Soluciones a los ejercicios del examen final C =. 1 0

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1 Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E T S E de Minas Álgebra Lineal Curso 205/6 de enero de 206 Soluciones a los ejercicios del examen final Se considera el subespacio U {X M 2 2 (R) / XC C t X}, donde ( ) C 0 a) Hallar una base B U de U ( ) b) Probar que la matriz A no pertenece a U c) Como consecuencia del apartado anterior, escribir A como combinación lineal de los vectores de la base B U conduce a un sistema de 4 ecuaciones lineales con 2 incógnitas incompatible Usar dicho sistema para determinar la matriz X U más próxima a A en el sentido de mínimos cuadrados (La matriz X es la proyección ortogonal de A sobre el subespacio U) a) Se tiene: X Por tanto, {( ) x y U y B U ( ) x y U ( x y ) ( ) 0 ( ) x y x z t z { } z y t y x ( 0 ) ( ) x y ( ) x y x z x z y t x y t x y z t x z y } {( ) } x y / z y, t y x / x, y R < y y x {( ) ( )} 0 0, es una base de U 0 {( ) 0, 0 ( )} 0 >

2 b) Se comprueba directamente que y por tanto A U AC ( ) 0 C t A 0 ( ) 0 0 c) Escribir A como combinación lineal de los vectores de la base B U conduce al sistema x ( ) ( ) ( ) y ( ) x + y 0 x 0 y 0 y x + y }{{}}{{} B b El sistema claramente es incompatible Las soluciones de Bx b en el sentido de mínimos cuadrados son las soluciones del sistema B t Bx B t b, que resulta ( ) ( ) ( ) { 2 x 0 2x y 0 y x + y La única solución del sistema es (x, y) (/5, 6/5) y por tanto la matriz buscada es X ( ) ( ) ( ) 0 /5 6/ /5 /5 2) Sea L : R R la aplicación lineal definida por L(x, y, z) (y + z 2x, x + z 2y, x + y 2z) a) Calcular la matriz T asociada a L b) Se considera la forma cuadrática ω : R R definida por ω(x) x t T x (b) Probar que ω es degenerada (b2) Clasificar ω usando los autovalores de T a) La expresión matricial de la aplicación lineal es L(x, y, z, t) y + z 2x 2 x + z 2y 2 x y x + y 2z } 2 {{ } z T

3 (b) Como T es simétrica y T 0, la forma cuadrática ω es degenerada (b2) El polinomio característico de T es 2 x F 2 () x x x q T (x) 2 x 2 x 2 x F () 2 x ( x) 2 x 2 x F 2 ( ) ( x) 0 x 0 F ( ) 0 0 x ( x)( x)2 Por tanto, Sp(T ) {0,, } y ω es semidefinida negativa ) Sea B {u, u 2, u, u 4 } una base de R 4 y sea A M 4 4 (R) una matriz con autovalores 0, y 2, de modo que los correspondientes subespacios propios son V (0) < {u, u 2 } >, V () < {u } >, V (2) < {u 4 } > a) Razonar si A es diagonalizable b) Calcular el rango de A c) Describir, en función de u, u 2, u y u 4, los siguientes conjuntos: (c) La imagen de A (c2) El conjunto de soluciones del sistema Ax b, con b u + 2u 4 d) Usar funciones de matrices para calcular los coeficientes α, β R tales que A 5 αa 2 + βa a) Como A M 4 4 (R) y tiene 4 autovectores independientes, A es diagonalizable De hecho, ma(0) mg(0) 2, ma() mg(), ma(2) mg(2) b) Como V (0) Ker(A) y dim(v (0)) 2, se deduce que rg(a) 4 dim(ker(a)) (c) Como A tiene rango 2, la imagen de A tiene dimensión 2, así que basta encontrar dos vectores linealmente independientes de Im(A) Es evidente que u y u 4 pertenecen a la imagen de A porque Au u y Au 4 2u 4 u 4 ( ) 2 Au 4 A 2 u 4 Por tanto Im(A) < {u, u 4 } > (c2) El conjunto de soluciones de Ax b viene dado por S p + Ker(A), donde p es una solución particular del sistema, es decir, Ap u + 2u 4 Como u V () y u 4 V (2), se tiene que Au u y Au 4 2u 4 En consecuencia,

4 A (u + u 4 ) Au + Au 4 u + 2u 4, y por tanto p u + u 4 es una solución particular Finalmente, el conjunto de soluciones es S u + u 4 + Ker(A) {u + u 4 + λu + µu 2 / λ, µ R} d) Definimos la función f(x) x 5, de modo que A 5 f(a) Como Sp(A) {0, 0,, 2}, el conjunto de valores de f sobre A es V f,a {f(0), f (0), f(), f(2)} Dado que f (x) 5x 4, se tiene que f(0) 0, f (0) 0, f() y f(2) Tenemos que determinar un polinomio r(x) a + bx + cx 2 + dx tal que r(0) a f(0) 0 a b 0 r (0) b f (0) 0 c + d r() a + b + c + d f() 4c + 8d 2 r(2) a + 2b + 4c + 8d f(2) 2 La única solución es a b 0, c 6, d 7 y por tanto r(x) 6x 2 + 7x A 5 f(a) r(a) 6A 2 + 7A Los valores son α 6, β 7 4) Sean A M 4 (R) y M A t A Sabiendo que 0 0 M 0 0, M, 4 M 4, 4 se pide: a) Calcular los autovalores de M y sus correspondientes subespacios propios b) Hallar las matrices P y D de una diagonalización ortogonal de M y determinar M c) Hallar los valores singulares de A d) Sabiendo que A, calcular la aproximación de rango de A a) Como M A t A M (R), de las propiedades del enunciado se obtiene que Sp(M) {, 4}, con ma() 2, ma(4) Los subespacios propios son V () < {(, 0, ), (0,, )} >, V (4) < {(,, )} >

5 b) Como Sp(M) {,, 4}, la matriz D es 0 0 D Los vectores columna de la matriz ortogonal P (u u 2 u ) constituyen una base ortonormal de R formada por autovectores de M asociados a los autovalores en el mismo orden en el que aparecen en la matriz D Para determinarlos, aplicaremos el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt Comenzamos por V () Si denotamos v (, 0, ), v 2 (0,, ) entonces los dos primeros vectores columna u, u 2 de la matriz P se calculan del siguiente modo: u v ( v / 2, 0, / ) 2 ũ 2 v 2 (v t 2u )u ( /2,, /2) ; u 2 ũ2 ũ 2 ( / 6, 2/ 6, / 6 El vector u resulta de normalizar el vector v (,, ) que genera V (4), es decir, u v ( v /, /, / ) ) Finalmente, / 2 / 6 / P (u u 2 u ) 0 2/ 6 / / 2 / 6 / La matriz M se determina usando la diagonalización ortogonal: 2 M P DP t 2 2 c) Los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los autovalores de A t A En este caso, σ 4 2, σ 2 σ d) La aproximación de rango de A es A 2uv t, donde v u ( /, /, / ) es el autovector unitario de M asociado al autovalor 4 y u (/2)Av Como A u / 2 A / / 2 A 2, se tiene: A 2uv t (,, )