a) (0,5 puntos) Calcula la matriz escalonada reducida de A. Cuál es el rango de A?

Transcripción

1 Asignatura: ÁLGEBRA LINEAL Fecha del examen: de Enero de 6 Fecha publicación notas: 9 de Enero de 6 Fecha revisión examen: de Enero de 6 Duración del examen: horas y minutos APELLIDOS: NOMBRE: Titulación:. Sea A = a) (,5 puntos) Calcula la matriz escalonada reducida de A. Cuál es el rango de A? Solución: Como la matriz escalonada reducida de A es 9. El número de posiciones pivote de A es y 6 por tanto el rango de A es. b) (,5 puntos) Calcula la forma vectorial paramétrica de Nul A (espacio nulo de A), su dimensión y una base. Solución: Nul A es el espacio de soluciones del sistema Ax =, cuya matriz ampliada es 9 6 Así Nul A esta formado por los vectores (x, x, x, x 4 ) IR 4 que verifican x = x = 9x 4 x = 6x 4 x 4 = x 4

2 y que se pueden expresar en forma parámetrica como x x 9 = λ, λ IR x 6 El espacio Nul A tiene dimensión. Una base de Nul A es {(, 9, 6, )}. x 4 c) (, puntos) Calcula la dimensión y una base de Col A (espacio generado por los vectores columna de A) Solución: La dimensión de Col A es igual al rango de A que es. Entonces Col A = IR y así cualquier base de IR es base de Col A = IR, por ejemplo la formada por los vectores,,. (,8 puntos) Sabiendo que T : IR IR es lineal y verifica T (,, ) = (, ), T (,, ) = (, ) y T (,, ) = (, ) determina el conjunto de vectores que la aplicación T transforma en (, ), es decir el conjunto de vectores (x, y, z) IR tales que T (x, y, z) = (, ). Solución: La matriz de la transformación T es. Entonces, el el conjunto de vectores pedido es el conjunto solución del sistema x y = z Como el sistema es equivalente a x = z, y = + z, z = z y sus soluciones se pueden escribir como x y = + λ, λ IR z

3 APELLIDOS Y NOMBRE:. ( puntos:, puntos por cada respuesta correcta y, por cada respuesta errónea) Sean A una matriz de rango 8, T : R R la transformación definida por T (x) = A x, a IR y b = T (a). Rellena los siguientes recuadros con S (Siempre), N (Nunca), o con X (podría ocurrir o no, dependiendo de cuales sean la matriz A y el vector a). T es suprayectiva T es inyectiva El espacio nulo de T tiene dimensión Existen infinitos vectores x tales que T (x) = b Existe un único vector x tal que T (x) = a Existen infinitos vectores x tales que T (x) = a El vector a pertenece a la imagen de T Si T (c) = entonces T (a + 5c) = b Las columnas de A son un sistema de generadores de IR λ = es un valor propio de A N N S S N X X S N S

4 4. Sean B = {(, ), (, )} y B = {(, ), (, )}. a) ( punto) Obtener las matrices de cambio de base P B B y P B B. Solución: Existen diversas maneras de calcular P B B. Como = + ( ) { se verifica } y como Por tanto = + ( ) P B B = se verifica { } Otra forma distinta sería utilizar que P E B = y P E B = B = B = donde E denota a la base canónica de IR. Entonces P B E = P E B = y P B B = P B EP E B = = La matriz de cambio de base P B B P B B, o bien P B B se podría calcular de la misma forma que se ha calculado = P B B = b) (,5 puntos) Si las coordenadas del vector v respecto a la base B son (, ), Cúales son sus coordenadas respecto a la base canónica? y respecto a B? Solución: Como las coordenadas de v respecto a la base B son (, ), se tiene v = (, ) + (, ) = (, ) y entonces sus coordenadas en la base canónica son [ v ] E = Las coordenadas de v respecto a la base B son [ v ]B = P B B [ v ] B = = También podría observarse directamente que [ ] v B = [ (, ) ] B =

5 APELLIDOS Y NOMBRE: 5. (,5 puntos) Diagonaliza ortogonalmente 5 4 A = 4 5 sabiendo que el polinomio característico de A es det(a Iλ) = (λ )(λ ) Solución: El espacio propio asociado al valor propio λ = es el espacio nulo de la matriz A I, es decir es el espacio formado por los vectores (x, y, z) verificando 5 4 x 4 5 y = 8 z Se tiene Entonces el espacio propio asociado al valor propio λ = esta formado por los vectores verificando x = z, y = z. {(,, )} es una base de este espacio, y { } (,, ) es una base ortonormal. El espacio propio asociado al valor propio λ = es el espacio nulo de la matriz A I, es decir es el espacio formado por los vectores (x, y, z) verificando 4 4 x 4 4 y = z o equivalentemente por los vectores verificando x + y + z =. Una base de este espacio está formada por v = (,, ) y por v = (,, ). Para obtener una base ortogonal aplicamos el proceso de Gram-Schmidt / u = v =, u = v v u u u = = /

6 Una base ortogonal del espacio es {(,, ), (,, 4)} y entonces una base ortonormal es { } (,, ), (,, 4) Una diagonalización ortogonal de A es pues A = ( punto) Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y + 4y = x Solución: El polinomio característico es k + 4 cuyas raíces son ±j. Entonces, la solución general de la ecuación homogénea asociada es C cos(x) + C sen (x). Como no es raíz del polinomio característico buscamos una solución particular del tipo y P = ax + b. Se tiene y P = a, y P = y P + 4y P = 4(ax + b) Se verifica y P + 4y P = 4(ax + b) = x cuando a = y b =. Entonces una solución particular es y P = x y la solución general es y = x + C cos(x) + C sen (x)

7 APELLIDOS Y NOMBRE: 7. Sea A la matriz A = Denotamos a las columnas de A por a, a y a, es decir A = [a a a ]. a) (, puntos) Es {a, a, a } base de IR? (Justifica la respuesta) Solución: Sí, ya que Det A = y entonces A es no singular lo que implica que sus columnas forman una base de IR. b) (,8 puntos) Encuentra una base ortogonal {u, u, u } tal que Gen{u, u } = Gen{a, a } Solución: podemos obtener la base ortogonal pedida aplicando el proceso de Gram-Schmidt: u = a = Como Como a a u u u = a a u u u a u u u = / = tomamos u = / / 6 = / tomamos u = / c) (,5 puntos) Halla la proyección ortogonal de a sobre el espacio generado por {a, a } Solución: {u, u } es una base ortogonal del espacio generado por {a, a }. Entonces la proyección pedida es Proy Gen{u,u } a = a u u u a u u u = / + 6 = / /

8 d) (, puntos) Es {(,, ), (,, ), (,, )} base ortogonal de IR? (Justifica la respuesta) Solución: Sí, ya que (,, ) (,, ) =, (,, ) (,, ) =, (,, ) (,, ) = e) ( punto) Sabiendo que (,, ), (,, ) y (,, ) son vectores propios de A, diagonaliza A ortogonalmente Solución: Como = =, = y = = una diagonalización ortogonal es = f) (, puntos) Sin calcular previamente la matriz A, calcula los valores propios de A Solución: En el apartado anterior hemos obtenido que para una matriz ortogonal P se tiene que A = P DP donde Entonces D = A = P DP P DP = P D P = P P ( ) Por tanto los valores propios de A son 4 y (el es raíz doble del polinomio característico).