 =1 p P n donde R n+1 x 0 =1 = {(x 0, x 1,..., x n ) : x 0 = 1}, i(x 1, x 2,..., x n ) = (1, x 1, x 2,..., x n ) y p(1, x 1, x 2,..., x n ) = [(1, x 1, x 2,..., x n )] Rectas y planos en espacios proyectivos Las rectas en un espacio proyectivo pueden definirse paramétricamente por medio de dos puntos distintos. Dados dos puntos distintos A y B en el espacio proyectivo P n con n > 1, se define una recta proyectiva por medio del siguiente diagrama. φ R 2 R n+1 p 1 p n P 1 φ P n donde φ(s, t) = sa + tb, con a y b coordenadas homogéneas para A y B respectivamente, p 1 (s, t) = [(s, t)], p n (x 0, x 1,..., x n ) = [(x 0, x 1,..., x n )], ya que φ es una aplicación homogénea, queda bien definida φ, la cual se define como φ[(s, t)] = p n (φ(s, t)). Se define entonces las recta proyectiva que pasa por los puntos A y B como φ(p 1 ). Similar a la construcción paramétrica de rectas proyectivas presentada anteriormente, se puede definir un 2-plano proyectivo en P n con n > 2, a partir de tres puntos no colineales (esto es, que no estén sobre una misma recta proyectiva) de P n. Sean A, B y C puntos de P n no colineales y sean a, b y c coordenadas homogéneas para estos puntos, respectivamente. Se define la función φ : R 3 R n+1, definida por φ(s, t, u) = sa + tb + uc, la cual es homogénea, luego esta se puede extender a φ : P 2 P n dada por φ[(s, t, u)] = [φ(s, t, u)]. Así, Π = φ(p 2 ) es el 2-plano proyectivo que pasa por los puntos A, B y C. Al conjunto de coordenadas homogéneas

24 1.4. EL ESPACIO PROYECTIVO 18 B = {a, b, c} lo llamaremos sistema de coordenadas homogéneas para el plano proyectivo Π. Note que cualquier terna de puntos no colineales en un plano proyectivo define un sistema de coordenadas homogéneas. Hiperplanos en P n Un vector a = (a 0, a 1,..., a n ) en R n+1, define un hiperplano en R n+1 como el espacio vectorial n-dimensional π = {(x 0, x 1,..., x n ) : a 0 x 0 + a 1 x a n x n = 0}. Éste define, de forma natural, un hiperplano en P n, el cual también se conoce como (n 1)-plano proyectivo en P n, éste se describe por medio de Π = {[(x 0, x 1,..., x n )] : a 0 x 0 + a 1 x a n x n = 0}. En particular, con n = 3 se tiene que un 2-plano en P 3 tiene ecuación a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0. Con n = 2 la ecuación a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, define en P 2 un 1-plano, mejor conocido como una recta proyectiva. La intersección de dos planos proyectivos en P 3 (lo cual siempre ocurre) determina una recta proyectiva de manera implícita. Note que una recta proyectiva tiene dos definiciones: la paramétrica y la implícita. Así, una recta proyectiva L en P 3 se representa como { } a L = Π 1 Π 2 = [(x 0, x 1, x 2, x 3 )] 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 : b 0 x 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0 (1.10) donde Π 1 = {[(x 0, x 1, x 2, x 3 )] : a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0} Π 2 = {[(x 0, x 1, x 2, x 3 )] : b 0 x 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0} con (a 0, a 1, a 2, a 3 ) y (b 0, b 1, b 2, b 3 ) vectores no paralelos. Coordenadas en R 3 para rectas de P 3 como Si L es una recta de P 3 definida como en (1.10) esta recta puede ser representada L = {[sa + tb] : (s, t) R 2 }, donde {a, b} es una base para el conjunto solución de las ecuaciones en (1.10). Ahora, sea B = {v 1, v 2, v 3 } un sistema de coordenadas homogéneas para Π 1. Sea X un punto en L, con coordenadas homogéneas x = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) R 4 y sean (x) B = ( x 0, x 1, x 2 ), (a) B = (ā 0, ā 1, ā 2 ) y (b) B = ( b 0, b 1, b 2 ) los vectores de coordenadas de x,

25 1.4. EL ESPACIO PROYECTIVO 19 a y b respecto a la base B, respectivamente. Como X L, entonces existen s y t en R tales que x = sa + tb, luego (x) B = s(a) B + t(b) B x 0 ā 0 x 1 = s ā 1 + t x 2 ā 2 b 0 b 1 b 2. (1.11) Al eliminar las variables s y t en (1.11), se obtiene una ecuación a x 0 + b x 1 + c x 2 = 0, con la cual L = {[x] : (a, b, c) (x) B = 0}. El vector (a, b, c) se conoce como vector de coordenadas homogéneas respecto a B para la recta L. Notemos que para cualquier λ 0, (λa, λb, λc) también es un vector de coordenadas homogéneas para L Dualidad en espacios proyectivos El espacio dual de R n+1 se define como (R n+1) = { f : R n+1 R } : f es una transformación lineal. ( R n+1 ) tiene una estructura de espacio vectorial heredada de R n+1. Consideremos además la relación de equivalencia definida sobre ( R n+1) por: f g si y solo si existe λ R {0} tal que f = λg. Con esto, se define el espacio proyectivo dual como ( ) (P n ) = (R n+1 ) {0} /. Para dar una interpretación de los elementos del espacio proyectivo dual consideremos lo siguiente: Si Π (P n ) entonces Π = [ f ] con f R n+1, es natural identificar a Π con ker( f ), esta identificación no depende del representante f, ya que si g es otro representante de Π, entonces existe λ R {0} tal que f = λg, así ker( f ) = ker(λg) = ker(g). En términos geométricos, ker( f ) es un n-plano en R n+1 que pasa por el origen y en P n se ve como un (n 1)-plano proyectivo. Para nuestros intereses veamos algunas relaciones entre los objetos de P 3 y (P 3 ).

26 1.4. EL ESPACIO PROYECTIVO 20 L2 L1 L3 L3 L2 L1 (a) P 2 (b) (P 2 ) Figura 1.5: Rectas incidentes en P 2 son puntos colineales en (P 2 ) 1. Si b es un vector en R 4, es decir si b = (d, a, b, c), este puede ser un vector de coordenadas homogéneas para el punto proyectivo B = [b] P 3 o bien para el plano proyectivo B = {[(w, x, y, z)] : ax + by + cz + wd = 0} P 3, el cual es un punto en (P 3 ). 2. Sea Π un 2-plano proyectivo contenido en P 3 y sean L 1 y l 2 rectas contenidas en Π. Si B es un sistema de coordenadas homogéneas para Π y si L 1 y L 2 tienen vectores de coordenadas homogéneas b 1 y b 2 (en R 3 ) respecto a B, entonces el punto de intersección entre L 1 y L 2 tiene coordenadas homogéneas b 1 b 2, dual a esto, en (P 2 ), se tiene que L 1 y L 2 son puntos y que b 1 b 2 define coordenadas homogéneas para la recta en (P 3 ) que pasa por los puntos L 1 y L 2. Figura 1.5.

27 Capítulo 2 Familias paramétricas de rectas 2.1. Superficies regladas Consideremos una curva a : [a, b] A 3 y una función vectorial b : [a, b] R 3. Para t [a, b] consideremos la recta L t que pasa por el punto a(t) y es paralela al vector b(t). Sea S = {L t : t I}, decimos que S es la superficie reglada generada por a y b. S es parametrizada por x : [a, b] R S, donde x(t, v) = a(t) + vb(t). Las rectas L t se denominan generadores ó reglas de S. la función vectorial b se llama generatriz. La curva a se denomina curva base o directriz de S. Las derivadas parciales para x en (t, v) están dadas por x t = a (t) + vb (t) x v = b(t). Decimos que x(t, v) es una singularidad de la superficie reglada si los vectores x t y x v son paralelos, en el caso contrario decimos que el punto es un punto regular de la superficie. Si los vectores x t y x v no son paralelos, entonces el vector N(t, v) = x t x v es no nulo y éste se define como el vector normal a la superficie en el punto x(t, v). Cuando N(t, v) es no nulo, se puede construir el plano T t,v (S) = {y A 3 : (x(t, v) y) N(t, v) = 0}, 21

28 2.1. SUPERFICIES REGLADAS 22 para cualquier punto y que esté sobre este plano existen números reales α y β tales que y = x(t, v) + αx t + βx v. El plano T t,v (S) se define como el plano tangente a la superficie en el punto x(t, v). Ejemplo Sea S el paraboloide hiperbólico definido por la ecuación z = kxy, k 0. Notemos que las rectas L t parametrizadas por y = z/tk y x = t, pertenecen a S, la intersección de cada L t con el plano z = 0 se da en el punto (t, 0, 0) y L t es paralela al vector (0, 1/k, t). Tomando como curva directriz a(t) = (t, 0, 0) y como vectores directores para las rectas, b(t) = (0, 1, kt); obtenemos que S es una superficie reglada parametrizada por (ver Figura 2.1(a)) x(t, v) = a(t) + vb(t) = (t, v, kvt). Ejemplo Sea S el hiperboloide de revolución con ecuación x 2 + y 2 z 2 = 1, tomando a(t) = (cos t, sin t, 0) para t (0, 2π) y b(t) = a (t) + e 3 con e 3 = (0, 0, 1). Se tiene que la función 1 x(t, v) = a(t) + vb(t) = (cos t v sin t, sin t + v cos t, v) parametriza a S, de manera que S es una superficie reglada.(ver Figura 2.1(b)). Ejemplo Sea a una curva parametrizada, y b 0 un vector. Una superficie reglada que pueda ser parametrizada por x(t, v) = a(t) + vb 0 tiene la propiedad que todos sus generadores tienen dirección constante. Las superficies regladas de este tipo se conocen como superficies cilíndricas. Ejemplo Sea a 0 un punto y b : [a, b] R 3 una función C 2, la superficie reglada obtenida por la parametrización x(t, v) = a 0 + vb(t) tiene la propiedad de que todos sus generadores se intersecan en el punto a 0. 1 Con e 3 en lugar de e 3 se obtiene una parametrización donde los generadores son distintos a los obtenidos con e 3.

29 2.1. SUPERFICIES REGLADAS 23 (a) Paraboloide hiperbólico (b) Hiperboloide de revolución Figura 2.1: Superficies regladas. Ejemplo Un tipo de superficies de gran interés en este trabajo, son las superficies tangentes a una curva a, estas pueden ser parametrizadas por x(t, v) = a(t) + va (t). Una propiedad importante de estas superficies, que veremos mas adelante, es que el plano osculador de la curva a en un punto a(t) coincide con el plano tangente a la superficie en cualquier punto del generador L t. la curva a a la cual son tangentes todos los generadores de la superficie se llama linea de regresión. (a) Cilindro (b) Cono (c) Superficie tangente Figura 2.2: Superficies regladas con igual directriz.

30 2.1. SUPERFICIES REGLADAS Linea de estricción Consideremos una superficie reglada S parametrizada por x(t, v) = a(t) + vb(t), con (t, v) [a, b] R, con b (t) 0 para t [a, b]. Estudiemos el comportamiento del vector normal a la superficie sobre un generador fijo L t cuando v. Para esto definamos ˆN = 1 v2 + 1 x t x v = 1 v2 + 1 a (t) b(t) + v v2 + 1 b (t) b(t). Ahora, cuando v, ˆN b (t) b(t) (2.1) v +, ˆN b (t) b(t) (2.2) lo cual dice que el plano tangente, entre las posiciones límite (con t fijo) gira un ángulo π a lo largo del generador L t. El plano normal al vector b (t) b(t) se conoce como plano asintótico de S sobre el generador L t y se denota por Π t, { } Π t = y A 3 : (y a(t)) (b (t) b(t)) = 0. El plano tangente a S sobre el generador L t que es perpendicular a Π t como plano central y se denota por Π C t y { Π C t = y A 3 : (y a(t)) (b(t) ( b (t) b(t) )) } = 0. se conoce Un punto sobre L t se llama punto central o punto de estricción si el plano tangente a la superficie S en dicho punto coincide con el plano central Π C t. Definición El conjunto de puntos centrales de una superficie reglada S se denomina linea de estricción de S. Para encontrar una fórmula que permita calcular los puntos sobre la linea de estricción consideremos un punto central x(t, v) = a(t) + vb(t). El vector normal x t x v en el punto x(t, v) también es ortogonal al plano central, luego x t x v es ortogonal a el vector normal al plano asintótico, es decir (x t x v ) (b (t) b(t)) = 0 (a (t) b(t) + vb (t) b(t)) (b (t) b(t)) = 0 (a (t) b(t)) (b (t) b(t)) + v b (t) b(t) 2 = 0

31 2.1. SUPERFICIES REGLADAS 25 así se tiene que v = (a (t) b(t)) (b (t) b(t)) b (t) b(t) 2. (2.3) Lo cual implica que los puntos centrales de S dependen solo de t y están sobre la curva e : [a, b] S dada por e(t) = a(t) (a (t) b(t)) (b (t) b(t)) b (t) b(t) 2 b(t). (2.4) Observación Es claro que una superficie reglada S con generatriz b también se puede parametrizar con x(t, u) = e(t) + ub(t). Veamos ahora que los puntos e(t) de la superficie son precisamente los puntos de estricción. Consideremos la parametrización x(t, u) = e(t) + ub(t) donde e(t) = a(t) + v(t)b(t) con v como en (2.3). El vector normal en x(t, u) está dado por x t x u = a (t) b(t) + (v(t) + u)b (t) b(t) y el vector normal en e(t) = x(t, 0) es a (t) b(t) + v(t)b (t) b(t). Luego (a (t) b(t) + v(t)b (t) b(t)) (b (t) b(t)) = 0, lo cual significa que el plano tangente en e(t) es perpendicular al plano asintótico del generador L t, es decir el punto e(t) es un punto central. De lo anterior se puede definir la linea de estricción como los puntos de la superficie que están sobre la curva e(t). Ejemplo La linea de estricción de las superficies en los ejemplos y resultan ser la curvas directrices con las que se parametrizaron, respectivamente Parámetro de distribución En esta sección se da un resultado que permite identificar las singularidades que puede tener una superficie reglada, a partir de la linea de estricción. Lema Sea S una superficie reglada con generatriz b(t) y linea de estricción e(t). La linea de estricción e satisface que (e (t) b(t)) (b (t) b(t)) = 0 para todo t [a, b].

32 2.1. SUPERFICIES REGLADAS 26 Demostración. Sea v(t) como en (2.3), luego, un punto sobre la linea de estricción se escribe como e(t) = a(t) + v(t)b(t), de lo cual se desprende que e (t) = a (t) + v (t)b(t) + v(t)b (t) e (t) b(t) = a (t) b(t) + v(t)b (t) b(t) (e (t) b(t)) (b (t) b(t)) = (a (t) b(t)) (b (t) b(t)) + v(t) b (t) b(t) 2 finalmente, con v(t) como en (2.3) se tiene que (e (t) b(t)) (b (t) b(t)) = 0. Proposición Sea S una superficie reglada no cilíndrica parametrizada por x(t, v) = e(t) + vb(t), donde e es su línea de estricción. Un punto p = x(t, v) es una singularidad de la superficie si y sólo si p está sobre la linea de estricción y (e (t) b(t)) b (t) = 0. Demostración. Del lema se sigue (e (t) b(t)) (b (t) b(t)) = 0 y ya que (b (t) b(t)) b(t) = 0, se tiene que b(t) (e (t) b(t)) es paralelo a b (t) b(t), así, existe un número real λ(t) tal que b(t) (e (t) b(t)) = λ(t)(b (t) b(t)). (2.5) Por otra parte, de la expresión para el vector normal a la superficie en x(t, v) dada por x t x v = e (t) b(t) + vb (t) b(t) y junto con (2.5) se tiene que b(t) (x t x v ) = b(t) (e (t) b(t)) + vb(t) (b (t) b(t)) (2.6) = λ(t) ( b (t) b(t) ) + vb(t) ( b (t) b(t) ) (2.7) Tomando norma al cuadrado en (2.7) se desprende la expresión x t x v 2 = (λ 2 (t) + v 2 b(t) 2) b (t) b(t) 2 b(t) 2. (2.8) De (2.5) se obtiene la expresión para λ(t) dada por λ(t) = b(t) 2 b (t) b(t) 2 ( e (t) (b (t) b(t)) ). (2.9) Ahora, de (2.8) podemos ver que el punto p es una singularidad si y sólo si v = 0 y λ 2 (t) = 0, es decir, si el punto p = x(t, v) es un punto de estricción y e (t) (b (t) b(t)) = 0. El escalar λ(t) obtenido en (2.5) se conoce como parámetro de distribución de la superficie en el generador L t.

33 2.2. SUPERFICIES DESARROLLABLES 27 Observación Con la proposición anterior se tiene una herramienta de gran utilidad en el diseño de superficies a partir de superficies regladas, puesto que por medio de la linea de estricción es posible identificar las singularidades de este tipo de superficies. Los puntos de un generador son puntos regulares de la superficie, con la posible excepción del punto de intersección con la línea de estricción, el cual es el punto central del generador. Para una interpretación geométrica del parámetro de distribución λ consideremos lo siguiente. Sea S una superficie reglada no cilíndrica parametrizada por x(t, v) = e(t) + vb(t). De (2.7) se obtiene la siguiente expresión para el vector normal N(t, v) = 1 b(t) 2 λ(t)(b (t) b(t)) b(t) + v b(t) 2 (b (t) b(t)) (2.10) notemos que si v = 0 se tiene el vector N(t, 0) = 1 b(t) 2 λ(t)(b (t) b(t)) b(t) (2.11) el cual es el vector normal a la superficie en el punto de estricción x(t, 0) = e(t). Ahora, si θ es el ángulo formado por el plano central del generador L t y el plano tangente en el punto x(t, v), entonces cos θ = = N(t, 0) N(t, v) N(t, 0) N(t, v) λ(t) λ2 (t) + v 2 b(t). 2 De esta última expresión se sigue que λ(t) = v b(t). (2.12) tan θ De la ecuación (2.12) se puede ver que el parámetro de distribución resulta ser la razón entre, la distancia del punto x(t, v) al punto central x(t, 0) y el ángulo comprendido por los planos tangentes a estos puntos, respectivamente Superficies desarrollables En la familia de superficies regladas se encuentran las que satisfacen que el plano tangente a la superficie sobre un generador es el mismo a lo largo de éste, es decir, la dirección del vector normal a lo largo de un generador es constante.

34 2.2. SUPERFICIES DESARROLLABLES 28 Definición Sea S una superficie reglada parametrizada por x(t, v) = a(t) + vb(t). Decimos que S es una superficie desarrollable si el vector normal N(t, v), con t fijo, tiene dirección constante para todo valor del parámetro v. En los ejemplos 2.1.3, y 2.1.5, se exhiben las superficies desarrollables más simples. En esta sección daremos la prueba de que cualquier superficie desarrollable está formada por trozos de éstas. Verificamos primero que las superficies definidas en estos ejemplos son superficies desarrollables. 1. Consideremos una superficie reglada cilíndrica con parametrización x(t, v) = a(t) + vb 0, con b 0 un vector fijo. Con un simple cálculo vemos que el vector normal a la superficie en el punto x(t, v), viene dado por N(t, v) = a (t) b 0, el cual no depende del parámetro v, así, sobre el generador L t, N(t, v) es constante. 2. Ahora, consideremos una superficie reglada con parametrización x(t, v) = a 0 + vb(t) con a 0 un punto fijo. En este caso el vector normal a la superficie viene dado por N(t, v) = v(b (t) b(t)). Aunque N(t, v) depende de t y de v, vemos que su dirección, que es lo importante, no depende de v sobre el generador L t. Además, cabe resaltar que con v = 0 el vector normal es nulo, lo cual significa que el vértice del cono es una singularidad y se puede definir la linea de estricción para el cono como la curva constante e(t) = a Finalmente, consideremos la superficie tangente a una curva a(t). Se tiene entonces la parametrización x(t, v) = a(t) + va (t), el vector normal a esta superficie reglada está dado por N(t, v) = v(a (t) a (t)) cuya dirección sobre el generador L t no depende del parámetro v. Notemos además que el vector normal (con v 0) a la superficie tangente tiene la misma dirección que el vector binormal a la curva, de lo cual se desprende que el plano osculador a la curva directriz en el punto a(t) coincide con el plano tangente a la superficie en el generador L t. Cuando v = 0 el vector normal es nulo, lo cual significa que los puntos sobre la linea de regresión (ver ejemplo

35 2.2. SUPERFICIES DESARROLLABLES ) resultan ser las singularidades de la superficie, este hecho permite afirmar que la linea de estricción de una superficie tangente y su linea de regresión coinciden. Además, la fórmula (2.4) valida este hecho. Lema (Condición de desarrollabilidad) Sea S un superficie reglada parametrizada por x(t, v) = a(t) + vb(t) para t [a, b]. La superficie reglada S es una superficie desarrollable si y sólo si para todo t [a, b] se cumple (a (t) b(t)) b (t) = 0. (2.13) Demostración. Si S es una superficie desarrollable, entonces los vectores normales en cualquier par de puntos x(t, v 1 ) y x(t, v 2 ) del generador L t son paralelos, luego 0 = N(t, v 1 ) N(t, v 2 ) = ( a (t) b(t) + v 1 b (t) b(t) ) ( a (t) b(t) + v 2 b (t) b(t) ) = (v 2 v 1 )(a (t) b(t)) (b (t) b(t)) = (v 1 v 2 ) ( (a (t) b(t)) b (t) ) b(t). Lo anterior implica, que con v 1 v 2 y b(t) 0 se obtiene (2.13). Teorema (Clasificación de las superficies desarrollables) Cualquier superficie desarrollable puede ser dividida en trozos de tal forma que éstos son, pedazos de planos, cilindros, conos o superficies tangentes. Demostración. Sea S una superficie desarrollable con parametrización x(t, v) = a(t) + vb(t) (2.14) con a y b de clase C 2 para t en un intervalo [a, b]. Ya que para cada t [a, b] se tiene (a (t) b(t)) b (t) = 0, existen funciones escalares f (t), g(t) y h(t) definidas en [a, b], no todas simultáneamente cero tales que f a + gb + hb = 0. (2.15) Supongamos que las funciones f, g y h son de la misma clase que a y b. Consideremos ahora los siguientes casos C. 1 Si f (t) = 0 para todo t en algún intervalo abierto I contenido en [a, b]. De (2.15) se tiene que gb + hb = 0 (2.16)