Tema 3.1. Espacio eucĺıdeo. Diagonalización ortogonal

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1 Tema 3.1. Espacio eucĺıdeo. Diagonalización ortogonal Definición 1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Llamamos forma bilineal a toda aplicación f : V V K ( x, y) f( x, y) que verifica: 1. f( x, λ y + µ z) = λf( x, y) + µf( x, z) x, y, z V y λ, µ K. 2. f(λ x + µ y, z) = λf( x, z) + µf( y, z) x, y, z V y λ, µ K. Definición 2. Se dice que una forma bilineal f : V V K es simétrica si verifica que f( x, y) = f( y, x) x, y V Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.1

2 Definición 3. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y f : V V K una forma bilineal. Decimos que f es una forma bilineal definida positiva si verifica: f( x, x) > 0 x V, x 0 Definición 4. Sea V un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales. Llamamos producto escalar a toda forma bilineal f : V V R simétrica y definida positiva. Definición 5. Llamamos espacio vectorial eucĺıdeo a un espacio vectorial real en el que se ha definido un producto escalar. Dados dos vectores x, y V, su producto escalar f( x, y), suele denotarse de distintas formas: f( x, y) = x, y = ( x y) = x y Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.2

3 Ejemplos 1. Sea V = R n. Sean x e y dos vectores con coordenadas en la base canónica {x 1,..., x n } y {y 1,..., y n } respectivamente. Se define un producto escalar como < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y x n y n 2. Sea V el e.v. sobre R de las funciones reales que son continuas en el intervalo [a, b]. Se puede definir el producto escalar de dos funciones f, g V como < f, g >= b a f(t)g(t)dt 3. Sea V = P n (R). Un producto escalar entre dos polinomios p(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n q(x) = b 0 +b 1 x+ +b n x n se define como: < p(x), q(x) >= a 0 b 0 + a 1 b a n b n Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.3

4 Determinación de un producto escalar Teorema 1. Sea V un e.v. euclídeo y B = { v 1,..., v n } una base de V. Entonces el producto escalar de dos vectores cualesquiera, x, y V queda determinado conociendo los productos escalares v i, v j de los vectores de B. n n x, y = x i y j v i, v j i=1 j=1 Expresando matricialmente este resultado: (x 1,..., x n ) x, y = X t G Y = v 1, v 1 v 1, v n..... v n, v 1 v n, v n y 1. y n donde G es la matriz asociada al producto escalar dado en la base B: matriz de Gram. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.4

5 Ejemplo 1. Sea V = P 3 (R) con producto escalar < p(t), q(t) >= 1 0 p(t)q(t)dt Hallar la matriz G asociada a dicho producto escalar en la base B = {1, t, t 2, t 3 } Definición 6. Sea V un e.v. euclídeo. Llamamos norma, módulo o longitud de un vector x V al número real: x = x, x Definición 7. Se dice que un vector x es unitario o normalizado x si x = 1. Dado un vector x 0 el vector es unitario. x Este proceso se llama normalización de x. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.5

6 Proposición 1. Propiedades de la norma. Sea V un e.v. euclídeo, y sean x, y V, λ R. Entonces: 1. x = 0 si y sólo si x = 0 2. λ x = λ x 3. x, y x y (Desigualdad de Schwarz) 4. x + y x + y (Desigualdad triangular) Definición 8. Sean x, y dos vectores no nulos de un espacio vectorial euclídeo V. El ángulo que forman x e y se define: áng( x, y) = θ = arccos x, y x y Utilizando la definición de ángulo podemos expresar el producto escalar de dos vectores de la forma: x, y = x y cos θ Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.6

7 Conjunto ortogonal y ortonormal Definición 9. En un e.v. euclídeo V se dice que x, y V son vectores ortogonales si x, y = 0 Observar que dos vectores no nulos x, y son ortogonales si y sólo si son perpendiculares, pues en este caso cos( x, y) = 0. Por ello si x, y son ortogonales suele denotarse x y. Definición 10. Un conjunto de vectores no nulos { v 1,... v n } de un espacio vectorial euclídeo V se dice que es un conjunto ortogonal si cada vector del conjunto es ortogonal a todos los demás, es decir v i, v j = 0, i j. Diremos que dicho conjunto es ortonormal si además se verifica que los vectores que lo forman son unitarios. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial euclídeo. Si S = { v 1,... v n } es un conjunto ortogonal de vectores no nulos de V, entonces dicho conjunto es linealmente independiente. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.7

8 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt Teorema 3. En todo espacio vectorial euclídeo V de dimensión finita existe al menos una base ortonormal. Utilizamos un método constructivo, que partiendo de una base cualquiera B = { v 1,..., v n } de V permite obtener una base ortogonal B og = { e 1,..., e n } de V. Se definen los vectores desconocidos de B og como combinación lineal de los de B e 1 = v 1 e 2 = v 2 + a 21 e 1 e 3. = v 3 + a 31 e 1 + a 32 e 2 e n = v n + a n1 e 1 + a n2 e a n,n 1 e n 1 Los vectores e i, e j tienen que ser ortogonales (< e i, e j >= 0). Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.8

9 Por lo tanto: 0 = e 2, e 1 = v 2 + a 21 e 1, e 1 0 = e 3, e 1 = v 2, e 1 + a 21 e 1, e 1 a 21 = v 2, e 1 e 1, e 1 = v 3 + a 31 e 1 + a 32 e 2, e 1 = v 3, e 1 + a 31 e 1, e 1 + a 32 e 2, e 1 a 31 = v 3, e 1 e 1, e 1 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.9

10 Calculando así cada uno de los coeficientes a ij tenemos que: e 1 = v 1 e 2 = v 2 v 2, e 1 e 1, e 1 e 1 e 3. = v 3 v 3, e 1 e 1, e 1 e 1 v 3, e 2 e 2, e 2 e 2 e n = v n v n, e 1 e 1, e 1 e 1 v n, e 2 e 2, e 2 e 2... v n, e n 1 e n 1, e n 1 e n 1 Ejemplo 2. Sea V = R 3 con el producto escalar usual. Aplicar el método de Gram-Schmidt a la base B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.10

11 Definición 11. P 1 = P t. Diagonalización Ortogonal Dada P M n (R), es una matriz ortogonal si Teorema 4. La matriz P M n (R) es ortogonal si y sólo si las columnas (y filas) de P forman un conjunto ortonormal. Definición 12. La matriz A M n (R) es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P, tal que: D = P t AP donde D es la matriz diagonal formada por los autovalores λ 1, λ 2,..., λ n de A y P es la matriz formada por una base de vectores propios que es ortonormal. Ejemplo 3. Estudiar si la matriz A = es diagonalizable y en caso afirmativo diagonalizarla ortogonalmente. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.11

12 Teorema 5. Sea A M n (R) una matriz simétrica. Entonces los autovalores de A son siempre reales. Teorema 6. Si A M n (R) es una matriz simétrica, entonces los autovectores que corresponden a autovalores distintos de A son ortogonales. Teorema 7. [espectral] Sea V un e.v. euclídeo de dimensión finita n. Si f : V V es un endomorfismo simétrico, entonces existe una base ortonormal de V formada por vectores propios de f. Corolario 1. Si A M n (R) es una matriz simétrica, entonces A es diagonalizable ortogonalmente en R. Ejemplo 4. Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz A = Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.12

13 Formas cuadráticas Definición 13. Dado un e.v. V sobre un cuerpo K y una f.b. f sobre V, a la función q : V K, definida por q( x) = f( x, x) para todo x V, se le llama forma cuadrática (f.c.) asociada a f. Observación: Distintas f. bilineales pueden dar lugar a una misma f. cuadrática. La forma cuadrática puede expresarse matricialmente como: q((x 1,..., x n ) B ) = (x 1,..., x n ) B A x 1. x n donde A es la matriz asociada a la forma bilineal f respecto de una base B de V. Se puede hallar una A que sea simétrica, a la que se llama matriz asociada a q. B Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.13

14 Ejemplo 5. Determinar qué funciones q : R n R de las siguientes son formas cuadráticas en R 1. n = 2, q(x, y) = x 2 + 2xy + y 2 2. n = 2, q(x, y) = x 2 + 2xy + y n = 3, q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 4. n = 3, q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 4xz Definición 14. Dada una forma cuadrática q : V K, la forma simétrica f : V V K definida como f(x, y) = 1 4 q(x + y) 1 q(x y) 4 para todo (x, y) V V, se denomina forma polar de la forma cuadrática q. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.14

15 Diagonalización de F. C. Definición 15. Dada una f.c. q : V K, se dice que es diagonalizable si existe una base B tal que q( x) = q((x 1,..., x n ) B ) = λ 1 x λ nx 2 n donde (x 1,..., x n ) B son las coordenadas de x con respecto a la base B. Teorema 8. [Teorema del eje principal] Toda f.c. q : V K se puede diagonalizar mediante una sustitución X = P Y (cambio de base a. l.), donde P es una matriz ortogonal. De esta forma se tiene: q( x) = X t AX = X t P DP t X = Y t DY donde A es la matriz simétrica asociada a q respecto de una base B, X son las coordenadas de x en B y por tanto, Y son las coordenadas de x en la base de autovectores ortonormal considerada. Ejemplo 6. Diagonalizar las f.c. del ejemplo anterior. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.15

16 Diagonalización ortogonal de una F.C. Paso 1. Hallar la matriz de coeficientes simétrica A de la forma cuadrática q : V K. Paso 2. Hallar los valores propios λ 1,..., λ n de A. Paso 3. Hallar una base ortonormal de V propios normalizados de A. formada por vectores Paso 4. Formar la matriz P cuyas columnas sean los vectores de la base hallados en el paso 3 en el orden correspondiente al listado de los valores propios en el paso 2. Paso 5. La sustitución X = P Y transforma q( x) en la diagonal λ 1 y λ ny 2 n. Aplicaciones Geometría. Cónicas y cuádricas. Diseño y control de imágenes, arquitectura,... Cálculo. Localización de extremos. Maximizar ganancias, minimizar costos, maximizar rapidez, minimizar tiempo,... Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.16

17 Ejemplos Ejemplo 7. Dadas las siguientes f.c. q : R n R, hallar una sustitución ortogonal que la diagonalice y hallar la forma diagonalizada, para cada una. 1. q(x, y) = 2xy 2. q(x, y) = 6xy + 8y 2 3. q(x, y, z) = y 2 + 2xz 4. q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz 2yz 5. q(x, y, z, t) = x 2 + 2y 2 6xz + z 2 4t 2 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.17

18 Formas cuadráticas reales Dado un espacio vectorial V de dimensión n y q : V R una f.c. q es definida positiva si q( v) > 0, para todo v V q es definida negativa si q( v) < 0, para todo v V Nota: Toda forma cuadrática definida es no degenerada q es semidefinida positiva si q( v) 0, para todo v V q es semidefinida negativa si q( v) 0, para todo v V q es indefinida en cualquier otro caso, es decir, cuando toma valores negativos y positivos Teorema 9. [Ley de inercia de Sylvester] Todas las matrices diagonales asociadas a una misma forma cuadrática real tienen el mismo número de elementos positivos, negativos y nulos. Definición 16. Se llama signatura de una forma cuadrática a la diferencia de términos positivos y negativos de cualquier matriz diagonal asociada a la forma. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.18

19 Métodos de determinación del carácter de una F.C. Diagonalizando la forma cuadrática Dada la forma cuadrática q( v) = d 1 x d 2x d nx 2 n 1. Si d i > 0, para todo i {1,..., n}, la forma cuadrática es definida positiva. Si d i < 0, para todo i {1,..., n}, la forma cuadrática es definida negativa. 2. Si d i 0, para todo i {1,..., n}, con algún d i = 0, la forma cuadrática es semidefinida positiva. Si d i 0, para todo i {1,..., n}, con algún d i = 0, la forma cuadrática es semidefinida negativa. 3. Si hay coeficientes d i positivos y negativos la forma cuadrática es indefinida Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.19

20 Estudiando el signo de los menores principales P r matriz de q de cualquier Dada una matriz A, llamamos P r al menor principal de orden r formado por las r filas y columnas de la matriz A. 1. Si P i > 0, para todo i {1,..., n}, entonces la forma cuadrática es definida positiva. 2. Si P 1 < 0, P 2 > 0, P 3 < 0 y así sucesivamente, es decir, si los menores de orden impar son negativos y los de orden par positivos, entonces la forma cuadrática es definida negativa. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.1. pg.20