Álgebra y Matemática Discreta

Transcripción

2 Introducción La existencia de bases ortonormales es los espacios es muy útil para calcular proyecciones.

3 Introducción La existencia de bases ortonormales es los espacios es muy útil para calcular proyecciones. Esta es una técnica que utilizaremos para obtener la mejor aproximación de un punto a un subespacio.

4 Introducción La existencia de bases ortonormales es los espacios es muy útil para calcular proyecciones. Esta es una técnica que utilizaremos para obtener la mejor aproximación de un punto a un subespacio. Las aplicaciones son múltiples, una de las mas conocida es la aproximación de nubes de puntos mediante rectas de regresión.

5 Proyección Ortogonal Sea W un subespacio de R n con una base ortonormal formada por los vectores u 1, u 2,, u t y sea v un vector cualquiera de R n, entonces El vector u 1,v u 1 + u 2,v u u t,v u t está en W y recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre W. Lo denotaremos proy W (v). Este vector es la mejor aproximación de v al subespacio W.

6 Proyección Ortogonal Sea W un subespacio de R n con una base ortonormal formada por los vectores u 1, u 2,, u t y sea v un vector cualquiera de R n, entonces El vector u 1,v u 1 + u 2,v u u t,v u t está en W y recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre W. Lo denotaremos proy W (v). Este vector es la mejor aproximación de v al subespacio W. El vector v proy W (v) está en W. Lo denotaremos proy W (v). La longitud de este vector se conoce como la distancia de v al subespacio W. Con esta fórmula se cumple v = proy W (v)+proy W (v).

7 Proyección Ortogonal Sea W un subespacio de R n con una base ortonormal formada por los vectores u 1, u 2,, u t y sea v un vector cualquiera de R n, entonces El vector u 1,v u 1 + u 2,v u u t,v u t está en W y recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre W. Lo denotaremos proy W (v). Este vector es la mejor aproximación de v al subespacio W. El vector v proy W (v) está en W. Lo denotaremos proy W (v). La longitud de este vector se conoce como la distancia de v al subespacio W. Con esta fórmula se cumple v = proy W (v)+proy W (v). Si v = u 1 +u 2 con u 1 U y u 2 U entonces u 1 = proy W (v) y u 2 = proy W (v), es decir, la descomposición de un vector como suma de un vector de U y otro de su ortogonal es única.

8 Proyección Ortogonal Sea W un subespacio de R n con una base ortonormal formada por los vectores u 1, u 2,, u t y sea v un vector cualquiera de R n, entonces El vector u 1,v u 1 + u 2,v u u t,v u t está en W y recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre W. Lo denotaremos proy W (v). Este vector es la mejor aproximación de v al subespacio W. El vector v proy W (v) está en W. Lo denotaremos proy W (v). La longitud de este vector se conoce como la distancia de v al subespacio W. Con esta fórmula se cumple v = proy W (v)+proy W (v). Si v = u 1 +u 2 con u 1 U y u 2 U entonces u 1 = proy W (v) y u 2 = proy W (v), es decir, la descomposición de un vector como suma de un vector de U y otro de su ortogonal es única. Un vector v está en W si y sólo si la distancia de v a W es 0 o lo que es lo mismo, la mejor aproximación de v a W es él mismo.

9 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n.

10 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n. Sin embargo la idea que hay detrás es muy simple.

11 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n. Sin embargo la idea que hay detrás es muy simple. Supongamos que estamos en el plano y que nuestro espacio W es una recta, y v un vector fuera de ella.

12 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n. Sin embargo la idea que hay detrás es muy simple. Supongamos que estamos en el plano y que nuestro espacio W es una recta, y v un vector fuera de ella. Si nosotros estamos en el extremo del vector y queremos acercarnos la recta por el camino mas corto, iremos de forma perpendicular a ella.

13 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n. Sin embargo la idea que hay detrás es muy simple. Supongamos que estamos en el plano y que nuestro espacio W es una recta, y v un vector fuera de ella. Si nosotros estamos en el extremo del vector y queremos acercarnos la recta por el camino mas corto, iremos de forma perpendicular a ella. El vector que está dentro de la recta y que es el punto más cercano es la proyección ortogonal.

14 Proyección Ortogonal Qué es esto? La notación puede ser un poco compleja, porque hay que escribir para espacios de dimensión n. Sin embargo la idea que hay detrás es muy simple. Supongamos que estamos en el plano y que nuestro espacio W es una recta, y v un vector fuera de ella. Si nosotros estamos en el extremo del vector y queremos acercarnos la recta por el camino mas corto, iremos de forma perpendicular a ella. El vector que está dentro de la recta y que es el punto más cercano es la proyección ortogonal. Para planos también está claro que hay que ir al perpendicular. Para espacios de dimensión mayor se pierde la idea intuitiva.

15 Proyección Ortogonal

16 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Nosotros solemos trabajar con ecuaciones del tipo 4x 3y +z = 2.

17 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Nosotros solemos trabajar con ecuaciones del tipo 4x 3y +z = 2. Esto no es lo normal en ciencias experimentales.

18 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Nosotros solemos trabajar con ecuaciones del tipo 4x 3y +z = 2. Esto no es lo normal en ciencias experimentales. Lo normal es tener ecuaciones del tipo:

19 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Nosotros solemos trabajar con ecuaciones del tipo 4x 3y +z = 2. Esto no es lo normal en ciencias experimentales. Lo normal es tener ecuaciones del tipo: x y z =

20 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Nosotros solemos trabajar con ecuaciones del tipo 4x 3y +z = 2. Esto no es lo normal en ciencias experimentales. Lo normal es tener ecuaciones del tipo: x y z = Y no solo eso, sino que habitualmente tenemos muchas, muchísimas, tantas como experimentos hemos hecho.

21 Mínimos Cuadrados Algo así x y z = x y z = x y z = x y z = x y z = x y z =

22 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Puesto que tenemos muchas más ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene muchas probabilidades de ser incompatible.

23 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Puesto que tenemos muchas más ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene muchas probabilidades de ser incompatible. De hecho, lo normal es que pequeñas perturbaciones a la hora de obtener los datos, nos den errores que hagan las ecuaciones teóricamente incompatibles.

24 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Puesto que tenemos muchas más ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene muchas probabilidades de ser incompatible. De hecho, lo normal es que pequeñas perturbaciones a la hora de obtener los datos, nos den errores que hagan las ecuaciones teóricamente incompatibles. Pero nosotros sabemos que el sistema tiene una solución, y que el problema es que hay un error en los datos.

25 Mínimos Cuadrados Sistemas Incompatibles Puesto que tenemos muchas más ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene muchas probabilidades de ser incompatible. De hecho, lo normal es que pequeñas perturbaciones a la hora de obtener los datos, nos den errores que hagan las ecuaciones teóricamente incompatibles. Pero nosotros sabemos que el sistema tiene una solución, y que el problema es que hay un error en los datos. Lo que hacemos para resolverlo es buscar un sistema que sí tenga solución (compatible) y que sea muy cercano al sistema original, de hecho vamos a calcular el sistema compatible que mejor se aproxima a nuestro sistema.

26 Mínimos Cuadrados Solución El método consiste en lo siguiente, si tenemos un sistema de ecuaciones en forma matricial AX = B.

27 Mínimos Cuadrados Solución El método consiste en lo siguiente, si tenemos un sistema de ecuaciones en forma matricial AX = B. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por la transpuesta de la matriz de los coeficientes, y obtenemos el sistema de ecuaciones A AX = A B.

28 Mínimos Cuadrados Solución El método consiste en lo siguiente, si tenemos un sistema de ecuaciones en forma matricial AX = B. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por la transpuesta de la matriz de los coeficientes, y obtenemos el sistema de ecuaciones A AX = A B. La solución de este sistema es la que buscamos, puesto que este sistema es el que mejor se aproxima a nuestro sistema original.

29 Rectas de Regresión Planteamiento Un ejemplo muy conocido de aplicación de este sistema son las rectas de regresión.

30 Rectas de Regresión Planteamiento Un ejemplo muy conocido de aplicación de este sistema son las rectas de regresión. Tenemos una nube de puntos, que deberían estar en una recta, pero que no lo están.

31 Rectas de Regresión Planteamiento Un ejemplo muy conocido de aplicación de este sistema son las rectas de regresión. Tenemos una nube de puntos, que deberían estar en una recta, pero que no lo están. Lo que tenemos que hacer es ajustar la nube de puntos por su recta de regresión.

32 Rectas de Regresión

33 Rectas de Regresión

34 Rectas de Regresión Solución La forma de hacerlo es la siguiente. Buscamos una recta del tipo y = ax +b, y cada punto de la nube de puntos nos plantea una ecuación y i = ax i +b, donde las incóginitas son a y b.

35 Rectas de Regresión Solución La forma de hacerlo es la siguiente. Buscamos una recta del tipo y = ax +b, y cada punto de la nube de puntos nos plantea una ecuación y i = ax i +b, donde las incóginitas son a y b. Todos los puntos plantean un sistema incompatible (si no estan perfectamente alineados). Lo que haremos es calcular el sistema que mejor se aproxima al nuestro mediante la fórmula anterior.

36 Rectas de Regresión Las ecuaciones de los puntos nos proporcionan el siguiente sistema: x 1 1 y 1 x 2 1 ] y 2.. x k 1 [ a b = Tenemos que multiplicar por la transpuesta de la matriz de los coeficientes, que es [ ] x1 x 2 x k y k

37 Rectas de Regresión [ x1 x 2 x k ] x 1 1 x x k 1 [ a b ] = [ x1 x 2 x k ] y 1 y 2. y k Que nos deja el sistema: [ x 2 xi xi 1 ][ a b ] = [ ] x,y yi