Tema 3: Espacios eucĺıdeos

Transcripción

1 Marisa Serrano, Zulima Fernández Universidad de Oviedo 22 de diciembre de

2 Índice 1

3 Índice 1 2 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados

4 Contenidos 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β R entonces (α v 1 + β v 2 ) u = α v 1 u + β v 2 u u (α v 1 + β v 2 ) = α u v 1 + β u v 2

5 Contenidos 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β R entonces (α v 1 + β v 2 ) u = α v 1 u + β v 2 u u (α v 1 + β v 2 ) = α u v 1 + β u v 2 b) Simetría v, u V v u = u v

6 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β R entonces (α v 1 + β v 2 ) u = α v 1 u + β v 2 u u (α v 1 + β v 2 ) = α u v 1 + β u v 2 b) Simetría v, u V v u = u v c) Positiva v V v v 0

7 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β R entonces (α v 1 + β v 2 ) u = α v 1 u + β v 2 u u (α v 1 + β v 2 ) = α u v 1 + β u v 2 b) Simetría v, u V v u = u v c) Positiva v V v v 0 d) Definida v v = 0 v = 0

8 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β R entonces (α v 1 + β v 2 ) u = α v 1 u + β v 2 u u (α v 1 + β v 2 ) = α u v 1 + β u v 2 b) Simetría v, u V v u = u v c) Positiva v V v v 0 d) Definida v v = 0 v = 0 Se llama producto escalar. (V, ) es un espacio eucĺıdeo.

9 Ejemplo Contenidos Ejemplo 3.1 Probar que la aplicación siguiente es un producto escalar: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = 2x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2

10 Cuadrado escalar Contenidos 3.2 A la aplicación: V R v v v la llamaremos cuadrado escalar, y la denotaremos por v 2 = v v

11 Ejemplo Ejemplo 3.2 Calcular el cuadrado escalar asociado al producto: Calcula (1, 0) 2 (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = 2x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2

12 Recuperación del producto escalar a partir del cuadrado Vamos a calcular el cuadrado escalar de una combinación lineal de dos vectores del espacio: (α u + β v) 2 = (α u + β v) (α u + β v) = α 2 u 2 + 2αβ u v + β 2 v 2 Tomando α = 1 y β = 1 se puede obtener el producto escalar de dos vectores a partir de sus cuadrados escalares: u v = 1 2 ( ( u + v) 2 u 2 v 2)

13 Longitud Contenidos 3.3 Llamaremos longitud o norma de un vector al número real: v = v v = v 2

14 Representación matricial Se fija la base B = { v 1, v 2,..., v n } y los vectores u, w V, con coordenadas u = x 1 v 1 + x 2 v x n v n, w = y 1 v 1 + y 2 v y n v n u w = X t GY con G = v 1 2 v 1. v 2... v 1. v n v 1. v 2 v v 2. v n... v 1. v n v 2. v n... v n 2 ; X = x 1 x 2. x n ; Y = y 1 y 2. y n

15 Propiedades de G Contenidos Por la simetría del producto escalar v i v j = v j v i, G debe ser simétrica. Además: n n (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = g ij x i y j, el elemento i, j de i=1 j=1 la matriz G es el coeficiente del producto x i y j. El cuadrado escalar sería (x 1, x 2,..., x n ) 2 = n i=1 g iixi 2 + n 1 i = 1 j > i 2g ij x i x j

16 Ejemplos Ejemplo 3.3 Dado el producto escalar: (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, y 2, y 3 ) = = x 1 y 1 + 6x 2 y 2 + 7x 3 y 3 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 2x 2 y 3 2x 3 y 2 Calcula la matriz asociada. Ejemplo 3.4 Dado el cuadrado escalar: (x, y) 2 = 3x 2 xy + 2y 2 Calcule la matriz asociada al producto escalar correspondiente.

17 en productos escalares Sea un producto escalar, cuya matriz asociada en la base B es A y en la base B es M, siendo P la matriz de cambio de base de B a B. entonces: B = P t AP. v X B X B u Y B Y B

18 Matrices congruentes 3.4 En el espacio M n n (R) se define la relación binaria siguiente: A relacionada con M sí y sólo sí P M n n (R) regular, tal que M = P t AP. De las matrices A y M se dice que son congruentes.

19 Matrices congruentes 3.4 En el espacio M n n (R) se define la relación binaria siguiente: A relacionada con M sí y sólo sí P M n n (R) regular, tal que M = P t AP. De las matrices A y M se dice que son congruentes. La relación de congruencia de matrices es una relación binaria de equivalencia.

20 Ejemplo Ejemplo 3.5 Calcúlese la matriz del producto escalar: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = 2x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 en la base canónica. Calcúlese la matriz asociada en la base B = {(1, 1), ( 1, 1)}

21 Cómo comprobar si una aplicación producto escalar Una aplicación candidata a ser producto escalar debe tener una expresión en coordenadas respecto de una cierta base B de la forma: f ((x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n )) = X t AY siendo A una matriz cuadrada y simétrica otras condiciones?

22 Una condición sobre la matriz asociada Teorema 3.1 (Criterio de Sylvester) Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A simétrica esté asociada a un producto escalar es que: a 11 a a 1i a 12 a a 2i det > 0 i {1, 2,... n}... a 1i a 2i... a ii

23 Ejemplo Ejemplo 3.6 Probar que la aplicación siguiente es un producto escalar: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = 2x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2

24 Bases ortonormales A continuación nos plantearemos el cálculo de una base donde la matriz asociada al producto escalar sea lo más sencilla posible, es decir, siempre que sea posible diagonal, y mejor aún, la identidad.

25 Bases ortonormales A continuación nos plantearemos el cálculo de una base donde la matriz asociada al producto escalar sea lo más sencilla posible, es decir, siempre que sea posible diagonal, y mejor aún, la identidad. Veamos qué tipo de base sería, si queremos que la matriz asociada sea la identidad. Si B = { v 1, v 2,..., v n } es la base en la que la matriz asociada es la identidad, debe verificar que 1 si i = j v i v j = 0 si i j

26 Bases ortonormales A continuación nos plantearemos el cálculo de una base donde la matriz asociada al producto escalar sea lo más sencilla posible, es decir, siempre que sea posible diagonal, y mejor aún, la identidad. Veamos qué tipo de base sería, si queremos que la matriz asociada sea la identidad. Si B = { v 1, v 2,..., v n } es la base en la que la matriz asociada es la identidad, debe verificar que 1 si i = j v i v j = 0 si i j A este tipo de bases las llamaremos bases ortonormales.

27 Bases ortonormales 3.5 Los vectores que verifican que v 2 = 1 se llaman vectores unitarios.

28 Bases ortonormales 3.5 Los vectores que verifican que v 2 = 1 se llaman vectores unitarios. 3.6 Dados dos vectores, v, u V diremos que son vectores ortogonales si cumplen v u = 0.

29 Bases ortonormales 3.5 Los vectores que verifican que v 2 = 1 se llaman vectores unitarios. 3.6 Dados dos vectores, v, u V diremos que son vectores ortogonales si cumplen v u = 0. Por lo tanto encontrar una base ortonormal es encontrar una base de vectores ortogonales dos a dos y unitarios.

30 El método de Gauss Sea φ(x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 a iixi 2 + n 1 2a i = 1 ij x i x j y queremos j > i saber si es un cuadrado escalar. El método de Gauss nos permite encontrar la matriz diagonal equivalente manipulando la expresión en coordenadas del cuadrado escalar: q(x 1, x 2,..., x n ) = n d i xi 2 d i > 0 i=1

31 Ejemplo 3.7 Se considera la aplicación siguiente: φ(x, y, z) = 2x 2 + 6y 2 + 7z 2 + 4xy 4yz + 4xz Probaremos que se trata de un cuadrado escalar, dando una base ortonormal.

32 Propiedades Contenidos Teorema 3.2 Todo sistema de vectores no nulos y ortogonales dos a dos es un sistema libre

33 Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt A partir de una base cualquiera B = { e 1, e 2,..., e n }, vamos a obtener una base ortogonal B = { v 1, v 2,..., v n } como sigue:

34 Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt A partir de una base cualquiera B = { e 1, e 2,..., e n }, vamos a obtener una base ortogonal B = { v 1, v 2,..., v n } como sigue: p {1, 2,..., n} e p = α 1 v 1 + α 2 v α p 1 v p 1 + v p de forma que v p v i y α i = e p v i v i v i i {1, 2,..., p 1}. para todo

35 Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt A partir de una base cualquiera B = { e 1, e 2,..., e n }, vamos a obtener una base ortogonal B = { v 1, v 2,..., v n } como sigue: p {1, 2,..., n} e p = α 1 v 1 + α 2 v α p 1 v p 1 + v p de forma que v p v i y α i = e p v i para todo v i v i i {1, 2,..., p 1}. Así, la base { } v1 v 1, v 2 v 2,..., v n = { u 1, u 2,..., u n } v n es una base ortonormal de E.

36 Un ejemplo Contenidos Ejemplo 3.8 Utiĺıcese el método anterior para calcular una base ortonormal para el producto escalar definido en la base canónica por la matriz G =

37 Propiedades Teorema 3.3 (desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dados dos vectores cualesquiera del espacio eucĺıdeo V se cumple: v w v w

38 Propiedades Teorema 3.3 (desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dados dos vectores cualesquiera del espacio eucĺıdeo V se cumple: Corolario v w v w Si los vectores v y w son linealmente dependientes entonces se verifica la igualdad.

39 Propiedades Teorema 3.3 (desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dados dos vectores cualesquiera del espacio eucĺıdeo V se cumple: Corolario v w v w Si los vectores v y w son linealmente dependientes entonces se verifica la igualdad. Teorema 3.4 (Teorema de Pitágoras) Si v e w son dos vectores ortogonales de E entonces v + w 2 = v 2 + w 2

40 Ángulo que forman dos vectores 3.7 Si los dos vectores son no nulos: 1 único número real θ [0, π] tal que cos(θ) = v w v w v w v w 1 y existe un A θ R le llamaremos ángulo que forman los vectores v y w.

41 Ángulo que forman dos vectores 3.7 Si los dos vectores son no nulos: 1 único número real θ [0, π] tal que cos(θ) = v w v w v w v w 1 y existe un A θ R le llamaremos ángulo que forman los vectores v y w. Nota 3.1 Si multiplicamos la expresión del coseno por las longitudes de los vectores se obtiene la expresión habitual del producto escalar: v w = v w cos(θ)

42 Sorprendente?, no, la métrica depende del producto escalar Ejemplo 3.9 Con el producto escalar que en la base canónica tiene asociada la matriz G = Calcúlese el coseno del ángulo que forman los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0).

43 Ortogonalidad 3.8 Dos subespacios U y V de E se llaman ortogonales si v w = 0 para cada v U y para cada w V. En este caso, se puede escribir U V.

44 Ortogonalidad 3.8 Dos subespacios U y V de E se llaman ortogonales si v w = 0 para cada v U y para cada w V. En este caso, se puede escribir U V. 3.9 Si U es un subespacio de un espacio eucĺıdeo E, el conjunto de los vectores ortogonales a U se denota por U = { w E / v w = 0 v U}

45 Ortogonalidad 3.8 Dos subespacios U y V de E se llaman ortogonales si v w = 0 para cada v U y para cada w V. En este caso, se puede escribir U V. 3.9 Si U es un subespacio de un espacio eucĺıdeo E, el conjunto de los vectores ortogonales a U se denota por Propiedades U = { w E / v w = 0 v U} U es subespacio de E y se le denomina suplemento ortogonal de U respecto de E.

46 El suplemento ortogonal Propiedades { } U U = 0

47 El suplemento ortogonal Propiedades { } U U = 0 Propiedades Para que un vector b E sea ortogonal al subespacio U es suficiente que sea ortogonal a los vectores de una base cualquiera de U, B = { e 1, e 2,..., e n }.

48 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Consideremos en el espacio eucĺıdeo E de dimensión finita o no, U un subespacio vectorial de E de dimensión m y un vector v E. Buscamos un vector u U tal que v u sea ortogonal a U, es decir, v u U. Al vector u se le denomina proyección ortogonal de v sobre U y se le denota por u = proy U ( v), o también u = π U ( v). Teorema 3.5 Si U es un subespacio m dimensional de un espacio eucĺıdeo E y p U es la proyección ortogonal de v E sobre U, v / U. v w > v p w U w p

49 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Cálculo de la proyección Supongamos que conocemos una base del subespacio U: B = { e 1, e 2,, e m }, buscamos u U que debe ser de la forma y que cumple u = c 1 e 1 + c 2 e c m e m v (c 1 e 1 + c 2 e c m e m ) U

50 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Cálculo de la proyección Supongamos que conocemos una base del subespacio U: B = { e 1, e 2,, e m }, buscamos u U que debe ser de la forma y que cumple u = c 1 e 1 + c 2 e c m e m v (c 1 e 1 + c 2 e c m e m ) U Para calcular la proyección, descomponemos v en suma de un vector de U y otro de U y la proyección será el vector de U obtenido.

51 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Curva que mejor se ajuste a un conjunto de datos Dados los puntos: (1, 2), (2, 2) y (3, 4), surgidos de mediciones tomadas durante un experimento. Sospechamos que la relación entre los valores x e y es lineal del tipo y = a + bx. Si nuestras medidas fuesen precisas, los tres puntos satisfarían la ecuación y tendríamos que: 2 = a + b, 2 = a + 2b, 4 = a + 3b obteniendo un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas: 1 1 ( ) a = 2 b Desafortunadamente, el sistema es incompatible.

52 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Error a minimizar

53 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Error a minimizar Los errores cometidos son e 1, e 2 y e 3, por ello formaremos el vector de error: e = e 1 e 2 e 3 y queremos que e sea lo menor posible, de manera que e sea mínimo.

54 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Errores El número e 2 se le denomina error de mínimos cuadrados de la aproximación.

55 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Errores El número e 2 se le denomina error de mínimos cuadrados de la aproximación. Este valor, como se ve fácilmente, depende del número de puntos, así que otro error habitual que es utilizado es el error cuadrático medio, que viene dado por ɛ = e, donde N es el número de N medidas efectuadas.

56 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Ejemplo de cálculo del error Ejemplo 3.10 Cuál de las siguientes rectas nos da el menor error de mínimos cuadrados para los puntos de datos (1, 2), (2, 2) y (3, 4)? a) y = 1 + x b) y = 2 + 2x c) y = x (5)

57 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Solución (4) y = 1 + x y = 2 + 2x y = x ( ) 2 e 1 2 (1 + 1) = 0 2 ( 2 + 2) = = 1 ( ) 3 2 e 2 2 (1 + 2) = 1 2 ( 2 + 4) = = 2 ( ) 3 2 e 3 4 (1 + 3) = 0 4 ( 2 + 6) = = 1 3 e e = e /

58 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Representación gráfica Observamos que la recta que produce un error menor es y = 2 + x la figura muestra los 3 puntos de datos y las tres rectas. Figura: Las tres rectas aproximantes

59 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Representación gráfica Figura: Las tres rectas aproximantes Observamos que la recta que produce un error menor es y = 2 + x la figura muestra los 3 puntos de datos y las tres rectas. Observa que de las tres rectas, la elegida es la que no pasa por ninguno de los tres puntos, y sin embargo es con la que cometemos un error menor.

60 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Una recta Ejemplo 3.11 Supongamos que se quiere determinar la constante de un resorte cuya longitud inicial es de 13.5 cm. Para ello aplicamos al resorte unas fuerzas de 0.91, 1.81 y 2.72 kg consecutivamente, observando que su longitud se incrementa en 4.32, y cm, respectivamente. Calcula el error cometido.

61 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Una recta Ejemplo 3.11 Supongamos que se quiere determinar la constante de un resorte cuya longitud inicial es de 13.5 cm. Para ello aplicamos al resorte unas fuerzas de 0.91, 1.81 y 2.72 kg consecutivamente, observando que su longitud se incrementa en 4.32, y cm, respectivamente. Calcula el error cometido. Ley de Hooke: F (x) = k(l l 0 ) = kx, donde: x es el alargamiento, k la constante a calcular F (x) la fuerza necesaria para estirar el resorte hasta la longitud l

62 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Solución 0.91 = k 1.81 = k 2.72 = k Forma vectorial: e 1 k = v con v = (0.91, 1.81, 2.72) y e 1 = (0.0432, , ), el sistema no tiene solución. k se halla resolviendo la ecuación e 1 e 1 k = v e k = y k = kg/m El error de mínimos cuadrados cometido viene dado por: (0.91, 1.81, 2.72) (0.0432, , ) = y el error cuadrático medio sería: (0.91, 1.81, 2.72) (0.0432, , ) 3 = (1)

63 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Programación con MatLab e1=[ ] v=[ ] k=(e1*v. )/(e1*e1. ) error=norm(v-k*e1) errorcuad=error/length(e1) plot(e1,v, r* ) hold on plot(e1,k*e1) idt=title([ Aproximación lineal ]); set(idt, FontSize,12, FontWeight, bold ) idx=xlabel( Incremento de longitud (m) ); set(idx, FontSize,12, FontWeight, bold ) idy=ylabel( Fuerza aplicada (kg) ); set(idy, FontSize,12, FontWeight, bold )

64 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Gráfica

65 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Un polinomio Ejemplo 3.12 Se quiere determinar, la aceleración g debida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Para ello, se suelta un peso con altura y velocidad inicial desconocidas, y en ciertos instantes t, se mide la distancia recorrida en el descenso s, referida a un punto fijo. Las observaciones obtenidas son s = , , , y metros para t = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 segundos, respectivamente.

66 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Un polinomio Ejemplo 3.12 Se quiere determinar, la aceleración g debida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Para ello, se suelta un peso con altura y velocidad inicial desconocidas, y en ciertos instantes t, se mide la distancia recorrida en el descenso s, referida a un punto fijo. Las observaciones obtenidas son s = , , , y metros para t = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 segundos, respectivamente. La segunda ley de Newton: un cuerpo cercano a la superficie de la Tierra cae verticalmente de acuerdo con la ecuación s = s 0 + v 0 t gt2 con s 0 = posición inicial, s = desplazamiento vertical hacia abajo, respecto a s 0, v 0 = velocidad inicial, g = la aceleración debida a la gravedad.

67 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Solución = c c c = c c c = c c c = c c c = c c c 3 El sistema no tiene solución, y que se puede expresar vectorialmente como resolveremos e 1 c 1 + e 2 c 2 + e 3 c 3 = v e 1 e 1 c 1 + e 2 e 1 c 2 + e 3 e 1 c 3 = v e 1 e 1 e 2 c 1 + e 2 e 2 c 2 + e 3 e 2 c 3 = v e 2 e 1 e 3 c 1 + e 2 e 3 c 2 + e 3 e 3 c 3 = v e 3

68 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Solución (II) de donde 5c c c 3 = c c c 3 = c c c 3 = c 1 = = s 0 c 2 = = v 0 c 3 = = 1 2 g g = m/s2 y el error cometido sería: e = y el error cuadrático medio sería: ɛ = e N = =

69 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Programación con MatLab v=[ ]. e1=ones(5,1) e2=[1:5]. *10^-1 e3=e2.^2 H=[e1 e2 e3] G=H. *H b=h. *v A=rref([G b]); sol=a(:,end) g=sol(3)*2 plot(e2,v, r* ) hold on x=linspace(0.1,0.5); plot(x,sol(1)+sol(2)*x. +sol(3)*x..^2)

70 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Gráfica

71 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Aproximación de funciones por polinomios Sea f C ([a, b]). Frecuentemente se necesita calcular un polinomio de grado n, P n (x) que se ajuste lo más posible a la función en el sentido de los mínimos cuadrados, es decir, tal que f P n (x) 2 sea mínima Al valor e = f P n (x) 2 le llamaremos el error cometido con la aproximación. Considerando el producto escalar b a f (x) g (x) dx del espacio de las funciones continuas en [a, b], la condición es equivalente a b a [f (x) P n (x)] 2 dx

72 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Ejemplo Ejemplo 3.13 Aproxime por el método de mínimos cuadrados la función f (x) = sen(πx) en [0, 1] mediante un polinomio de segundo grado, y calcule el error cometido con la aproximación. Sea P 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 el polinomio buscado, los coeficientes a 0, a 1, a 2 son las soluciones del sistema de ecuaciones 1 a 0 0 1dx + a 1 a xdx + a xdx + a x 2 dx = 1 0 senπxdx 1 0 x 2 1 dx + a 2 0 x 3 dx = 1 0 x senπxdx a x 2 dx + a x 3 dx + a x 4 dx = 1 0 x 2 senπxdx

73 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Solución a a a 2 = 2 π 1 2 a a a 2 = 1 π 1 3 a a a 2 = π2 4 π 3 cuya solución es a 0 = 12π , a π 3 1 = a 2 = π π 3 En consecuencia, el polinomio que aproxima la función es P 2 (x) = x x 2 El error cometido es: 1 [ ( sen(πx) x x 2 )] 2 dx =

74 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados syms x base=x.^[0:2] funcion=sin(pi*x) G=int(base. *base,x,0,1) b=int(funcion*base.,x,0,1) A=rref([G b]); sol=a(:,end) apro=sol. *base. xnum=linspace(0,1); apronum=subs(apro,x,xnum); idp1=plot(xnum,apronum); hold on idp2=plot(xnum,sin(pi*xnum), r ); idl=legend([idp1 idp2], p(x), sin(\pi x) );

75 Método de los mínimos cuadrados Distintos ajustes por mínimos cuadrados Gráfica