1. Relación de ejercicios: Espacio Euclídeo

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1 1. Relación de ejercicios: Espacio Euclídeo Ejercicio 1.1 Dado un tensor métrico g sobre V (R) y un subespacio vectorial U < V se define la restricción de g a U como la aplicación restringida g U U U U R, (v, w) g(u, v), que se denotará simplemente como g U. Demostrar: (1) g U es un tensor métrico sobre U. (2) Si g es euclídeo entonces g U es euclídeo. Es cierta la propiedad análoga para el caso de que g sea sólo no degenerado? Ejercicio 1.2 Demostrar que las siguientes aplicaciones definen distancias sobre R 2 : (a) Distancia usual: d 0 ((x, y), (x, y )) = (x x ) 2 + (y y ) 2. (b) Distancia según las direcciones de los ejes: d e ((x, y), (x, y )) = x x + y y. (c) Distancia de la Renfe: d R ((x, y), (x, y )) = d 0 ((x, y), (x, y )) si hay una recta que pase por el origen (0, 0) y por ambos puntos (x, y), (x, y ); y d R ((x, y), (x, y )) = d 0 ((x, y), (0, 0)) + d 0 ((0, 0), (x, y )) en caso contrario. Ejercicio 1.3 (a) Compruébese que d es invariante por traslaciones, esto es: d (u + v, u + w) = d (v, w) u, v, w V. (b) Cuáles de las distancias del ejercicio anterior provienen de una norma? Ejercicio 1.4 En un espacio vectorial euclídeo (V, g) se toman v, w V con w 0. (i) Compruébese que el polinomio p(λ) = λ 2 g(w, w) 2λg(v, w) + g(v, v) tiene un mínimo en λ 0 = g(v, w)/g(w, w). ( Puedes interpretar el valor obtenido de λ 0?) (ii) Demuéstrese la desigualdad de Cauchy-Schwarz de g(v λ 0 w, v λ 0 w) 0 (con igualdad si y sólo si v = λ 0 w). Ejercicio 1.5 Compruébese que g verifica la igualdad del paralelogramo: v + w 2 g + v w 2 g= 2 ( v 2 g + w 2 g). 1

2 Ejercicio 1.6 (1) Escribir las desigualdad de Cauchy-Schwarz y triangular para los ejemplos de espacios vectoriales euclídeos generales (R n, matrices, polinomios) que se conozcan. (2) Demostrar que, para cualesquiera a 1,..., a n R se tiene ( n ) 2 a i n i=1 n a 2 i. Cuándo se verifica la igualdad? ( ) 1 1 Ejercicio 1.7 Calcular el ángulo entre las matrices y 0 0 según el producto escalar euclídeo g(a, C) = traza (A t C). Discutir las posibilidades para definir su ángulo orientado. i=1 ( Ejercicio 1.8 Demostrar que en un espacio vectorial euclídeo (V, g) dos vectores v, w son ortogonales si y sólo si v + w 2 = v 2 + w 2. Dar una interpretación geométrica de este resultado. ) 2

3 2. Relación de ejercicios: Espacio Euclídeo Salvo especificación contraria, en los ejercicios se parte de un espacio vecorial V (R) con un tensor métrico no degenerado g. Ejercicio 2.1 Sea C un subconjunto de V. (a) Demostrar que C es un subespacio vectorial, para todo C V. (b) Demostrar {0} = V y V = {0}. Puede ocurrir v {v} para algún v 0? Ejercicio 2.2 (a) Demuéstrese que U < V es no degenerado si y sólo si U es no degenerado. (b) Dado un subespacio U no degenerado se definen los proyectores ortogonales p U, p U : V V mediante p U (v) = u, p U (v) = w donde v = u + w, con u U, w U (obsérvese que se sabe por la parte teórica que u, w están determinados de manera única). Demostrar que p U y p U son endomorfismos y verifican: (i) p U p U = p U, y p U p U = p U (ii) p U + p U = Id V. (iii) p U y p U son diagonalizables y sus subespacios propios son para ambos proyectores U y U (excepto en el caso trivial en el que U ó U sean {0}). Cuáles son sus autovalores? Ejercicio 2.3 Se considera en R 2 la forma cuadrática F : R 2 R, (x, y) y 2 + 2xy. Demostrar que su tensor métrico asociado es no degenerado. Calcular su índice y hallar una base ortonormal suya. Ejercicio 2.4 En un espacio vectorial euclídeo y para una base ortonormal B = (e 1,..., e n ) se sabe: (a) v = i g(v, e i)e i, (b) g(v, w) = i g(v, e i)g(v, e i ) y (c) v = i g(v, e i) 2. Escribir expresiones similares: (i) cuando g es un tensor métrico no degenerado cualquiera. (ii) cuando B no es una base ortonormal 3

4 Ejercicio 2.5 Sea (V, g) un espacio vectorial euclídeo, U < V un subespacio y B U = (e 1,..., e m ) una base ortonormal de U. Demostrar que los proyectores p U y p U definidos en el ejercicio 2.2 verifican: m m p U (v) = g(v, e i )e i p U (v) = v g(v, e i )e i i=1 Ejercicio 2.6 En R 3 dotado de su producto escalar usual, hallar una base ortonormal del subespacio U = L{(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1)}. Ejercicio 2.7 En el espacio vectorial P 3 (R) de los polinomios de grado 3 se considera el tensor métrico g(p, q) = 1 0 p(x).q(x)dx y el subespacio U = L{1 x, x x 2 }. (a) Justificar que g es una métrica euclídea. (b) Hallar una base ortonormal de U y ampliarla a una base ortonormal de P 3 (R). (c) Hallar la proyección ortogonal del polinomio 1 + x + x 2 + x 3 sobre U y sobre U. Ejercicio 2.8 Discutir qué sucedería si se intenta aplicar el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt reemplazando para un tensor métrico no degenerado arbitrario. (Sugerencia: analícese primero el caso en que los subespacios L{v 1,..., v j } son no degenerados para todo j = 1,..., n 1.) Ejercicio 2.9 (1) Compruébese que Rad g es un subespacio vectorial de V (2) Demuéstrese que la dimensión de Rad g coincide con dim V - rango M B (g) para cualquier base B. (3) Demuéstrese (U ) = U+ Rad g para cualquier subespacio U V. Ejercicio 2.10 Demuéstrese que en el espacio cociente V/Rad g se induce un tensor métrico no degenerado ĝ mediante: i=1 ĝ([u], [w]) = g(u, v) [u], [w] V/Rad g, donde [v] = v+ Rad g denota la clase de equivalencia de cada v V. Compruébese además que el índice de ĝ coincide con el de g U en la proposición anterior. 4

5 3. Relación de ejercicios: Espacio Euclídeo Ejercicio 3.1 Sea A una matriz simétrica 2 2. Demuéstrese: (a) A es no degenerada si y sólo si deta 0. En este caso: (a1) A indefinida si y sólo si deta < 0. (a2) A definida positiva o negativa si y sólo si deta > 0. En este caso es definida positiva (resp. negativa) si y sólo si uno de sus elementos diagonales es positivo (resp. negativo). (b) A es degenerada si y sólo si deta = 0. En este caso A es semidefinida positiva o negativa, y es semidefinida positiva (resp. negativa) si alguno de sus elementos diagonales es mayor que 0 (resp. menor que 0). Ejercicio 3.2 Demostrar que una matriz simétrica A es: (a) definida positiva si y sólo si existe una matriz regular P tal que A = P t P. (b) semidefinida positiva si y sólo si existe una cuadrada P tal que A = P t P. Ejercicio 3.3 Sea (V, g) un espacio vectorial euclídeo y B = (e 1,..., e n ) una base ortonormal. Demostrar: (a) La base dual B = (φ 1,..., φ n ) verifica φ j = e j para todo j {1,..., n}. (b) Si v = i ai e i entonces su bemol v = i a iφ i verifica a i = a i. Generalizar para el caso de que g sea un tensor métrico no degenerado. Ejercicio 3.4 Se considera en R 2 (R) el tensor métrico no degenerado g con ( ) 2 1 M B0 (g) = 1 1 Calcular la base (B 0 ) de (R 2 ) y la base (B 0) de R 2. Es g euclídea? Ejercicio 3.5 Demostrar que la aplicación tiene sentido incluso cuando g es un tensor métrico degenerado. Tiene sentido entonces la aplicación? Ejercicio 3.6 Si v, w V y φ, ψ V demostrar v (w) = w (v) y ψ(φ ) = φ(ψ ). 5

6 Ejercicio 3.7 (Propiedades tipo gradiente del sostenido). Sea (V, g) un espacio vectorial euclídeo y sea φ V. (1) Demostrar que φ es el único vector que verifica: (i) φ es ortogonal al núcleo de φ. (ii) φ 2 = φ(φ ). (2) Demostrar que φ apunta en la dirección de crecimiento de φ (esto es, φ(φ ) 0, con igualdad si y sólo si φ = 0) y esta dirección es de crecimiento máximo (esto es, si v V verifica v = φ entonces φ(φ ) φ(v) y la igualdad se da si y sólo si v = φ ). (3) Discutir si las propiedades anteriores se verifican cuando g es un tensor métrico no euclídeo. Ejercicio 3.8 (Isomorfisnmos métricos inducidos entre espacios de tensores con igual suma r + s.) Dado (V, g) no degenerado para cada tensor 2- covariante T se define T : V V R, (φ, ψ) T (φ, ψ) := T (φ, ψ ) Demostrar: (i) T es un tensor 2-contravariante. Además, si T = φ ψ entonces T = φ ψ (iii) La aplicación T T es un isomorfismo entre los espacios de tensores. (iiii) Dada una base B, calcular la relación entre M B (T ) y M B ( T ). En particular, demostrar que si g es euclídeo y B ortonormal entonces M B (T ) = M B ( T ). (iv) Generalizar a otros espacios de tensores. 6

7 4. Relación de ejercicios: Espacio Euclídeo Ejercicio 4.1 Sea f el endomorfismo de R 2 (R) dado por f(a, b) = (2a+b, a b). Se consideran sobre R 2 el producto escalar usual g 0 y el tensor métrico g definido por su forma cuadrática F g (a, b) = 2a 2 + 2ab + b 2. Calcular los endomorfismos adjuntos de f para g y g 0. Ejercicio 4.2 Si g es un producto escalar lorentziano y f un endomorfismo autoadjunto, qué propiedad debe verificar M(f, B ort )? Ejercicio 4.3 (1) Demostrar que si f es un endomorfismo que admite una base ortonormal de vectores propios para un tensor métrico no degenerado g entonces es autoadjunto para g. (2) Demostrar que si f es un endomorfismo diagonalizable entonces existe una métrica euclidea g para la que es autoadjunto. Ejercicio 4.4 Se consideran la métrica g y el endomorfismo f de R 3 definidos por: M B (g) = f(a, b, c) = (2a, 2b, 3a 3b c) para todo (a, b, c) R 3. Comprobar que g es euclídea. Es f autoadjunto para g? Lo es para el producto escalar usual g 0? Encontrar, en el caso de que existan, bases ortonormales para g y g 0 formadas por vectores propios de f. Ejercicio 4.5 Demostrar: (1) Una matriz P verifica P t.p = I n esto es, P t = P 1. (1) si y sólo si sus columnas, vistas como elementos de (R n, g 0 ), forman una base ortonormal. (2) Si una matriz cuadrada real verifica (1) entonces es regular. (3) Las matrices que verifican (1) forman un subgrupo del grupo lineal general Gl(n, R). 7

8 5. Relación de Ejercicios: Espacio Euclídeo Ejercicio 5.1 Sea (V, g) un espacio vectorial euclídeo y f End(V). Se define el tensor 2-covariante: g f (v, w) = g(v, f(w)) v, w V. Demostrar que g f es simétrico si y sólo si f es autoadjunto. En este caso, comprobar: (i) Toda base (g-)ortonormal de autovectores de f es también ortogonal para g f. (ii) El endomorfismo asociado a g f por el Teorema?? coincide con f (esto es, f = f gf ). (iii) La aplicación f g f que asocia a cada endomorfismo atuoadjunto el tensor métrico g f es un isomorfismo de espacios vectoriales. Ejercicio 5.2 Se considera en R 2, además de su producto escalar usual g 0, la métrica euclídea g y el tensor métrico ḡ definidos por sus matrices en la base usual B 0 ( ) ( ) M B0 (g) = M 1 1 B0 (ḡ) = 1 1 Hallar bases ortonormales para g 0 y g tales que la matriz de ḡ en ellas sea diagonal. A partir de ellas, calcular bases de Sylvester de ḡ. Ejercicio 5.3 Sobre la definición de isometría (vectorial): (a) Demostrar que no es necesario imponer la inyectividad de una isometría porque se puede deducir de que preserva las métricas. (b) Demostrar que es equivalente la condición de preservar las métricas g 1, g 2 que la de preservar las correspondientes formas cuadráticas F 1, F 2, esto es, la condición (2) se puede reemplazar por F 1 (v) = F 2 (f(v)) para todo v V 1. Ejercicio 5.4 (a) Demostrar que la composición de dos isometrías es una isometría. (b) Demostrar que la inversa de una isometría es una isometría. (c) Demostrar que para toda isometría f de un espacio vectorial V dotado de un tensor métrico no degenerado g se tiene det f = ±1. 8

9 Ejercicio 5.5 Justificar: (1) Iso(V, g) es un grupo con la composición y, más concretamente, un subgrupo de del grupo de todos los automorfismos del espacio vectorial (isomorfismos vectoriales de V en sí mismo). ( Es Iso(V, g) un grupo para la suma?) (2) Iso + (V, g) = {f Iso(V, g) : det f = 1} es un subgrupo de Iso(V, g) que coincide con Iso(V, g) Aut + (V ), donde Aut + (V ) es el subgrupo formado por los automorfismos vectoriales de V que conservan la orientación (esto es, con determinante positivo). Ejercicio 5.6 Demuéstrese que SO(n, R) = {R O(n, R) :det R = 1} es un subgrupo de O(n, R) y que la aplicación Iso + (V, g) O(n, R), f M(f, B) obtenida por restricción de F B está bien definida y es un isomorfismo de grupos. Ejercicio 5.7 Demostrar, para todo θ, θ R: (i) R(θ) R(θ )( = R(θ + ) θ ); R( θ) = R(θ) (ii) La matriz pertenece a O 0 1 (2, R) y: ( ) ( ) R(θ) = R(θ) R(θ) = R( θ). Ejercicio 5.8 (1) Sean R(θ), R(θ ) O + (2, R). Demostrar que son ortogonalmente semejantes si y sólo si R(θ ) = R( θ). (2) R pertenece a O (2, R) si y sólo si es ortogonalmente semejante a ( ). Ejercicio 5.9 Determinar explícitamente el eje de simetría de cualquier R(θ) O (2, R). Ejercicio 5.10 Se consideran en (R 2, g 0 ) la base usual B 0 = (e 1, e 2 ) y las bases ˆB 0 = (e 2, e 1 ), ˆB1 = (u 1 := (e 1 + e 2 )/ 2, u 2 := (e 1 e 2 )/ 2, ), ˆB1 = ((u 2, u 1 ), así como los endomorfismos f y h determinados por: f(e 1 ) = e 2, f(e 2 ) = e 1, h(e 1 ) = e 2, h(e 2 ) = e 1. Demostrar que f y h son isometrías, determinar de qué tipo son, y calcular las matrices de ambos endomorfismos en B 0, B 1, ˆB 0, ˆB 1. 9

10 Ejercicio 5.11 Sea f una rotación de ángulo orientado θ ( π, π]. Demostrar que para todo vector v 0, necesariamente or (v, f(v)) = θ. Ejercicio 5.12 Sea (V n, g) un espacio vectorial euclídeo. Demostrar: (i) f + f 1 es autoadjunto. (ii) Si v 0 es un vector propio de f + f 1 entonces el subespacio Π = L({v, f(v)}) (que es una recta si v es también un vector propio de f y un plano en caso contrario) es invariante por f por lo que f define, por restricción, una isometría de Π. (iii) Si Π es un plano invariante por f entonces también es invariante por f+f 1 y existen dos vectores propios v 1, v 2 de f+f 1 tales que Π = L{v 1, v 2 }. Ejercicio 5.13 (Téngase en cuenta el ejercico anterior). Sea (V n, g) un espacio vectorial euclídeo de dimensión n 1. Existe una base ortonormal B tal que M(f, B) se escribe: I p I q R(θ 1 ) R(θ s ). donde los valores de p, q, s 0 así como de cos(θ i ) están unívocamente determinados, y cada θ i puede escogerse en (0, π), para todo i = 1,... s. Ejercicio 5.14 Justificar que en R 2 (resp. R 3 ) el valor absoluto del determinante de la matriz formada por dos (resp. tres) vectores coincide con el área (resp. volumen) del paralelogramo (resp. paralelepípedo) generado por esos vectores en Geometría Elemental. 10

11 6. Ejercicios Espacio Euclídeo. Repaso Ejercicio 1. En un espacio vectorial V, se escogen una base B y unos escalares a ij R. Se define la aplicación F : V R, ω(v) = n a ij v i v j, v B = (v 1,..., v n ). i,j=1 Demuestra que F es una forma cuadrática en V. Ejercicio 2. Dado (V, g) un espacio vectorial euclidiano y {u 1,..., u n } V, siendo todos estos vectores distintos de 0. Demostrar que si son ortogonales dos a dos, entonces son linealmente independientes. Ejercicio 3. En R 3, se considera la base usual B 0 y las métricas cuyas matrices asociadas son: (a) (b) (c) Clasifica dichas métricas. Ejercicio 4. En R 4, con respecto al producto escalar usual, calcular una base ortonormal a partir de los vectores v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 0, 0), v 3 = (1, 1, 1, 0) y v 4 = (1, 0, 0, 0). Ejercicio 5. Hallar una base ortonormal del subespacio U = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 4x 2 x 3 + 3x 4 = 0} de R 4. Ejercicio 6. En R 3 con el producto escalar usual, ortonormalizar siguiendo el método de Gram-Schmidt la base, {(1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1)}. Ejercicio 7. En R 4, se consideran la base usual B u, el subespacio W = L{e 1, e 3 } y la métrica euclidiana g cuya matriz es M Bu (g) =

12 1. Calcula una base de (W, g). 2. Dado el vector u = (1, 1, 1, 1), calcula la proyección ortogonal de u en W. Ejercicio 8. Dados dos vectores u y v de un espacio vectorial euclidiano (V, g), demuestra: 1. u + v 2 = u 2 + v 2 g(u, v) = u = v u + v u v. 3. u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2 ). 4. u v u v. Ejercicio 9. Dados números reales a 1,..., a n R, demuestra ( n ) 2 a i n i=1 n a 2 i, y se alcanza la igualdad si, solamente si, a i = a j, para todos i, j {1,..., n}. Ejercicio 10. Dada una matriz simétrica A M n n (R), demuestra (traza(a)) 2 n traza(a 2 ). Ejercicio 11. En R 3 con el producto escalar usual se considera el subespacio U = {(x, y, z) R 3 : 2x + y z = 0, x y + 3z = 0}. Calcular las ecuaciones cartesianas de U. Ejercicio 12. Se considera el subespacio U = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + x 2 + x 3 = 0} de R 4 con el producto escalar usual. Calcular la proyección ortogonal del vector (0, 1, 1, 1) sobre U y sobre el ortogonal de U. Ejercicio 13. En R 3 con el producto escalar usual, se consideran los vectores u = (2, 3, 1), v = ( 1, 1, 1). Calcular las proyecciones ortogonales de u sobre L{v} y sobre L{v}. i=1 12

13 Ejercicio 14. Considera en R 3 las métricas euclidianas representadas, en la base canónica, por las siguientes matrices: (a) 2 2 1, (b) Para cada métrica, 1. Calcula una base ortonormal. 2. Calcula los ángulos que forman entre sí y dos a dos los vectores de la base canónica. Ejercicio 15. En el espacio vectorial real de polinomios de grado 2 dotado del producto escalar euclídeo 1 p(x)q(x)dx, determina la base bemol en el 0 espacio dual de la base B = (1, x, x 2 ). Ejercicio 16. Se considera en R 2 la métrica euclídea g y el tensor métrico ḡ definidos por sus matrices en la base usual B 0 ( ) ( ) M B0 (g) = M 2 1 B0 (ḡ) = 1 1 Hallar una base ortonormal g tal que la matriz de ḡ en ella sea diagonal. Calcular una base de Sylvester de ḡ. Ejercicio 17. Sea f : (V 1, g 1 ) (V 2, g 2 ) una isometría entre espacios vectoriales euclidianos. Demostrar que dados x, y V 1, 1 (x, y) = 2 (f(x), f(y)). Ejercicio 18. Clasificar las siguientes isometrías f : R 2 R 2 con la métrica euclidiana( usual, determinadas ) por sus( matrices en la base ) usual: 1/ 2 1/ 2 (a) 1/ 2 1/ 1/ 2 1/ 2. (b) 2 1/ 2 1/ 2 Ejercicio 19. Clasificar las siguientes isometrías f : R 3 R 3 con la métrica euclidianausual, determinadas por sus matrices en la base usual: 1/ 5 0 2/ 5 (a) 2/ 5 0 1/ (b) (c) 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 (d) 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 13

14 Ejercicio 20. Se considera en R 3 un tensor métrico T de matriz en la base usual: (1) Calcular una base de Sylvester de T. (2) Calcular una base ortonormal B para el producto escalar usual g 0 tal que M B (T ) sea diagonal. Ejercicio 21. Se considera en R 3 la matriz: A = Calcular una matriz P O(3, R) tal que P t AP sea diagonal. Ejercicio 22. Se considera en R 3 una métrica g y un tensor métrico T de matrices en la base usual: M B0 (g) = M B0 (T ) = Calcular una base ortonormal B para g tal que M B (T ) sea diagonal. 14