Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

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1 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

2 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

3 Contenido 1 Espacios Vectoriales Terminología Definiciones Bases Dimensión de un espacio vectorial Sumas y sumas directas Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

4 Terminología El conjunto de números enteros positivos es denotado por N = {1, 2,...}. El conjunto de todos los enteros es denotado por Z. El conjunto de números reales es denotado por R = (, ). El conjunto de números complejos es denotado por C. El conjunto de números racionales es denotado por Q. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

5 Campos Sea K C. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes condiciones 1 Si x, y K, entonces x + y y xy son también elementos de K. 2 Si x K, entonces x es también elemento de K. Si además x = 0, entonces x 1 es un elemento de K. 3 Los elementos 0 y 1 son elementos de K. El conjunto de números reales R y el conjunto de números complejos C y el conjunto de números racionales Q son campos. El conjunto de todos los enteros Z no es un campo. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

6 Subcampos Sean K, L campos y supongamos que K L, diremos que K es un subcampo de L. Observemos que los campos que estamos considerando todos son subcampos de C. A los elementos de un campo K los llamaremos números o escalares. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

7 Espacios vectoriales Un espacio vectorial V sobre un campo K (V /K )es un conjunto de objetos que pueden ser sumados y multiplicados por elementos de K tal que: 1 u, v V se cumple u + v V y λ K y u V se cumple λu V. 2 u, v, w V se cumple (u + v) + w = u + (v + w). 3 Existe un elemento de V, denotado por 0, tal que 0 + u = u + 0 u V 4 Dado un elemento u V, el elemento ( 1)u es tal que u + ( 1)u = 0. 5 u, v V, se tiene u + v = v + u. 6 Si λ K, entonces λ(u + v) = λu + λv u, v V. 7 Si α, β K, entonces (α + β)v = αv + βv. 8 Si α, β K, entonces (αβ)v = α(βv) v V. 9 u V, se cumple 1 u = u 1, 1 K. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

8 Subespacios vectoriales Definición Sea V un espacio vectorial y W V. Diremos que W es un subespacio vectorial de V si satisface 1 Si v, w W, entonces v + w W. 2 Si v W y λ K, entonces λv W. 3 El elemento 0 V es también un elemento de W. Lema Si W 1 y W 2 son subespacios de V entonces W 1 W 2 es también un subespacio de V. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

9 Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales 1 Si V = R n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

10 Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales 1 Si V = R n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. 2 Si V = C n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

11 Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales 1 Si V = R n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. 2 Si V = C n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. 3 Si V = Q n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

12 Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales 1 Si V = R n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. 2 Si V = C n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. 3 Si V = Q n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales. 4 R n no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

13 Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales 1 Si V = R n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. 2 Si V = C n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. 3 Si V = Q n, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales. 4 R n no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos. 5 Sea V = R n y W = {v R n : v = (v 1, v 2,..., v n 1, 0)} R n, entonces W es un subespacio de R n. Al subespacio W se le identifica con R n 1. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

14 Generadores (span) Ejemplo Sea V un espacio vectorial arbitrario y v 1, v 2,..., v n V. Sean x 1, x 2,..., x n K escalares. Una expresión del tipo de x 1 v 1 + x 2 v x n v n, es llamada combinación lineal de v 1, v 2,..., v n. Sea W el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1, v 2,..., v n. Entonces W es un subespacio de V. Observación W = span {v 1, v 2,..., v n } = { n i=1 x i v i : v i V, x i K i = 1, 2,..., n Al subespacio W se le llama el subespacio generado por v 1, v 2,..., v n. Si W = V entonces decimos que v 1, v 2,..., v n genera V sobre K. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 }

15 Bases Definición Sea V /K un espacio vectorial y v 1, v 2,..., v n V. Diremos que v 1, v 2,..., v n son linealmente dependiente sobre K si existen elementos a 1, a 2,..., a n K no todos iguales a 0 tal que a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Si no existen tales elementos diremos que v 1, v 2,..., v n son linealmente independiente sobre K. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

16 Bases Lema Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y v 1, v 2,..., v n elementos linealmente independientes de V. Entonces dos combinaciones de v 1, v 2,..., v n son iguales. Definición Una base de V sobre K es una sucesión de elementos {v 1, v 2,..., v} de V que satisfacen 1 span(v 1, v 2,..., v n ) = V, 2 {v 1, v 2,..., v} son linealmente independientes. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

17 Representación de los elementos de V Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a su base {v 1, v 2,..., v n }. Si v V entonces se puede representar como una combinación lineal de los elementos de la base. v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

18 Representación de los elementos de V Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a su base {v 1, v 2,..., v n }. Si v V entonces se puede representar como una combinación lineal de los elementos de la base. v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n A (λ 1, λ 2,..., λ n ) se le llaman las coordenadas de v respecto a la base {v 1, v 2,..., v n } de V. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

19 Subconjunto máximo linealmente independiente Definición Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sea {v 1, v 2,..., v n } V y r n, diremos que {v 1, v 2,..., v r } es un subconjunto máximo de elementos linealmente independientes si v 1, v 2,..., v r son linealmente independientes, y si dada cualquier v i con i > r, los elementos v 1, v 2,..., v r, v i son linealmente dependientes. Teorema Sea V un espacio vectorial, {v 1, v 2,..., v n } V tal que span(v 1, v 2,..., v n ) = V. Sea {v 1, v 2,..., v r } un subconjunto máximo de elementos linealmente independientes. Entonces {v 1, v 2,..., v r } es una base de V. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

20 Dimensión de un espacio vectorial Nuestro objetivo es demostrar que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. A partir de este resultado se podrá definir la dimensión de un espacio vectorial. Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y {v 1, v 2,..., v m } una base de V. Sea w 1, w 2,..., w n son elementos de V y n > m, entonces w 1, w 2,..., w n son linealmente dependientes. Teorema Sea V un espacio vectorial con dos bases. Suponga que una base tiene n elementos y la otra m elementos. Entonces m = n. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

21 Dimensión de un espacio vectorial Definición Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. Diremos que n es la dimensión de V. Si V contiene únicamente el 0, entonces V no tiene base y diremos que V tiene dimensión 0. Ejemplos El espacio vectorial R n tiene dimensión n sobre R, el espacio vectorial C n tiene dimensión n sobre C. En general, para cualquier campo K, el espacio vectorial K n tiene dimensión n sobre K. Definición Un espacio vectorial con una base que consista de un número finito de elementos, o el espacio vectorial cero, es llamado espacio de dimensión finita. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

22 Dimensión de un espacio vectorial Ejemplo Sea K un campo. Entonces K es un espacio vectorial sobre si mismo y tiene dimensión 1. Observe que el elemento 1 K forma una base de K. Definición Sea {v 1, v 2,..., v n } V elementos linealmente independientes, diremos que forman un conjunto máximo de elementos linealmente independientes de V, si dado cualquier elemento w V, los elementos {v 1, v 2,..., v n, w} son linealmente dependientes. Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n y {v 1, v 2,..., v n } V un conjunto linealmente independiente. Entonces {v 1, v 2,..., v n } constituye una base de V. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

23 Dimensión de un espacio vectorial Corolario Sea V un espacio vectorial y W un subespacio. Si dim V = dim W, entonces V = W. Teorema Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. Sea W un subespacio diferente el nulo. Entonces W tiene una base y la dim W n. Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n y {v 1, v 2,..., v r } V elementos que son linealmente independientes. Entonces existen {v r +1, v r +2,..., v n } V tal que {v 1, v 2,..., v n } forman una base de V. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

24 Sumas y sumas directas Definición Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sean U, W subespacios de V. Definimos la suma de U y W como U + W = {u + w : u U, w W }. Además, U + W es un subespacio de V. Definición Diremos que V es la suma directa, V = U W, si para cada elemento v V existen elementos únicos u U y w W tal que v = u + w. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

25 Sumas y sumas directas Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y U, W subespacios de V. Si V = U + W, y si U V = {0}, entonces V es la suma directa de U y W. Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K. Sea W un subespacio de V. Entonces existe un subespacio U de V tal que V = U W. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

26 Sumas y sumas directas Teorema Si V es un subespacio vectorial de dimensión finita sobre K, y es la suma directa de los subespacios U, W entonces Ejemplo dim V = dim U + dim W. Sea V = R 3 sobre el campo R. Considere W como el subespacio generado por (1, 0, 0) y sea U el subespacio generado por (1, 1, 0) y (0, 1, 1). Entonces V = U W. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21