TEMA V. Espacios vectoriales

Transcripción

1 TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3, +,, R. c El conjunto de las matrices (A, +,, R, donde ( 0 α β 0 y α, β R d El conjunto (M m n, +,, R. e El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n (P n (x, +,, R. f El conjunto de las funciones ({f : R R}, +,, R. 2. Demostrar que: a El conjunto de las matrices (A, +,, R, donde ( a 0 0 b y a, b R, es un subespacio vectorial del espacio (M 2 2, +,, R. b El conjunto H = {(x, y : y = mx} es un subespacio vectorial del espacio (R 2, +,, R. e El conjunto {(a, 0 : a R} es un subespacio vectorial de (R 2, +,, R. f El conjunto de las funciones reales continuas es un subespacio vectorial de ({f : R R}, +,, R 3. Dada la matriz se pide: (

2 2 Ejercicios a Hallar el conjunto L de las matrices que conmutan con A. b Comprobar que dicho conjunto L es un subespacio vectorial de M 2 2 (R. c Calcular una base de dicho subespacio. Cual es la dimensión de L? 4. Contestar razonadamente a las siguientes afirmaciones: a Si el sistema de vectores {v 1, v 2 } es libre, entonces el sistema formado por los vectores {v 1 v 2, v 2 + v 2 } es libre. b El vector (1, 2, 3 es combinación lineal de los vectores (1, 1, 1, ( 1, 0, 1. c Si v 1, v 2 y v 3 son vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial V : i Se puede asegurar que v 1 depende linealmente de v 2 y de v 3. ii Uno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. ii El sistema formado por los vectores {v 1, v 2 } es libre. 5. Que valores reales del parámetro c hacen que los vectores (1 c, 1+c y (1+c, 1 c sean linealmente independientes? 6. Demostrar si son, o no, linealmente independientes los siguientes vectores {1 x, 1+ x, x 2 } del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos. 7. Sea E un espacio vectorial. Sabiendo que los vectores x 1, x 2,, x n son linealmente independientes, demostrar que también son linealmente independientes los vectores: y 1 = x 1 + x x n y 2 = x x n y n = x n 8. Comprobar si cada una de las familias de vectores siguientes son, o no, base del espacio vectorial dado: a En P 2 (x: {1 x 2, x}. b En P 3 (x: {1, 1 + x, 1 + x 2, x 3 + x}.

3 Álgebra CSCCAA 3 e En M 2 2 : ( 1 0 A 0 1 ( ( ( Si V 1 es el subespacio generado por el vector (1, 1, 1 y V 2 = {(x, y, z / x y = 0} R 3, entonces V 1 V 2 = V 1? 10. En el espacio vectorial R 4 (R consideramos los subespacios V 1 = L{(1, 2, 0, 1}, V 2 = {(x, y, z, t / x y + z + t = 0, y z = 0} V 3 = {(x, y, z, t / x = α, y = α + β, z = r, t = β}: a Calcular una base de cada uno de estos subespacios. b Ver a que subespacios pertenece el vector v = (2, 4, 0, Sea el espacio vectorial R 3 (R y S(R el subespacio vectorial generado por los vectores L{(1, 1, a, (1, a, 1, (a, 1, 1}. Calcular la dimensión del subespacio S(R. 12. En el espacio vectorial R 3 (R y S(R se consideran los subespacios vectoriales W 1 = {(x, y, z / x + y + z = 0} y W 2 = {(t, 2t, 3t / t R}. Demostrar que R 3 es suma directa de de W 1 y W Demostrar que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que tres P 3 (x = {ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d R} es un subespacio vectorial del los polinomios de grado n, P n (x y demostrar que los vectores v 1 = λ, v 2 = x, v 3 = x 2, v 4 = x 3 son una base de dicho subespacio. 14. Sea el espacio vectorial (R 3, +,, R y el conjunto H = {(x, y, z : x + y + z = 0}. Se pide: a Demostrar que H es un subespacio de R 3. b Hallar una base de H. c Calcular la dimensión de H.

4 4 Ejercicios 15. En el espacio vectorial R 3 (R se consideran las bases B 1 = {(1, 0, 1, (0, 1, 1, (0, 0, 2} B 2 = {(1, 1, 2, (1, 0, 1, (0, 1, 2} a Obtener la ecuación de cambio de base. b Hallar las coordenadas en la base B 1 del vector u que en la base B 2 tiene de coordenadas (1, 1, En el espacio vectorial R 3 (R se consideran las bases B 1 = {(2, 0, 0, (0, 2, 0, (0, 0, 2} B 2 = {(1, 1, 0, (0, 1, 1, (a, b, c} Determinar el vector (a, b, c sabiendo que el vector u(2, 2, 2 tiene las mismas coordenadas en ambas bases. 17. Sean B 1 y B 2 dos base en el espacio vectorial R 2 (R, y sean u 1 y u 2 dos vectores de dicho espacio. En la base B 1 tienen de coordenadas u 1 = (2, 1 y u 2 = (0, 3 En la base B 2 tienen de coordenadas u 1 = (0, 1 y u 2 = ( 1, 1. Hallar las coordenadas de los vectores de B 2, expresados en B Dados los subespacios V 1 y V 2, generados por los vectores {(1, 2, 1, 0, ( 1, 1, 1, 1} y {(2, 1, 0, 1, (1, 1, 3, 7}, respectivamente, se pide: a Calcular el espacio intersección de dichos. subespacios. b Calcular el espacio suma de dichos espacios. c Determinar una base para cada uno de los suespacios obtenidos en los apartado a y b anterior. 19. Demuestre que R 3 = L 1 L 2, siendo subespacios vectoriales de R 3 (R. L 1 = {(x, 0, z, x, z R} L 2 = {(x, x, x, X R} 20. En el espacio vectorial R 3 (R hallar una base que contenga al vector (1, 1, 1.

5 Álgebra CSCCAA En el espacio R 3 (R se consideran las bases B 1 = {(1, 0, 1, (0, 1, 1, (0, 0, 2}, B 2 = {(1, 1, 2, (1, 0, 1, (0, 1, 2} a Obtener la ecuación de cambio de base. b Hallar las coordenadas del vector u respecto a la base B 1 que en la base B 2 tiene de coordenadas (1, 1, 1/ En el espacio vectorial P 2 (x(r se consideran las bases B 1 = {1, x, x 2 }, B 2 = {1 + x, 1 + x 2, 1 + x + x 2 } Obtener la matriz de cambio de una base a otra. 23. Sea el espacio vectorial P 3 (x(r. 1 Calcular el rango de la familia de vectores B 1 = {1 x, x 2 + x 3, 1 + x 2, x + x 3 } 2 Ver si B 1 es una base de dicho espacio. 3 Si B 1 es una base de dicho espacio expresar, mediante un cambio de base, las coordenadas del polinomio p(x = 3 + 3x 2 4x 3 en dicha base.