Formas canónicas de Jordan

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1 Capítulo 6 Formas canónicas de Jordan 61 Subespacios propios generalizados Introducción En el capítulo anterior se han estudiado los endomorfismos diagonalizables y se han dado condiciones necesarias y suficientes para que un endomorfismo de V sea diagonalizable Dicha diagonalización se llevó a cabo a través de los subespacios propios pero estos resultan insuficientes cuando el endomorfismo no sea diagonalizable Nos proponemos en este capítulo encontrar ciertos subespacios invariantes de modo que V sea suma directa de ellos y, de este modo, aplicando el teorema 515 encontrar una base respecto de la cual f sea diagonalizable por cajas Intentaremos, a su vez, que estas cajas sean lo más sencillas posibles Dichas cajas o bloques serán definidos próximamente así como los citados subespacios invariantes Convenios y notaciones En el presente capítulo convendremos en lo siguiente: V representará a un espacio vectorial sobre C de dimensión n B = {u 1, u 2,, u n } será una base de V f End(V ) representará a un endomorfismo de V λ 1, λ 2,, λ r serán los autovalores distintos de f y sus multiplicidades respectivas serán m 1, m 2,, m r Recordemos que, sobre C, se verifica que r i=1 m i = n Definición 611 Llamaremos subespacios asociados al autovalor λ i de multiplicidad m i o subespacios propios generalizados asociados a dicho autovalor a los subespacios de V definidos por V ji = V j (λ i ) = ker(λ i 1 V f) j, (j = 0, 1, 2, ) Para cada 1 i r, la dimensión de V ji será notada por n ji Nota Para la siguiente proposición y con el objeto de simplificar las notaciones, adoptaremos los siguientes acuerdos: λ será un autovalor de f de multiplicidad m Los subespacios asociados a dicho autovalor, serán notados por V j = ker(λ1 V f) j 117

2 61 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS 118 Por último, será n j = dim(v j ) Proposición 611 La sucesión {V j, (j = 0, 1, 2, )}, verifica las siguientes propiedades: 1 V 0 = {0} 2 V j V j+1 3 V j es invariante por f 4 x V j (λ1 V f)(x) V j 1 5 Si existe un j tal que V j = V j+1, entonces V j = V j+k, (k 0) 6 s, 0 < s n tal que {0} V 1 V 2 V s = V s+1 = 7 0 < n 1 < n 2 < < n s = n s+1 = 1 V 0 = ker(λ1 V f) 0 = ker(1 V ) = {0} 2 x V j = (λ1 V f) j (x) = 0 = (λ1 V f)[(λ1 V f) j (x)] = 0 = (λ1 V f) j+1 (x) = 0 = x V j+1 3 Hay que probar que x V j, f(x) V j En efecto, (2) x V j = x V j+1 = (λ1 V f) j+1 (x) = 0 = (λ1 V f) j [(λ1 V f)(x)] = 0 = (λ1 V f) j (λx) (λ1 }{{} V f) j (f(x)) = 0 = (λ1 V f) j (f(x)) = 0 = f(x) V j 0 4 x V j (λ1 V f) j (x) = 0 (λ1 V f) j 1 [(λ1 V f)(x)] = 0 (λ1 V f)(x) V j 1 5 Bastará probar que V j = V j+1 = V j+1 = V j+2 Es claro, ya que por (2) V j+1 V j+2 x V j+2 (4) = (λ1 V f)(x) V j+1 ph = V j (4) = x V j+1 6 Obsérvese que en el apartado anterior se demuestra que si dos subespacios consecutivos, asociados al autovalor λ son iguales, lo son todos los siguientes Esto es consecuencia inmediata de (2) y de que j, dim(v j ) dim(v ) y, por consiguiente, la sucesión V 0 V 1 V 2 no puede crecer 1 indefinidamente Sea pues s el menor entero positivo tal que V s = V s+1 Es claro que 0 < s n y que {0} V 1 V 2 V s = V s+1 = 7 Como consecuencia inmediata de lo anterior, si n i = dim(v i ), debe ser 0 < n 1 < n 2 < < n s = n s+1 = 1 No puede ser estrictamente creciente, en el orden inducido por la inclusión de conjuntos dto de álgebra

3 61 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS 119 Definición 612 Al subespacio V s, tal que s es el menor entero positivo que verifica que V s = V s+1 = V s+2 =, recibe el nombre de subespacio maximal asociado al autovalor λ Lema 611 Sea {0} V 1 V 2 V s = V s+1 = la sucesión se subespacios asociados al autovalor λ de f Consideremos la aplicación, definida por La aplicación Φ verifica que: Φ : V j+1 /V j V j /V j 1 x V j+1, Φ(x + V j ) = (λ1 V f)(x) + V j 1 1 Φ está bien definida 2 Φ es lineal 3 Φ es inyectiva Es fácilmente comprobable que Φ está bien definida y es una aplicación lineal Veamos que, en efecto, es inyectiva x+v j ker(φ) Φ(x+V j ) = 0+V j 1 (λ1 V f)(x)+v j 1 = 0+V j 1 (λ1 V f)(x) (4) V j 1 x V j x + V j = 0 + V j De donde deducimos que: ker(φ) = {0 + V j } O bien, Φ(x + V j ) = Φ(y + V j ) = (λ1 V f)(x) + V j 1 = (λ1 V f)(y) + V j 1 = (λ1 V f)(x) (λ1 V (4) f)(y) V j 1 = (λ1 V f)(x y) V j 1 = x y V j = x + V j = y + V j Consecuencia Se verifica que dim(v j+1 /V j ) dim(v j /V j 1 ) Es consecuencia inmediata de ser la aplicación Φ inyectiva Proposición 612 Si A = {x 1 + V j, x 2 + V j,, x r + V j } es un conjunto de vectores de V j+1 /V j linealmente independientes, entonces el conjunto de vectores B = {(λ1 V f)(x 1 ) + V j 1, (λ1 V f)(x 2 ) + V j 1,, (λ1 V f)(x r ) + V j 1 } es, igualmente, linealmente independiente en V j /V j 1 Obsérvese que B es la imagen por Φ de A y que al ser Φ inyectiva, conserva la independencia lineal Proposición 613 Sea λ un autovalor de f y {0} V 1 V 2 V s = V s+1 =, la sucesión de subespacios asociados a dicho autovalor Consideremos los números enteros: Los números así definidos verifican: p j = dim(v j /V j 1 ) = n j n j 1, (j = 1, 2, ) (61) m iglesias

4 61 SUBESPACIOS PROPIOS GENERALIZADOS p 1 p 2 p s > 0 = P s+1 = 2 p 1 + p p s = n s = dim(v s ) 1 Basta recordar el apartado (7) de la proposición 611, por la cual sabemos que si 0 < j s n j 1 < n j = p j > 0, si j > s n j = n s = p j = 0, y el corolario del lema 611, por el cual p j p j 1 2 Es inmediato Basta sustituir cada sumando por su valor de acuerdo con lo definido en la igualdad 61 Definición 613 Sean L 1 L 2 variedades lineales de V Decimos que los vectores son linealmente independientes módulo L 1, si x 1, x 2,, x r L 2 x 1 + L 1, x 2 + L 1,, x r + L 1 son linealmente independientes en el cociente L 2 /L 1 Lema 612 Sea L 0 L 1 L 2 L s una cadena de variedades lineales de V estrictamente creciente y sea H el siguiente conjunto de vectores de V : x 11, x 12,, x 1t1 L 1 li mód L 0 x 21, x 22,, x 2t2 L 2 li mód L 1 H : x s1, x s2,, x sts L s li mód L s 1 Se verifica que H es un conjunto de vectores linealmente independientes Partamos de la relación t 1 t s α 1j x 1j + α sj x sj = Tomando clases módulo L s 1 se tendrá: t s t 2 t 1 α 2j x 2j + + t s t s 1 α 1j x 1j α s 1j x s 1j } {{ } L s 1 α sj (x sj + L s 1 ) = 0 + L s 1, α sj x sj = 0 (62) de donde deducimos que α sj = 0, (j = 1,, t s ), por ser x s1,, x sts li módulo L s 1 Sustituyendo en 62 y repitiendo el razonamiento tomando, sucesivamente, clases módulo L s 2, L s 3,, L 0 obtendremos que todos los coeficientes de 62 son nulos y, por consiguiente, H es un conjunto de vectores li como se quería demostrar dto de álgebra

5 62 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN Construcción de un bloque de Jordan Definición 621 Sea f End(V ) y λ un autovalor de f: 1 Llamamos caja o bloque elemental de Jordan de orden r asociada al autovalor λ y la notaremos por J r, a la matriz de orden r r definida por: λ λ 1 0 J 1 = (λ), J r =, si r > λ λ 2 Sea V s el subespacio maximal asociado al autovalor λ Llamamos Bloque de Jordan asociado a dicho autovalor, a la matriz J λ que verifique: J λ M(n s n s, C) J λ es diagonal por cajas, siendo éstas, cajas o bloques elementales de Jordan El número de cajas elementales de un bloque de Jordan, será también objeto de nuestro estudio A continuación damos un algoritmo para la construcción de una base de V s, subespacio maximal asociado al autovalor λ de f y, a partir de ella, construiremos el bloque de Jordan correspondiente Téngase en cuenta que V s es invariante por f y que, por ello, la restricción de f a V s es, igualmente, un endomorfismo de V s En realidad, si C s es la base de V s calculada mediante el algoritmo que damos seguidamente, demostraremos que M Cs (f Vs ), es un bloque de Jordan Proposición 621 Si V s es el subespacio maximal asociado al autovalor λ, existe una base de V s respecto de la cual la matriz de la restricción de f a V s es un bloque de Jordan En otras palabras, existe una base C s de V s tal que M Cs (f Vs ), es un bloque de Jordan Sea V 1, V 2,, V s los subespacios asociados al autovalor λ y B 1, B 2,, B s sus bases respectivas La base de V s construida mediante el siguiente algoritmo cumple las condiciones de la proposición V s V s 1 v s 1,, vs p s v s 1 1,, v s 1 p s v s 1 p s+1,, vs 1 p s 1 V 2 v 2 1,, v2 p s v 2 p s+1,, v2 p s 1 v 2 p 3 +1,, v2 p 2 V 1 v 1 1,, v1 p s v 1 p s+1,, v1 p s 1 v 1 p 3 +1,, v1 p 2 v 1 p 2 +1,, v1 p 1 Supuesto que B 1, B 2,, B s son bases de V 1, V 2,, V s, respectivamente, construiremos la tabla anterior dando los siguientes pasos: m iglesias

6 62 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN 122 Paso 1 La primera fila V s, se ha construido tomando p s vectores de B s que sean li módulo V s 1 Es decir: de modo que {v s 1,, vs p s } B s 1 sea una base de V s Paso 2 Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo (λ1 V f) y, seguidamente, ampliamos el conjunto así obtenido con vectores de B s 1 hasta obtener p s 1 vectores de V s 1 li módulo V s 2 Es decir, de modo amplíen la base B s 2 a una base de V s 1 Paso s 1 Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo (λ1 V f) y, seguidamente, ampliamos el conjunto así obtenido con vectores de B 2 hasta obtener p 2 vectores de V 2 li módulo V 1 Es decir, de modo amplíen la base B 1 a una base de V 2 Paso s Aplicamos a los vectores de la fila anterior el endomorfismo (λ1 V f) y, seguidamente, ampliamos el conjunto así obtenido con vectores de B 1 hasta obtener p 1 vectores de V 1 que sean li Observaciones 1 En total se han construido p s + p s p 1 = n s = dim(v s ) vectores de V s que, por la proposición 612 y el lema 612, son linealmente independientes y, en consecuencia, constituyen una base de V s 2 Cada columna de la tabla, tomados sus elementos de abajo hacia arriba, llamada tramo o bloque elemental de base de Jordan, determina una caja o bloque elemental de Jordan asociado al autovalor λ En efecto, sea {v 1, v 2,, v r }, (r s) una columna completa tomada, insistimos, de abajo hacia arriba Por construcción, sabemos que: V r V r 1 v r v r 1 V 2 v 2 V 1 v 1 0 Es decir, (λ1 V f)(v r ) = v r 1, (λ1 V f)(v r 1 ) = v r 2, (λ1 V f)(v 3 ) = v 2, (λ1 V f)(v 2 ) = v 1, (λ1 V f)(v 1 ) = 0, de donde f(v 1 ) = λv 1, f(v 2 ) = v 1 + λv 2, f(v 3 ) = v 2 + λv 3, f(v r ) = v r 1 + λv r dto de álgebra

7 63 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 123 Restringiéndonos al bloque de base {v 1, v 2,, v r }, obtenemos la caja elemental de Jordan: λ 1 λ 1 M(r r, K) λ 1 λ 3 Del punto anterior deducimos que el número de cajas o bloques elementales de Jordan, es igual al número de columnas de la tabla dada por el algoritmo anterior Hay, por tanto: p s cajas elementales de dimensión s s, p s 1 p s id id (s 1) (s 1), p 2 p 3 id id 2 2, p 1 p 2 id id A la base de V s así construida (columnas de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba le llamaremos bloque de base de Jordan correspondiente al autovalor λ Es decir, a la base de V s, C s = {v 1 1,, v s 1,, v 1 p s,, v s p s,, v 1 p 2 +1 v 1 p 1 } Nótese que si restringimos el endomorfismo f de V al subespacio V s, se tiene que la matriz M Cs (f Vs ) es un bloque de Jordan asociado a λ 63 Formas canónicas de Jordan Nuestro objetivo en la presente sección es probar que V es suma directa de los subespacios maximales asociados a los autovalores del endomorfismo f De este modo, si para cada autovalor hemos calculado una base según el algoritmo descrito en la proposición 621, la unión de dichas bases es una base de V respecto de la cual la matriz de f será diagonal por bloques de Jordan Tal matriz será llamada forma canónica de Jordan asociada al endomorfismo f y la base correspondiente será denominada base canónica de V para f Lema 631 Sea λ un autovalor de f y α C, (α λ) Se verifica que x V j \ V j 1 = (α1 V f)(x) V j \ V j 1 Sea x V j \ V j 1, se tiene que: de donde (α1 V f)(x) = (α1 V λ1 V + λ1 V f)(x) = (α λ)x + (λ1 }{{} V f)(x) V }{{} j \ V j 1, V j \V j 1 V j 1 V j (α1 V f)(x) V j \ V j 1 Corolarios Si V s es el subespacio maximal asociado al autovalor λ, α λ, y x V j \ V j 1, (j = 1,, s) se verifica que: 1 (λ1 V f) s (x) = 0 m iglesias

8 63 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN (α1 V f) j (x) V j \ V j 1 3 (α1 V f) j (x) 0 Lema 632 Sean V s1, V s2,, V sr los subespacios maximales asociados a los autovalores λ 1, λ 2,, λ r de f y sea x j V sj \ {0}, (j = 1,, r) Se verifica que {x 1, x 2,, x r } es li Procederemos por inducción sobre r Para r = 1, x 1 es li Para r = 2 Consideremos la relación, α 1 x 1 + α 2 x 2 = 0 (63) y apliquemos a los dos miembros el endomorfismo (λ 2 1 V f) s 2 Teniendo en cuenta los corolarios del lema anterior se tendrá que α 1 (λ 2 1 V f) s 2 (x 1 ) = 0 = α 1 = 0 Sustituyendo en 63, obtenemos que α 2 = 0 y, por consiguiente, {x 1, x 2 } li Supongamos el lema cierto para cualquier sistema y 1, y 2,, y r 1 de vectores donde y j V sj \ {0} Prueba para r Partamos de la relación α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0 (64) Apliquemos a los dos miembros de 64 el endomorfismo (λ r 1 V f) sr corolario 1 y 2 del lema anterior será De acuerdo con el α 1 (λ r 1 V f) sr (x 1 ) + α 2 (λ r 1 V f) sr (x 2 ) + + α r 1 (λ r 1 V f) sr (x r 1 ) = 0 Como (λ r 1 V f) sr (x j ) V sj \{0}, (j = 1,, r 1), deducimos por la hipótesis de inducción que estos vectores son li y, por consiguiente, que α j = 0, (j = 1,, r 1) Sustituyendo en 64 obtenemos que α r = 0 y, por tanto, los vectores x 1, x 2,, x r son li Corolario Si V s1, V s2,, V sr son los subespacios maximales asociados a los autovalores λ 1, λ 2,, λ r de f, se verifica que la suma V s1 + V s2 + + V sr es directa Bastará probar que En efecto, x 1 V s1 r = x 1 V s1, x 1 i=2 V s1 r V si = {0} i=2 r V si = x i V si (i = 2,, r) x 1 = x x r i=2 Expresión, esta última, que indica que los vectores x 1, x 2,, x r son linealmente dependientes, en contradicción con el lema Luego debe ser x 1 = 0 Análogamente para i = 2,, r dto de álgebra

9 63 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 125 Proposición 631 Si V si el subespacio maximal asociado al autovalor λ i de f, se verifica que dim(v si ) = n si = m i, donde m i es la multiplicidad algebraica del autovalor λ i Sea dim(v si ) = n si y C i = {u i1, u i2,, u insi } una base de V si construida mediante el algoritmo de la proposición 621 Sea B = {u i1, u i2,, u insi, u nsi +1,, u n } una base de V obtenida prolongando la base C i La matriz de f respecto de B será de la forma, A = ( Jλi P 0 Q donde J λi es un bloque de Jordan asociado a λ i de orden n si n si El polinomio característico de f será pues, λi A = λi J λ i P 0 λi Q = (λ λ i) ns i λi Q Procedamos al absurdo Supongamos que m > n si con lo cual λ i deberá ser solución de la ecuación λi Q = 0 Es decir, λ i debe ser un autovalor de la matriz Q Veamos que esto no es posible Para ello construyamos un endomorfismo cuya matriz respecto de una cierta base sea, exactamente, la matriz Q Consideremos el espacio cociente V/V si Tomemos como base de este espacio ), B = {u insi +1 + V si,, u in + V si }, donde {u insi +1,, u in } es la prolongación de C i a la base B de V Consideremos la aplicación ϕ : V/V si V/V si definida por: x V, ϕ(x + V si ) = f(x) + V si Es fácilmente comprobable que ϕ está está bien definida y es lineal Es pues un endomorfismo de V/V si Además, claramente se verifica que M B (ϕ) = Q Veamos que ϕ no posee el autovalor λ i y que, por consiguiente, λ i no es solución de la ecuación λi Q = 0 En efecto, si λ i fuese un autovalor de ϕ, existiría a + V si 0 + V si, (a / V si ) tal que Es decir, ϕ(a + V si ) = λ i (a + V si ) f(a) + V si = λ i a + V si, de donde λ i a f(a) V si = (λ1 V f)(a) V si = (λ1 V f) s i [(λ1 V f)(a)] = 0 = (λ1 V f) s i+1 (a) = 0 = a V si +1 = V si = a V si = a + V si = 0 + V si De lo anterior deducimos que λ i no puede ser autovalor de ϕ y, por consiguiente, no puede ser raíz de su polinomio característico P (ϕ, λ) = λi Q, con lo cual debe ser n si = dim(v si ) = m i m iglesias

10 63 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 126 Proposición 632 Si λ un autovalor de f de multiplicidad m y V s es el subespacio maximal asociado a λ, se verifica que p 1 + p p s = m Es consecuencia inmediata de la proposición anterior, teniendo en cuanta que se ha demostrado que p 1 + p p s = n s = dim(v s ) (Ver proposición 613) Definición 631 La suma p 1 +p 2 + +p s = m, recibe el nombre de partición de la multiplicidad m del autovalor λ de f Proposición 633 Si V si, (i = 1,, r) son los subespacios maximales asociados, respectivamente, a los autovalores λ 1, λ 2,, λ r, se verifica que Se tiene que: Por una parte, V V s1 V s2 V sr V = V s1 V s2 V sr Además, r dim(v s1 V s2 V sr ) = dim(v si ) = i=1 De ambos puntos se deduce la proposición r m i = n = dim(v ) i=1 Teorema 631 Dado f End(V ), existe una base C de V respecto de la cual la matriz de f es diagonal por cajas, siendo estas, cajas o bloques elementales de Jordan Sean V s1, V s2,, V sr los subespacios maximales asociados, respectivamente, a los autovalores λ 1, λ 2,, λ r y C 1, C 2,, C r las bases, respectivas, de dichos subespacios obtenidas mediante el algoritmo de la proposición 621 Sabemos que C = C 1 C 2 C r es una base de V Es claro, después de lo demostrado anteriormente que la matriz J = M C (f) es diagonal por cajas, y que estas son cajas o bloques elementales de Jordan Definición 632 La matriz J obtenida mediante la aplicación del teorema anterior se denomina forma canónica de f y a la base C se le llama base canónica de V para f Corolarios 1 Si A = M B (f), existe una matriz P invertible tal que J = P 1 AP La matriz P recibe el nombre de matriz de paso a la forma canónica de Jordan de la matriz A En efecto, si P = M(C, B), basta recordar que M C (f) = M(B, C)M B (f)m(c, B), de donde J = P 1 AP 2 La matriz de Jordan del endomorfismo f es, salvo permutación de sus autovalores, única y depende exclusivamente de los autovalores de f, de sus multiplicidades y de la partición de cada multiplicidad Como es obvio, la base C y, consecuentemente, la matriz P no es única ya que depende de las bases B 1, B 2,, B s de los subespacios V 1, V 2,, V s asociados a cada autovalor λ de f así como de la elección de los vectores para la aplicación del algoritmo de la proposición 621 dto de álgebra

11 63 FORMAS CANÓNICAS DE JORDAN 127 De todo lo anteriormente expuesto se deduce con facilidad el siguiente resultado Teorema 632 (teorema de Jordan) 1 Dos matrices cuadradas son semejantes si y sólo si tienen la misma forma canónica de Jordan 2 Dos endomorfismos de V son linealmente equivalentes si y sólo si tienen la misma forma canónica de Jordan m iglesias