Grado en Edificación MATERIAL DOCENTE: PRESENTACIÓN DEL TEMA III. Ana Isabel Garralda Guillem y Manuel Ruiz Galán

Transcripción

1 MATEMÁTICAS TICAS I Grado en Edificación MATERIAL DOCENTE: PRESENTACIÓN DEL TEMA III Ana Isabel Garralda Guillem y Manuel Ruiz Galán

2 Tema. Diagonalización de matrices.1. Diagonalización de matrices por semejanza.2. Diagonalización de matrices simétricas... Método de las potencias.

3 .1 Diagonalización de matrices por semejanza.1.1 Introducción.1.2 Valores y vectores propios.1. Polinomio característico.1.4 Matrices diagonalizables.1.5 Aplicaciones

4 .1.1 Introducción Problema: Dada A matriz cuadrada de orden n, existe una matriz P regular tal que P -1 AP=D? (D matriz diagonal) 4

5 Supongamos que la respuesta a la pregunta es afirmativa 1 P AP ( ) P= v v v regular (de orden n) tal que = D= n λ λ λ n Av1 = λ1v 1 equivalentemente AP = PD Avn = λnvn puesto que λ λ2 0 Av ( 1 v2 vn) ( v1 v2 vn) = = λ1v1 λ2v 2 λnvn 0 0 λ n lo que motiva las siguientes definiciones: ( ) 5

6 DEFINICIÓN.1.2 Valores y vectores propios n Dada A Mn, un vector x R no nulo se denomina vector propio de A si existe un número real λ tal que Ax= λx. Al correspondiente número real λ se le denomina valor propio de la matriz. EJEMPLO (ii) Sea la matriz 1 2 A = n El vector (2,1,0) R es vector propio de A puesto que = 2 λ =

7 .1. Polinomio característico Sea A M y x vector propio de A, de valor propio λ Ax = λx ( A λi ) x = 0. El vector x R n n es solucion no nula del sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes ( A λi ). n Por tanto si λ valor propio de A, entonces rg( A λi ) < n det( A λi ) = 0. n n n 7

8 DEFINICIÓN Sea A M n polinomio:, se denomina polinomio característico de A al p ( λ) = det( A λi ) P. n n n PROPOSICIÓN Sea A Mn, un número real λ es valor propio de A si y sólo si es raíz de su polinomio característico. 8

9 EJEMPLO (polinomio característico) Sea la matriz A = 2 1, el polinomio caracteristico es 1 λ ( λ) = λ = 2 λ 1 = ( λ 2λ 5λ+ 6) = ( λ 1)( λ+ 2)( λ ) p A I n λ Los valores propios de A son las raices del polinomio p λ = 1 ( λ) = 0 λ = 2 λ = 9

10 Dada A matriz de orden n y λ valor propio de A, notamos V(λ) al subconjunto siguiente n V( λ) = x R :( A λi ) x= 0 { n } EJERCICIO Demuestra que el subconjunto V ( λ), es un subespacio n vectorial de R. La dimensión es n rg( A λi n ) Se denomina subespacio de vectores propios de A. 10

11 EJEMPLO (anterior) Sea la matriz λ = 1 2 A= 2 1, p( λ) = ( λ 2λ 5λ+ 6), p( λ) = 0 λ = λ = x 0 y+ 4z = 0 V(1) = ( xyz,, ) R :( A I) y = 0 = ( xyz,, ) R : x+ y z= 0 = L 1,4,1 z 0 2x+ y 2z = 0 dim( V(1)) = rg( A I ) = 1 {( )} x 0 x y+ 4z = 0 V( 2) = ( xyz,, ) R : ( A+ 2 I) y = 0 = ( xyz,, ) R : x+ 4 y z= 0 = L 1, 1, 1 z 0 2x+ y+ z = 0 dim( V( 2)) = rg( A+ 2 I ) = 1 {( )} 11

12 x 0 2x y+ 4z = 0 V() = ( x, y, z) R : ( A I) y = 0 = ( x, y, z) R : x y z = 0 = L 1,2,1 z 0 2x+ y 4z = 0 dim( V()) = rg( A I ) = 1 {( )} 12

13 .1.4 Matrices diagonalizables Sea A matriz de orden ny λ valor propio de la matriz. i Se llama multiplicidad algebraica de λ, m, a su multiplicidad como raiz del polinomio caracteristico. Se llama multiplicidad geometrica, d, vectores propios asociado V ( λ ), es decir, d = dim( V( λ )) = n rg( A λi ). i i i n i i i i a la dimension del subespacio de 1

14 EJEMPLO Sea A: 2 4 A= p λ = λ + λ + λ+ = λ+ λ 4 2 p ( ) ( 1) ( 8). λ1 = 1 m1 = 2 ( λ) = 0 λ2 = 8 m2 = 1 dim( V( 1)) = rg( A+ I ) A+ I = d1 = dim( V( 1)) =

15 dim( V(8)) = rg( A 8 I ) (1) (2)/ A 8I = (2) + 5(1) d2 = dim( V(8)) = 1 () 4(1)

16 PROPOSICIÓN La multiplicidad algebraica de cada valor propio es mayor o igual que la multiplicidad geométrica. DEFINICIÓN Una matriz A se denomina diagonalizable si existe una matriz P regular tal que P -1 AP es una matriz diagonal. 16

17 TEOREMA Una matriz es diagonalizable si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes: i) Todos los valores propios son reales. ii) Para cada valor propio coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica. COROLARIO Sea X un espacio vectorial de dimensión n, si A es una matriz con valores propios distintos entonces es diagonalizable. 17

18 EJEMPLO Sea A la matriz : λ 9 A= λ = λ = λ λ p( ) ( 1). p ( λ) = 0 λ = 1 m = 1 1 d = dim( V( 1)) = rg( M( T, B ) + I ) i 0 9 MTB (, c ) + I = d1 = dim( V( 1)) = m = d = 2 No es diagonalizable 1 1 c 18

19 EJEMPLO Consideramos la matriz 8 8 A = Estudia si es diagonalizable y en caso afirmativo diagonalizala. λ 8 8 p p 2 2 ( λ) = 4 7 λ 8 = ( λ λ 5λ ) = ( λ+ 1) ( λ ) λ λ1 = 1 m1 = 2 ( λ) = 0 λ2 = m2 = 1 x x 0 V( 1) = ( xyz,, ) R :( A+ I) y = 0 = ( xyz,, ) R : y = 0 = z z 0 { R } {( ) } ( xyz,, ) : x 2y+ 2z= 0 = L 2,1,0,( 2,0,1) dim V( 1) = 2 19

20 x x 0 V() = ( xyz,, ) R : ( A I) y = 0 = ( xyz,, ) R : y = 0 z z (1)/8 (2)/ () (1) ()/ x+ y 2z = 0 V() = ( x, y, z) R : = L{ ( 1,1,1) } dim V() = 1. y z = 0 La matriz es diagonalizable puesto que λ1 = 1 m1 = 2 = dim V ( 1) λ2 = m2 = 1 = dim V () Si P es la matriz P = P AP= = D

21 EJEMPLO Consideramos la matriz 1 1 A = Estudia si es diagonalizable y en caso afirmativo diagonalizala. λ 1 1 p 2 ( λ) = 2 2 λ 1 = ( λ 7λ + 17λ 15) λ p λ = ( λ) = 0 λ = 2+ i λ = 2 i No es diagonalizable porque los valores propios no son todos reales. 21

22 EJEMPLO Considera la matriz : 0 1 A= p( λ) = ( λ 1)( λ 2)( λ+ 2) p λ = 1 ( λ) = 0 λ = 2 λ = 2 es diagonalizable. x 0 V = x y z R A I y = = L z 0 {( )} (1) (,, ) : ( ) 0 1, 0, 2 22

23 x 0 V = x y z A I y = = L z 0 {( )} (2) (,, ) R : ( 2 ) 0 1,1,1 x 0 V = x y z A+ I y = = L z 0 {( )} ( 2) (,, ) R :( 2 ) 0 0,1,0 1 P AP = D =

24 Aplicaciones 1. Cálculo de la potencia de una matriz Sea A una matriz diagonalizable y m un número natural, 1 1 P AP= D A= PDP m m A = PDP P DP PDP P PDP = PD P I I I n n n 24

25 EJEMPLO Consideramos la matriz siguiente A = 1 2 1/ /2 Comprobamos que A = / y entonces A = /

26 2. Recurrencias lineales Fibonacci (1202) problema sencillo de crecimiento de poblaciones Población de conejos: de cada par nace un nuevo par al cabo de un mes edad fértil: al segundo mes mes pares f( n+ 1) pares de conejos al cabo de n meses f( n+ 1) = f( n) + f( n 1) Relación de recurrencia lineal Podemos conocer f(n) sin calcular toda la sucesión? f( n+ 1) 1 1 f( n) f(1) 1 = donde = f( n) 1 0 f( n 1) f(0) 1 f( n+ 1) 1 1 f(1) = f( n) 1 0 f(0) n

27 Diagonalizando la matriz obtenemos: = n n f( n 1) 1 1 f(1) = = n f( n) 1 0 f(0) f( n) n = n f (10) = =

28 ..2 Diagonalización de matrices simétricas PROPOSICIÓN 1. Todos los valores propios de una matriz simétrica son reales. 2. Los vectores propios asociados a valores propios diferentes son ortogonales entre sí.. Toda matriz simétrica es diagonalizable. TEOREMA Dada una matriz A simétrica existe una matriz P ortogonal tal que P t AP es una matriz diagonal. La obtención de las matrices P ortogonal y D se denomina diagonalización ortogonal. 28

29 Proceso de diagonalización ortogonal para una matriz A simétrica: 1. Calculamos los valores propios de A (son todos reales). 2. Para cada valor propio λ obtenemos una base B(λ) de vectores propios de V(λ).. A partir de la base B(λ) obtenemos, por el procedimiento de Gram-Schmidt, una base B (λ) ortonormal. 4. Formamos la matriz P con las bases de vectores propios ortonormales. La matriz obtenida es ortogonal y P t AP=D. 29

30 EJEMPLO Consideramos la matriz A = Calcula la diagonalizacion ortogonal. 5 λ 4 2 p p 2 ( λ) = 4 5 λ 2 = ( λ 1) ( λ 10) λ λ1 = 1 m1 = 2 ( λ) = 0 λ2 = 10 m2 = 1 x x 0 V(1) = ( x, y, z) R :( A I) y = 0 = ( x, y, z) R : y = 0 = z z 0 { R } {( ) } ( xyz,, ) :2x+ 2y+ z= 0 = L 1,0, 2,(0,1, 2) dim V(1) = 2 0

31 x Gram-Schmidt normalizando = (1, 0, 2), x = (0,1, 2) 1 2 e = (1,0, 2), e = ( 4/5,1, 2/5) v=,0,, w=,, x x 0 V(10) = ( xyz,, ) R :( A 10 I) y = 0 = ( xyz,, ) R : y = 0 z z (1) ()/ (2) 4(1) () + 5( 1) x+ y 4z = V(10) = ( x, y, z) R : = L{ ( 2, 2,1 )} = L,,. y 2z 0 = 1

32 Si P es la matriz t P = 0 PAP= D. =