Coordinación de Matemática II (MAT022)

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1 Coordinación de Matemática II (MAT022) Guía de ejercicios N 6 parte Complementos Espacios Vectoriales En los ejercicios que siguen utilizamos la siguientes notaciones: R n [x es el espacio vectorial sobre R de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n. M n (R) es el espacio vectorial sobre R de las matrices cuadradas de orden n n. tr(a) denota la traza de la matriz A es decir la suma de los elementos de la diagonal principal de A. L.I. linealmente independientes L.D. linealmente dependientes e i es un vector canónico en R n tiene la coordenada i-ésima igual a 1 y todas las demás coordenadas son ceros (el n depende del contexto del ejercicio). 1. Puede un espacio vectorial sobre R o C tener un número finito de elementos? 2. Si V es un espacio vectorial y S 1 S 2 son dos subespacios se define el subespacio suma como S 1 + S 2 = {ν V : ν = s + r con s S 1 r S 2 si S 1 S 2 = {θ V entonces S 1 + S 2 se denota mediante el símbolo S 1 S 2 y se llama el espacio suma directa. a) Si Π es un plano que pasa por el origen en R 3 y L es una recta que pasa por el origen en R 3 que no esta contenida en el plano Qué es Π + L? Cuando se cumple R 3 = Π L? b) Describir el subespacio de M 2 (R) dado por {( 1 1 ) {( Identificar los espacios de R 3 generados por los conjuntos dados: 1 a) b) c) Clasificar todos los posibles subespacios de R Sean A y B subconjuntos de un espacio vectorial V. Muestre que donde G (X) denota el conjunto generado por X. G (A B) = G (A) + G (B) 5. Bajo que condición la unión de subespacios es un subespacio? ) 6. Determine si los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre R a) V = {f : [a b R continua tal que f( a+b 2 ) = 0 b) V = {p(x) R n [x tal que p(0) = 0 1

2 c) V = {p(x) R n [x tal que p (0) = 0 d) V = C e) V = R + {0 {( a b f ) V = c d {( a 0 g) V = c d ) ) M 2 (R) tal que a + b + c + d = 1 M 2 (R) 7. Sea V = R 2. Determine si V es un espacio vectorial sobre R con las operaciones ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c a + c a αa a) + = y α = α R b d 0 b αb ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c a + c a αa b) + = y α = α R b d b + c b αb ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c a2 + c c) + = 2 a αa b d b2 + d 2 y α = α R b αb 8. Sea V = R + se define x y = xy x y R + α x = x α x R + α R Demuestre que (V ) es un espacio vectorial sobre R con estas operaciones. 9. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios de R 3 a) {(x y z) tal que x + y 2z = 0 2x + y + z = 0 b) {(x y z) tal que xyz 0 c) { (x y z) tal que x = y 2 x + y + z 0 d) { (x y z) tal que x 2 + y 2 + z 2 = Determine si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial indicado a) { (x 0) R 2 de R 2 b) { (α + β α + 2β α + 3β 4β α) R 4 de R 4 c) {(x 1 x 2... x n ) R n tal que n i=1 x i = 0 de R n d) {v R n tal que v = 1 de R n e) {v R n tal que v a = 0 con a R n fijo de R n f ) { p(x) R n [x tal que 1 0 xp(x) dx = 0 de g) {A M n (R) tal que tr(a) = 0 de M n (R) h) {A M n (R) tal que A = A t de M n (R) R n [x 2

3 i) { A M n (R) tal que A 2 = I n de Mn (R) j) {f(x) C[ tal que f(x) es una función par de C[ 11. Determine si el vector v en el espacio vectorial correspondiente es combinación lineal de los vectores que se indican [ 1 2 a) v = M (R) de [ [ [ [ [ b) v = [ M 2 (R) de [ 1 1 [ 1 1 [ 1 0 [ c) v = tan 2 (x) C[0 π de 1 sec 2 (x) d) v = tan 2 (x) C[0 π de sin 2 (x) cos 2 (x) 12. Sea U = e) v = x 3 + x 2 + x 1 R 3 [x de 1 x x 3 x 2 x 2 x [ [ 1 0 en M 2 (R). Determine α tal que la matriz A pertenezca a U (si no es posible justifique): [ α + 1 5α a) A = 3α 4α + 1 [ 3α α b) A = 0 5α [ α + 1 2α c) A = α Determine todos los a b en R tal que las funciones f(x) = x y f(x) = x sean L.I. en C[a b. 14. En R 3 demuestre que (2 1 6) ( 3 4 1) = ( 1 3 7) (8 4 24) 15. Considere los subespacios U 1 = S 1 y U 2 = S 2 del espacio vectorial V. Determine bases y dimensión de U 1 + U 2 U 1 U 2 y U 1 U 2. a) V = R 4 [x S 1 = {1 + x 2 + x 4 x x 4 x + x 2 x x + x 3 S 2 = {x + x 2 x + x x. b) V = M{[ 2 (R) 1 3 S 1 = {[ S 2 = [ [ [ [

4 16. Sea V un espacio vectorial sobre R u V y S V L.I. Demuestre que S {u es L.I. u no es combinación lineal de elementos de S 17. Sea V un espacio vectorial sobre R y los conjuntos de vectores S 1 = {u 1 u n y S 2 = {v 1 v m Demuestre que < S 1 >=< S 2 > si y sólo si cada u i es combinación lineal de los v j y cada v j es combinación lineal de los u i. 18. Demuestre que si S 1 < S 2 > entonces < S 1 > < S 2 >. 19. Demuestre que todo subespacio es un conjunto generado. 20. Sea V un espacio vectorial sobre R y S 1 = {u 1 u n un conjunto de vectores L.I. Determine si es L.I. o L.D. S 2 = {u 1 + u 2 u 2 + u 3 u n 1 + u n u n + u Demuestre que todo subconjunto de un conjunto de vectores L.I. es también L.I. 22. Demuestre que todo conjunto que contiene un conjunto de vectores L.D. es también L.D. 23. Encuentre una base de los siguientes espacios vectoriales sobre R: a) V = {p(x) R 3 [x tal que p(0) = p (1) + p (1) b) V = { f C 1 ([a b) : f = f {[ a b c) V = M c d 2 (R) tal que a + b + c + d = 0 {[ a 0 d) V = M c d 2 (R) 24. Determine si los siguientes conjuntos son una base del espacio vectorial indicado a) { + x 2 1 x 2x 2 de R 2 [x. b) {(1 2 0) (3 4 2) ( 1) de R Determine valores de k R tal que los vectores columna de la matriz A sean una base de R 3 donde A = 1 k 1 k Sean U 1 U m subespacios de un espacio vectorial V sobre R. Demuestre que subespacio vectorial de V Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales sobre R. a) {(x y z) tal que x + y 2z = 0 b) { (x 0) R 2 c) { (α + β α + 2β α + 3β 4β α) R 4 m i=1 U i es un 4

5 d) {(x 1 x 2... x n ) R n tal que n i=1 x i = 0 e) {v R n tal que v a = 0 con a R n fijo f ) {p(x) R n [x tal que p(x) = p (x) g) {A M n (R) tal que tr(a) = 0 h) {A M n (R) tal que A = A t 28. Describa de manera geométrica todos los subespacios de R 3 que contienen un vector fijo u Encuentre el vector coordenado de v en la base B del espacio vectorial indicado. a) v = 6 2 B = { base de R b) v = (x 2) 2 (x + 1) B = {1 + 2x 2 x x 2 x 3 x x 5 base de R 5 [x c) v = (x a) 4 con a 0 B = {1 + ax 2 x x 2 x 3 x 4 base de R 4 [x [ 2 3 d) v = {[ [ [ B = 0 0 [ base de M 2 (R) 30. Encuentre una base de los siguientes espacios a) U = (1 2 3) ( 1) (1 1 5) (4 ) (1 2 1) b) U = [ [ 1 5 [ 2 3 [ [ Sea U = {p(x) R 5 [x tal que p(0) = 0. Encuentre una base B de U y una base de R 5 [x que contenga a B. 32. Describa todas las bases de R 3 que contienen a dos vectores fijos u 1 u 2 no nulos. 33. Encuentre una base de R 3 que contenga a e 1 + 5e 2 e 1 + e 2 + e Encuentre una base de R 3 [x que contenga a 1 + x + x 2 x x x Encuentre una base de < 1 + x x + x 2 x x 3 x 2 x 3 x > y luego extiéndala a una base de R 3 [x. 36. Demuestre que si B = {u 1 u 2 u 3 u n es una base de un espacio vectorial V entonces B = {u 1 u 2 + au 1 u 3 + au 1 u n + au 1 es también una base de V para cualquier escalar a R. 5

6 37. Sea V = R 3 y los subespacios U 1 y U 2 dados por: U 1 = {(x y z) tal que x + y 2z = 0 y U 2 = {(x y z) tal que 2x + y + z = 0 Determine U 1 U 2 U 1 + U 2 ; encuentre una base y las dimensiones de ambos subespacios. 38. Sea U 1 = {A M 2 (R) tal que tr(a) = 0. Encuentre U 2 subespacio de M 2 (R) tal que U 1 U 2 = M 2 (R) 39. Sea U 1 = {A M 2 (R) tal que A = A t. Encuentre U 2 subespacio de M 2 (R) tal que U 1 U 2 = M 2 (R) 6