PAIEP. Complemento Ortogonal

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1 Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios vectoriales, para concluir con un resultado que nos dice que dado un subespacio vectorial W de V, existe un subespacio ortogonal U de manera que V es suma directa de los subespacios W y U. Como ejemplo consideremos a V R. Sabemos que R {x, y) R : y 0} {x, y) R : x 0} esto es pues x, y) x, 0) + 0, y), además la intersección de ambos subespacios que son los ejes X e Y del plano cartesiano) es el vector nulo y que todo vector del eje Y es ortogonal a todo vector del eje X. La idea es buscar espacios vectoriales que tengan descomposición en suma directa de un subespacio y otro formado con vectores ortogonales a él, es decir, buscamos espacios que sean parecidos al del ejemplo. Definición: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sean S y T subespacios vectoriales tales que V S + T y S T {0}, en este caso diremos que V es suma directa de S y T y la escribiremos como V S T. Observación: Recuerde que S + T es el subespacio vectorial consistente de todos los elementos de la forma s + t tales que s S y t T. Definición: Sea V un espacio vectorial sobre K con producto interno. Sea W V. Definimos el conjunto W : {w V :< v, w > 0 v W }, el cual llamaremos complemento ortogonal de W. Ejemplos 1) Sea V R 3 con el producto interno usual. Sea W {1, 1, 1)}, entonces W {x, y, z) R 3 :< x, y, z), 1, 1, 1) > 0} {x, y, z) R 3 : x + y + z 0}; despejando x y z {x, y, x y) : x, y R} {x1, 0, 1) + y0, 1, 1) : x, y R} W < {1, 0, 1), 0, 1, 1)} > el área de Matemática PAIEP-Revisado 09/08 1

2 ) Sea V C[0, 1]) el espacio de funciones continuas definidas en el intervalo [0, 1] con el producto interno usual. Sea W {1}, donde 1x) 1 para todo x [0, 1]), entonces W {f C[0, 1]) :< f, 1 > 0} {f C[0, 1]) : 1 0 ft)dt 0} Las siguientes proposiciones no son complejas de demostrar, por lo que quedan de ejercicio. Proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K, sea W un subespacio vectorial de V. i) W es un subespacio vectorial de V. ii) Sea B {v 1, v..., v n } unase de W. Entonces v W si y sólo si v v i, i 1,,..., r Ejemplo: Sea V R 3 con el producto interno usual. Sea W {x, y, z) R 3 : x + y + z 0} el cual es subespacio de V. Sea B {1, 0, 1), 0, 1, 1)} unase para W, entonces W < {1, 1, 1)} >. Proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K, sea W un subespacio vectorial de V de dimensión finita. Entonces V W W. Esto es, V W + W y W W {0}. Además si dimv ) <, entonces dimv ) dimw ) + dimw ). Ejercicios Resueltos 1. Sea V M R) el espacio vectorial real de matrices de dos por dos con entradas reales. Pruebe que { ) } W 1 V : a + d 0 y { ) } W V : a b c 0 son dos subespacios de V. Demuestre también que V W 1 W Solución: Se deja para el lector demostrar que W 1 y W son subespacios vectoriales de V. Ahora veamos que V es la suma de tales subespacios. Es evidente que W 1 + W V. ) Ahora, sea A V, note que a c ) b a d c ) b + a 0 a + d donde el primer sumando está en W 1 y el segundo en W. Luego V W 1 + W, falta ver que la intersección de tales subespacios es la matriz nula. En efecto, ) el área de Matemática PAIEP-Revisado 09/08

3 A a c b d ) W 1 W a + d 0 a b c 0 a b c d 0 ) A.. Sea U el subespacio de R 4 generado por los vectores 1, 0,, 1), 4, 3, 0, 1), 0, 3, 8, 5). Encuentre unase ortonormal para U y U Solución: Sean v 1 1, 0,, 1), v 4, 3, 0, 1) y v 3 0, 3, 8, 5), note que esos vectores son linealmente dependientes ya que v 3 4v 1 v. Luego U < {v 1, v } > y más aún estos dos vectores son linealmente indepenientes y forman unase para U. Note que estos vectores no son ortogonales entre si, pues < v 1, v > 3. Sea u 1 v 1, usando el Proceso de Gram-Schmidt podemos encontrar u ortogonal a u 1. En efecto, tenemos u v < v, u 1 > < u 1, u 1 > u 1 4, 3, 0, 1) 1 1, 0,, 1) ) 7, 3, 1, 3 Así, U < {1, 0,, 1), 7, 6,, 3)} > y ahora normalizando estos vectores obtenemos unase ) ortonormal para U dada por los vectores u 1 6, 0, 3, y u 6, 3 7, 7, 3 ). 14 Ahora necesitamos unase para U, sabemos que la dimensión de este subespacio es dos pues dimu) y dimr 4 ) 4). Luego, x, y, z, t) U < x, y, z, t), 1, 0,, 1) >< x, y, z, t), 7, 6,, 3) > 0 x z + t 0 7x + 6y + z 3t 0 x, y, z, t) z, 83 ), 1, 0 + t 1, 53 ), 0, 1 Luego U < {6, 8, 3, 0), 3, 5, 0, 3)} >, y estos vectores son l.i, pero no ortogonales. Nuevamente usando el proceso de Gram-Schmidt se tiene w 1 6, 8, 3, 0) w 3, 5, 0, 3) , 8, 3, 0) , , 174 ) 109, 3 el área de Matemática PAIEP-Revisado 09/08 3

4 Así, U < {6, 8, 3, 0), 7, 7, 49, 109)} > y ahora normalizando estos vectores obtenemos unase 6 ortonormal para U dada por los vectores w 1, 8 ) 3,, 0 y w ,,, ) el área de Matemática PAIEP-Revisado 09/08 4

5 Ejercicios Propuestos 1. Sea U el subespacio de C 3 con el producto interno estándar generado por los vectores 1, i, 0), 1,, 1 i). Encuentre unase ortonormal para U y extiendala a unase ortonormal para V.. Sea W {x, y, z, t) R 4 : x + y + 3z t 0 x z + t 0}. Hallar unase para W y W. 3. Sea V espacio vectorial de dimensión finita con producto interno. Sean A y B subconjuntos de V. Probar que: i) A B B A. ii) A A ). 4. Sea V espacio vectorial de dimensión finita con producto interno. Sean S y W subespacios de V. Probar que: i) S S ). ii) S + W ) S W. iii) S W ) S + W. 5. Consideremos C 3 con el producto interno estándar, sea S el subespacio generado por i, 0, 1). Hallar unase para S. 6. Consideremos R 3 con el producto interno definido por: < x, y > x 1 y 1 + x y + x 3 y 3, donde x x 1, x, x 3 ) e y y 1, y, y 3 ). Sea S el subespacio generado por 1, 1, 1). Cual de los siguientes conjuntos forma unase ortogonal de S? a) {3, 4, 1), 1, 1, )} b) {1, 0, 1), 1, 0, 1)} c) {0, 1, 1), 1, 1, 1)} d) {, 1, 1), 0, 1, 1)} e) { 1, 0, ),, 5, 1)} 7. Sea V M R) con el producto interno < A, B > trb t A) i) Hallar unase ortonormal de V. ii) Sea D el subespacio de las matrices diagonales. Hallar D. iii) Sea S el subespacio de las matrices simétricas. Hallar S. Si encuentras algún error en el documento, envíanos un mensaje para corregirlo. el área de Matemática PAIEP-Revisado 09/08 5