Álgebra Lineal y Geometría I. Prueba 3. Grupo A. 12 de marzo de (

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1 Álgebra Lineal y Geometría I. Prueba 3. Grupo A. 2 de marzo de 208. Apellidos: Nombre: DNI: Ejercicio.-(4 puntos) Se considera la matriz siguiente: A = Calcule W = null(a 2I), W 2 = null(a 4I) y W W Pruebe que W W 2 es el subespacio de autovectores asociado a un autovalor de A. 3. Halle una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que D = Q t AQ. 4. Pruebe que la aplicación : R 3 R 3 definida por u v = u t Av para todo u, v R 3 es un producto escalar en R 3. Ejercicio 2.-(3 puntos) Dada la matriz A = ( 2 0. Calcule una base ortonormal B de W = null(a). 2. Amplíe B a una base ortonormal B de R Calcule las coordenadas de u = (,, 4, 2) t respecto de B. 4. Determine la proyección ortogonal w = proy W (u) de u sobre W y obtenga también sus coordenadas [w] B y [w] B. Ejercicio 3.-(3 puntos) Se considera, para cada b R, el homomorfismo f b : R 2 R 2 tal que su matriz M S (f b ) respecto de la base estándar es A b = ( /2 b b /2. Determine los valores de b R para los que f b es una isometría. 2. Pruebe que si b 0 entonces M B (f b ) no es diagonal respecto de ninguna base ortonormal B de R Sea g b : C 2 C 2 tal que M S (g b ) = A b. Razone si existe o no una base ortonormal B de C 2 tal que M B (g b ) sea diagonal. ) ).

2 Algebra Lineal y Geometría I. Grado de Matemáticas 3 de marzo de 208 Prueba 3 Grupo 2 APELLIDOS: NOMBRE: FIRMA: D.N.I.: Ejercicio : (4 puntos) Sea (V, ) un C espacio vectorial de dimensión 4 con producto escalar. Consideramos un conjunto ortonormal T = {v, v 2, v 3, v 4 } dentro de V.. Probar que T es una base de V. 2. Probar que W = v v 3, iv 2 + v 4 v, v 3 está generado por v 2 + iv 4. y calcular una base ortonormal de W. 3. Probar que la aplicación lineal f de V en V definida por f(v ) = v 3, f(v 2 ) = iv 4, f(v 3 ) = v, f(v 4 ) = iv 2 es una isometría. 4. Comprobar que W está contenida en la variedad formada por los autovectores de f de autovalor. 5. Comprobar que f es la identidad en la variedad L = v v 3, iv 2 + v 4 y calcular una base ortonormal de L. 6. Calcular una base ortonormal de autovectores de f. Ejercicio 2: (3 puntos) Sea A una matriz compleja unitaria y hermítica.. Probar que A 2 = Id. 2. Calcular A suponiendo que es semidefinida negativa de rango 3. Es decir, probar que es la única que existe con esas propiedades. 3. Dar dos matrices distintas en las condiciones del enunciado que no sean ni semidefinidas positivas ni semidefinidas negativas. Ejercicio 3: (3 puntos) Sea B la matriz cuyos autovalores son 0 y 6. B = Calcular una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D tales que B = P DP t. 2. En el espacio vectorial R 3, consideramos el subespacio W definido por las ecuaciones implícitas {x + 2x 2 x 3 = 0}. Probar que la aplicación φ : W W R, dada por φ(u, v) = u t Bv, define un producto escalar en W. 3. Probar que dos vectores u, v de W son ortogonales para el producto escalar usual de R 3 ( u v = u t v) si y solamente si son ortogonales para el producto escalar φ.,

3 Álgebra Lineal y Geometría I Tercera prueba. Grupo C apellidos D.N.I. nombre Firma Ejercicio. (2,5 puntos) En el espacio vectorial R 3, se consideran el plano W y el vector v siguientes: a) Hallar una base ortonormal de W. b) Hallar la proyección ortogonal proy W (v) W =, 2, v =. 2 0 c) Hallar el ángulo que forman v y W (el ángulo entre un vector y un plano es igual al ángulo entre el vector y su proyección ortogonal sobre el plano). d) Demostrar que, en un espacio euclídeo o unitario V, para todo vector w V y todo subespacio L V se tiene w L si y sólo si proy L (w) = 0. Ejercicio 2. (2,5 puntos) a) Demuestre que toda matriz unitaria es normal. b) Demuestre que el producto de m matrices unitarias n n es una matriz unitaria. c) ¾Existe alguna matriz Hermitiana que no sea nula ni invertible? d) ¾Existe alguna matriz Hermitiana A tal que Av = iv para algún vector v 0? e) Demuestre que una matriz real simétrica denida positiva es invertible. Ejercicio 3. (2,5 puntos) Sea A una matriz real simétrica 3 3, con autovalores y 2. Sabemos que V ( ) =, 0 0 a) Hallar V (2). (Se recuerda que A es real simétrica.) b) Hallar una base ortonormal de R 3 formada por autovectores de A. c) Hallar A. Ejercicio 4. (2,5 puntos) Consideremos la siguiente matriz con coecentes complejos: A = ( 2 ) i i 2 a) Demostrar que A es Hermitiana y denida positiva. b) Hallar una matriz unitaria U tal que U AU sea diagonal. c) Hallar una matriz B tal que A = B B.

4 Álgebra Lineal y Geometría I Prueba 3, grupo D 2 de Marzo de 208 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Ejercicio (4 pt.) En el espacio euclídeo R 4, dotado del producto escalar estándar, se considera la aplicación f : R 4 R 4 tal que f(x) y = x f(y).. Pruebe que la matriz de f respecto de una base ortonormal es antisimétrica. 2. Pruebe que ker(f) = (im(f)). Deduzca que R 4 = im(f) ker(f). 3. Demuestre que los autovalores de f 2 son números reales negativos o nulos. 4. Dados los vectores u, v R 4, pruebe que Ejercicio 2 (3 pt.) Se considera la matriz u f 2 (v) = f 2 (u) v A = 2 cuyos autovalores son λ = y λ 2 =.. Pruebe que A es unitaria. 2. Calcule una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D de forma que Q t AQ = D. 3. Sea u R 4 cuyas coordenadas respecto de la base canónica C son u C = (0,, 2, ) t. Calcule proy V (λ )(u), proyección ortogonal de u sobre el espacio de autovectores V (λ ). Ejercicio 3 (3 pt.) Sean los subespacios vectoriales de R 4, espacio euclídeo dotado del producto escalar estándar: } x W : + x 2 + x 4 = 0 W x 2 x 4 = 0 2 =< (, 0,, 0) t, (,, 0, ) t >. Calcule una base de W y otra de W Compruebe que (W W 2 ) = W + W Demuestre que, en general, dados subespacios vectoriales F y G de un espacio vectorial V de dimensión finita dotado de producto escalar se tiene que (F + G) = F G.

5 Álgebra Lineal y Geometría I Prueba 3, grupo E 4 de marzo de 208 Apellidos: D.N.I.: Nombre: Ejercicio. (4) Consideremos la matriz simétrica real A = 2 5 4, cuyos autovalores son λ = 0, λ 2 = 9.. Pruebe que A es una matriz simétrica semidefinida positiva, pero no es ortogonal. 2. Calcule una matriz Q ortogonal y una matriz diagonal D tales que Q t AQ = D. 3. Sea W = null(a 9I) R 3 y consideremos la aplicación A : W W R dada por u v A = u t Av. Pruebe que es un producto escalar en W. 4. Construya un subespacio vectorial W tal que R 3 = W W y dim(w W ) = 0. Ejercicio 2. (3) En R 4, con el producto escalar estándar, consideramos el subespacio W = w, w 2, donde 2 w =, w 2 =.. Calcule una base de W. 2. Construya una matriz ortogonal Q cuyas dos primeras columnas formen una base de W. 3. A partir de la igualdad null(a) = Col(A t ), encuentre una matriz A 4 4 tal que null(a) = W. Ejercicio 3. (2) Sea V = R 2 y f : V V una isometría cuyo determinante es igual a.. Pruebe que los autovalores de f son y y que ambos son simples. 2. Sean W = ker(f id V ), W 2 = ker(f + id V ). Pruebe que W = W 2 y que V = W W Demuestre que f 2 = id V. 4. Sea h : V V una isometría de determinante igual a. Pruebe que existen f, f 2 : V V isometrías de determinante tales que h = f f 2. Ejercicio 4. () Sea A n n una matriz compleja hermitiana definida positiva. Demuestre que existe una matriz B compleja hermitiana definida positiva tal que B 2 = A.