Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 01 Taller 4

Transcripción

1 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas - Álgebra Lineal - Grupo Taller () Es el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación un R-espacio vectorial? Explique () En los siguientes ejercicios se da un conjunto de elementos junto con operaciones de adición y multiplicación por escalar Determinar cuáles son espacios R vectoriales bajo las operaciones dadas Para aquellos que no sean espacios vectoriales enumerar los axiomas que no se cumplen (a) El conjunto de los números reales positivos con las operaciones x + y := xy y λ x := x λ para x y R + y λ R (b) En R con la suma y el producto por escalar definidos respectivamente por: (x y ) + (x y ) := (x + x + y + y + ) y λ (x y) := (λ + λx λ + λy ) (c) En R con las siguientes operaciones: (x y z) + (x y z ) := (x y + y z ) y λ (x y z) := (x z) (d) En P [t] con las siguientes operaciones: (a t + a ) + (b t + b ) := (a + b )t + (a + b + ) y λ (a t + a ) := λa t + (λa + λ ) () Determine en cada caso si el conjunto W dado con las operaciones usuales es un susbespacio vectorial de espacio V a b (a) En M (R) considere W = { a b c R c d (b) En V = R considere W := {(a b ) a b R W := {(a b c) a b c R y c > W := {(a b c) a b c R y b = a + (c) En P [t] considere W := {a t + a t + a a = W := {a t + a t + a a = = a W := {a t + a t + a a + a + a = (d) En V = R n tome u R n fijo y considere W = {v R n u v = (e) En V = M n (R) considere W = {A M n (R) tr(a) = (f) En V = M n (R) considere W = {A M n (R) A es no singular () Sea V un R-espacio vectorial Muestre que si u y αu = βu entonces α = β () Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de Ax = b donde A M m n (R) no es subespacio de R n si b (6) Muestre que los únicos subespacios de R son { las rectas que pasan por el origen los planos uqe pasan por el origen y R (7) Sean W y W subespacios de un R-espacio vectorial V Sea W + W := {w + w w W w W Muestre que W + W es un subespacio de V { (8) Demuestre que S = es un conjunto generador del espacio vectorial de las matrices simétricas de tamaño

2 (9) Considere los vectores p (t) = t + t + p (t) = t + t p (t) = t + t + de P Determine si estos vectores son linealmente independientes () Dado el R-espacio vectorial R (con las operaciones usuales de suma de pares ordenados y multiplicación de un par ordenado por un escalar) determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R son linealmente independientes y halle además el subespacio generado por cada uno de ellos: (a) L = {( ) ( ) (b) L = {( ) (6 ) (c) L = {( ) ( ) ( ) () Dado el R-espacio vectorial R (con las operaciones usuales de suma de ternas ordenadas y multiplicación de una terna ordenada por un escalar) determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R son linealmente independientes y halle además el subespacio generado por cada uno de ellos: (a) M = {( ) ( ) ( ) (b) M = {( ) ( ) ( ) (c) M = {( ) ( ) (d) M = {(π ) () Cuáles de los siguentes conjuntos de vectores generan a R? (a) S = {( ) ( ) ( ) ( ) (b) S = {( ) ( ) ( ) (c) S = {( ) ( ) ( ) ( ) () Es S = {t + t + t t + t + t + t t + un conjunto generador de P [t]? () Sean v v v R n Suponga que v es ortogonal a v y a v y que v es ortogonal a v Si v v y v son diferentes de demuestre que el conjunto {v v v es linealmente independiente () Cuáles de los siguientes subconjuntos de M (R) son linealmente independientes? { 6 (a) S = 6 { (b) S = { (c) S = 8 6 (6) Para qué valores de λ son los vectores ( ) ( ) ( λ) en R linealmente independientes? (7) Suponga que S = {v v v es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V Muestre que T = {w w w donde w = v + v + v w = v + v y w = v también es linealmente independiente (8) Determine una base y dimensión de los subespacios W dados: (a) W = {(x y z) R x y + z = (b) W = {at + bt + c P [t] c = a b { [ ] [ ] (c) W = A M A = A (d) W = ( ) ( ) ( ) ( )

3 (9) Suponga que los ejes x y y en el plano se rotan en sentido positivo (al contrario de las manecillas del reloj) un ángulo θ (medido en radianes) Esta rotación da nuevos ejes que se denotan por x y y De este modo e rota a un vector v y e a un vector v tal que B = { v v es una base para R (a) Demuestre que v = ( cos θ sin θ ) y v = ( sin θ cos θ ) cos θ sin θ (b) Demuestre que la matríz de cambio de coordenadas de la base usual a B está dada por sin θ cos θ (c) Si θ = π 6 escriba el vector en términos de los nuevos ejes coordenados x y y () Sea A M (R) dada por: Hallar: (a) Una base para el espacio nulo A (b) Una base para el espacio fila de A (c) Una base para el espacio columna de A 6 (d) Nulidad rango rango fila y rango columna de A (El rango fila (resp columna) de A es la dimensión del espacio fila (resp columna) de A) () Sean u y v vectores en R linealmente independientes Muestre que S = {u v u v es una base de R () Considere el espacio vectorial P de los polinomios en t de grado con coeficentes en R (a) Probar que S = { t ( t) ( t) es una base de P (t) (b) Hallar el vector coordenado [u] S de u = t + t + t () Dado el campo F = R y el R-espacio vectorial R (con las operaciones usuales de suma de pares ordenados y multiplicación de un par ordenado por un escalar) y un vector arbitrario (x y) R determine el vector de coordenadas de (x y) respecto a cada una de las siguientes bases ordenadas de R : (a) B = {( ) ( ) (b) B = {( ) ( ) (c) B = {( ) ( ) () En P (espacio de polinomios de grado con coeficientes en R) la base canónica es S = {t t Sea S = {t t t t + ; muestre que S es una base para P Además si p(t) = a t + a t + a escriba p(t) en términos de los polinomios de S () Sea S = {v = ( ) v = ( ) v = ( ) v = ( ) v = ( ) Determine una base para W = S (6) En los problemas que siguen a continuación escriba (x y x) R respecto a cada una de las siguientes bases ordenadas de R (a) B = {( ) ( ) ( ) (b) B = {( ) ( ) ( ) (c) B = {( ) ( ) ( )

4 (d) B = {( ) ( ) ( ) (e) B = {(a ) (b d ) (c e f) donde adf (7) En M (R) escriba la matriz en términos de la base 6 { { (8) En R { suponga que (x) B = donde B = Escriba x en términos de B = { (9) En R suponga que (x) B = donde B = Escriba x en términos de B = { () Sea B = { e e e la base canónica de R Sea A = la matriz de transición de B a una nueva base B = { f f f (a) Halle f f f en términos de e e e (b) Sea x R tal que (x) B = Hallar (x) B () Sean S = {( ) ( ) ( ) y T = {( ) ( ) ( ) subconjuntos de R Sean v = ( 8) y w = ( 8 ) (a) Demuestre que S y T son bases para R (b) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T (c) Cuál es la matriz de transición A de base T a la base S? (d) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S usando la matriz de transición hallada en (c) (e) Cuál es la matriz de transición B de base S a la base T? () Sean u = ( ) y v = (a b) Para qué valores de a y b el conjunto {u v es ortonormal? () Utilice el proceso de Gram-Schmidt para determinar una base ortonormal para el subespacio de R con base {( ) ( ) ( ) () Encuentre una base ortonormal para R que incluya los vectores u = ( ) y u = ( ) () (i) Determine una base ortonormal para el supespacio de R que consiste en todos los vectores de la forma (a a + b b) (ii) Determine una base ortonormal para el subespacio de R que consiste en todos los vectores de la forma (a b c d) tales que a b c + d = (iii) Determine una base ortonormal para el espacio solución del sistema homogéneo siguiente: x x = 6 x

5 (6) Sea {v v n un conjunto ortornormal Muestre que la matriz A = [v v n ] es invertible (7) Sea W = ( ) Halle una base para W (8) (i) Demuestre que si P y Q son matrices ortogonales entonces P Q es ortogonal (ii) Demuestre que si Q es ortogonal y simétrica entonces Q = I (iii) Demuestre que si Q es ortogonal entonces det(q) = ± (9) Sea A M m n (R) Demuestre que: (i) El espacio nulo de A es el complemento ortogonal del espacio fila de A (ii) El espacio nulo de A t es el complemento ortogonal del espacio columna de A 7 () Sea A = 6 Calcule el el espacio fila espacio columna y espacio nulo de A y el espacio nulo de 7 A t Verifique el teorema anterior () Sea W el subespacio de R con base ortonormal {w w donde w = ( ) y w = ( ) Escriba el vector v = ( ) como w + u con w W y u W () Si u u n son ortonormales demuestre que () Sea W R n ; muestre que (W ) = W () Demuestre los siguientes hechos: u + u + + u n = u + u + + u n = n (a) Sean H y H dos supespacios de R n tales que H = H Entonces H = H (b) Sean H y H dos supespacios de R n tales que H H Entonces H H () Determine si la afirmación es verdadera o falsa y justifique plenamente su respuesta (i) Si {u u es una base para V entonces {u + u u u también es una base de V (ii) {( ) ( ) es una base de R (iii) Si A = 6 entonces el rango de A es y ker(t ) = ( ) ( ) 6 9 (iv) Si A M (R) y ρ(a) = entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = tiene exactamente soluciones (v) Todo conjunto ortogonal de n vectores en una base para R n { { a b c d (vi) S = a b R y T = c d e R son subespacios de M b a e c (R) y además dim(s + T )= y dim(s T ) =