Objetivos III.1. NORMA VECTORIAL

Transcripción

1 ema III NORMAS VECORIALES Y PRODUCO ESCALAR Objetivos Generalizar conceptos como el de norma de un vector distancia ortogonalidad ángulo entre dos vectores. En este capítulo el cuerpo K de escalares será R. III.. NORMA VECORIAL Definición. Sea E un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales. Se llama norma sobre E a una aplicación : E R + tal que a cada vector de E le asigna un número real no negativo llamado norma de que se denota que verifica los siguientes aiomas: - 0 E = 0 = 0 - λ = λ λ E donde λ representa el valor absoluto de λ E (desigualdad triangular). La tercera condición se llama desigualdad triangular porque es una generalización del hecho de que la longitud de cualquier lado de un triángulo es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Definición. El par (E ) se llama Espacio Vectorial Normado. Página 9

2 Normas vectoriales producto escalar Ejercicio Sea E = {A = a a a a / a ij R }. Se considera la aplicación : : E R / (A) = (a ) Comprobar si es norma. Se muestran a continuación las normas sobre R n más comúnmente usadas en las aplicaciones. Definición. Para vectores = (... n ) de R n se definen las siguientes normas: Norma euclídea: ( ) n n i i= = = Norma del valor absoluto: n = n = i=... i Norma del supremo: = ma {... n } Ejemplo Sea = (-5 -). Entonces = = 0 = ( ) = 8 / / { } = ma -5 - = 5 Se puede demostrar que son normas sin más que comprobar que Página 94

3 Normas vectoriales producto escalar verifican los aiomas anteriormente citados. En el caso de para demostrar que verifica la desigualdad triangular se empleará un importante resultado conocido como la desigualdad de Schwartz que se estudiará en la sección III.. Definición (opcional). Si (E ) es un espacio vectorial normado puede definirse una aplicación d: EE R + ( ) d ( )= que como fácilmente puede comprobarse verifica los aiomas correspondientes que hacen de d una distancia definida sobre E. Se le denomina distancia inducida por la norma. Ejemplo Si E=R n las distancias inducidas por las tres normas vistas son: n ( ) = = ( i i ) ( distancia euclídea ) i= d d ( ) = = n i= i i { } d ( ) = = ma... n n III.. PRODUCO ESCALAR Definición. Sea E un espacio vectorial real. Se llama producto escalar o interior a toda aplicación EE R ( ) que verifique los siguientes aiomas. 0 E = 0 = 0 (Positividad) Página 95

4 Normas vectoriales producto escalar. = E (Simetría). (α+βz) = α + β z z E α β R (Bilinealidad) Al par formado por un espacio vectorial real un producto escalar se le llama espacio euclídeo. Para denotar el producto escalar de dos vectores e además de se suele utilizar también o ( ). Ejemplos - El producto escalar usual entre los vectores libres del espacio definido de forma que dados dos vectores u v les asocia el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman u v = u v cos ( u v ) cumple los aiomas de producto escalar. - La aplicación que a dos n-tuplas de R n... n e... n asocia = n n es un producto escalar que se denomina producto escalar canónico o usual en R n. Definición. Sea E un espacio vectorial dotado de un producto escalar. Dos vectores e no nulos de E se dice que son ortogonales si = 0. Página 96

5 Normas vectoriales producto escalar Página 97 III.. PROPIEDADES DEL PRODUCO ESCALAR. DESIGUALDAD DE SCHWARZ Sea E un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar. Entonces. E: 0 = 0 = 0 Demostración (opcional). E = (+0) = = 0 E. Si E = 0 = 0 Demostración (opcional). Si E = 0 como E = 0 = 0. Desigualdad de Schwartz: E : Demostración (opcional). Si o son el vector 0 la desigualdad se cumple trivialmente. Se hará pues la demostración suponiendo que ambos son no nulos. Si se considera el vector z de E z = se tiene: = = = z z - = - = = 0 eniendo en cuenta que = se tiene III.4. NORMA INDUCIDA POR UN PRODUCO ESCALAR Proposición. Sea E un espacio vectorial real dotado de un producto escalar. La

6 Normas vectoriales producto escalar aplicación de E en R E R + ( ) que a cada elemento del espacio euclídeo le asocia el escalar es una norma sobre E que se denomina norma asociada al producto escalar. Demostración. Se comprueba fácilmente que dicha aplicación cumple los aiomas de norma:. 0 E = 0 = 0 La primera parte es evidente por ser la raíz positiva. Y en cuanto a la segunda parte = 0 = 0 = 0 = 0. λ = λ E λ R λ λ = λ = λ = λ. + + E + = ( + ) ( + ) = = = + + por otra parte ( + ) = + + teniendo en cuenta la desigualdad de Schwartz se cumple que + ( + ) + + De donde se puede concluir que todo producto escalar tiene una norma asociada. Página 98

7 Normas vectoriales producto escalar Ejemplo En R n la norma inducida por el producto escalar usual = n n es n i i= = = que es la norma euclídea de R n. Opcional: Ahora bien no toda norma ha de proceder de un producto escalar. La condición necesaria suficiente para que una norma proceda de un producto escalar es que se verifique la Le del Paralelogramo: ( ) = + ε E Definición. Sea E un espacio euclídeo sean e dos vectores de E no nulos. Se llama ángulo formado por e al ángulo cuo coseno es donde representan la norma inducida por el producto escalar definido en E es decir respectivamente. Nótese que por la desigualdad de Schwartz este cociente siempre es un número real comprendido entre -. En el caso de considerar el espacio vectorial de los vectores libres esta definición coincide con la de ángulo geométrico. En un espacio vectorial cualquiera si = el ángulo correspondiente es 0º si los vectores son ortogonales es decir si =0 el ángulo formado por e es 90º. Página 99

8 Normas vectoriales producto escalar III.5. EXPRESIÓN MARICIAL DEL PRODUCO ESCALAR. CAMBIO DE BASE III.5.. Epresión matricial del producto escalar Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n dotado de un producto escalar sea B={e e Ω e n } una base de E. Sean e dos vectores de E que se epresan en la base B de la siguiente manera: = e + e n e n = e + e n e n es decir tales que B = B = n n Entonces el producto escalar de e puede epresarse de la forma siguiente: = ( e + e n e n ) ( e + e n e n ) = = e e + e e + + e e + n n e e + e e + + e e + n n e e + e e + + e e = n n n n n n n n e e e e... e en... (... n ) e e e e e en = en e en e... en en n A la matriz G B = ( e e ) simétrica. nn = B G B B () i j se le llama matriz del producto escalar en la base B. G B es Observaciones:. Se demostrará posteriormente que G B es equivalente ( más concretamente Página 00

9 Normas vectoriales producto escalar congruente) con la matriz unidad. Por lo tanto G B siempre es regular.. Los elementos de la diagonal principal de G B siempre son positivos a que dichos elementos son: e e e e... e n e n los cuales han de ser 0 por el primer aioma del producto escalar. III.5.. Cambio de base: relación entre la matriz del producto escalar en bases distintas Si se considera en el espacio vectorial E otra base B ={e e...e n } los vectores e se epresarán en esta base como = e + e n e n = e + e n e n es decir ' ' ' ' B = B = ' ' n n Llamando P a la matriz de paso de B a B sabemos que la relación entre las coordenadas de e en ambas bases viene dada por = P = P () B B B B Según lo visto en el apartado anterior la epresión del producto escalar relativa a la base B viene dada por la epresión () = B G B B relativa a la base B por = G () B B' B donde G B' e... e e e e en e... e e e e en = e... n e en e en en Página 0

10 Normas vectoriales producto escalar Pero el producto escalar de dos vectores es un invariante es decir no depende de la base que se esté considerando en el espacio vectorial luego () () han de ser iguales G = G B B' B B B B sustituendo () en el segundo miembro se tiene G = P G P B B' B B B B Dado que la matriz asociada a un producto escalar en una base es única se tiene que G B = P G B P Se dice que las matrices G B G B son congruentes. Como se ve la congruencia de matrices es un caso particular de la equivalencia (ver Apartado I.5) donde Q=P. III.6. VECORES OROGONALES NORMADOS Y ORONORMADOS. Sea E un espacio vectorial dotado de un producto escalar. Definición. Un sistema S={u u...u p } de vectores de E que no inclua al vector 0 es un sistema ortogonal si todos sus vectores son ortogonales dos a dos es decir si u i u j = 0 i j. Definición. Un sistema S={u u... u p } de vectores de E es un sistema normado si todos sus vectores tienen norma es decir si u i u i = i =...p. Definición. Un sistema S={u u... u p } de vectores de E es un sistema ortonormado u ortonormal si es ortogonal normado. Ejemplos La comprobación de las siguientes afirmaciones se deja al alumno como ejercicio. - Los vectores { ( ) ( )... ( ) } son una familia ortonormada de vectores de R n para el producto usual. - En el espacio de funciones definidas continuas en el intervalo [-π π] considerando Página 0

11 Normas vectoriales producto escalar el producto escalar f g = π -π f ( ) g( ) d las funciones { sen() cos() sen() cos()... sen(p) cos(p) } forman un sistema ortogonal. Proposición. Si un sistema S={u u...u p } de vectores de E es ortogonal entonces es un sistema libre. Demostración. Sea S = {u u...u p } un sistema ortogonal de vectores de E. Supóngase que eisten α α... α p escalares de R tales que α u + α u α p u p = 0 Si se multiplica escalarmente esta epresión por un vector u j de S se obtiene (α u + α u α p u p ) u j = 0 u j = 0 por la bilinealidad del producto escalar α u u j + α u u j α p u p u j = α j u j u j = 0 α j = 0 Repitiendo el proceso para j {...p} se obtiene α = α =...= α p = 0 Es decir u u...u p son linealmente independientes. III.7. MÉODO DE OROGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMID Como se ha dicho anteriormente el producto escalar de dos vectores es un invariante que no depende de la base que se esté considerando en el espacio vectorial E. Ahora bien al cambiar la base del espacio vectorial cambia la epresión del producto escalar (en concreto G ).En muchos casos es conveniente considerar en el espacio vectorial una base en la cual la epresión del producto se simplifique lo máimo posible lo cual sucede cuando la base es ortonormada (entonces G = I n ). En este apartado se va a estudiar el método de ortogonalización de Gram-Schmidt que permite obtener a partir Página 0

12 Normas vectoriales producto escalar de una familia de vectores linealmente independientes una familia ortogonal ( por lo tanto a partir de una base cualquiera de un espacio vectorial una base ortogonal). Eisten otros métodos para obtener bases ortogonales. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n sea B = { e e...e n } una base de E; a partir de ella se obtiene la base ortogonal B = { e e...e n } de la forma siguiente e = e e = e + αe / e e = 0 λ R e e = 0 e = e + βe + γ e / β γ R 0 e = e e = e + λe + + ψ e / e e = 0 k = n - λ ψ R n n n- n k Si se requiere una base ortonomada basta con tomar B* = {u u... u n } siendo u i = e i e i i =...n Donde e i representa la norma inducida por el producto escalar considerado es decir e i e i. Ejemplo A partir de los vectores linealmente independientes {e e e } aplicar el método de Gram-Schmidt para obtener una base de R ortogonal respecto del producto escalar ususal. e = ( - ) e = ( - ) e = ( 0 ) Solución. e = e = ( - ) e = e + α e = ( - ) + α ( - ) = ( -+α +α -α ) / e e = 0 (-+α) + (+α) + (-α) (-) = 0 α- = 0 Página 04

13 Normas vectoriales producto escalar 7 5 α = e' = e = e + β e + γ e = ( 0 ) + β γ ( - ) = 7 5 e' e' = 0 = β + γ + β + γ β γ / e' e' = 0 e' e' = β + γ + + β + γ + β γ ( ) = 0 + γ = 0 γ = - e' e' = β + γ + + β + λ + β γ = β = 0 β= - 9 e' 4 = Si quisiéramos un sistema ortonormado de vectores {u u u } dividiríamos cada vector entre su norma (la inducida por el producto escalar usual en este caso) u = e e = - ( ) e + + = ( ) = u e 7 5 = = = 7 5 e ( ) e = + + = Página 05

14 Normas vectoriales producto escalar u e 4 = = = 4 - e 6 6 ( ) 4 6 e = + + = Página 06

15 Normas vectoriales proudcto escalar ema III. Ejercicios III.. Sea C [ab] = {f: [ab] R / f continua} sean... m m puntos de [ab]. Se considera la aplicación: : C [ab] R / f = f( ) + f( ) f( m ) Es dicha aplicación norma?. Estudiar qué propiedades fallan. III.. Sea C [0] = {f: [0] R / f continua}. Se considera la aplicación : : C [0] R / f = ma f ( ) [ 0 ] Es dicha aplicación norma?. Estudiar qué propiedades fallan. III.. Dadas las aplicaciones siguientes discutir si son normas: a) : E nn (R ) R / A = det (A) b) : E nn (R ) R / A = n*ma a ij III.4. En el espacio vectorial R se define un producto escalar que referido a la base canónica { } e e e se define mediante la matriz 0 G = a) Estudiar si R con el producto anterior es un espacio euclídeo. b) Calcular la norma del vector e + e. c) Considérese el subespacio ( ) ortonormal del mismo. { R } / 0 U = z =. Dar una base d) Demostrar que los vectores Página 07

16 Normas vectoriales producto escalar { = ( a b c) / a = e b = e c = e } forman un subespacio vectorial dar una base del mismo. = III.5. Sea B { e e } una base de un espacio euclídeo E bidimensional sean e dos vectores de E cuos vectores coordenados referidos a la base son B = e B = cuo producto escalar viene definido por: = a) Probar que se cumplen los aiomas de producto escalar. b) Hallar la matriz G que caracteriza el producto escalar en la base B las normas ángulos que forman los vectores de dicha base. c) Hallar la matriz del producto escalar referida a una nueva base 0 B' = u = = u donde los vectores u 0 u están referidos a la base B. d) Sean B = e B = dos vectores referidos a la base B. Hallar utilizando las epresiones matriciales en B en B. III.6. Demostrar que en el espacio vectorial de las funciones reales (t) continuas en el intervalo - t la epresión escalar. ( ) ( ) = t t t dt define un producto a) Hallar el ángulo formado por los vectores (t)= e (t)=t b) Para qué valor de a serán ortogonales los vectores (t)=t+a e (t)=t-a? c) Ortonormalizar el conjunto { t t } Página 08

17 Normas vectoriales producto escalar III.7. Sea G = la matriz que define el producto escalar en la base B u u u de un espacio euclídeo. { } = a) Calcular las normas de los vectores de la base B. b) Calcular los cosenos de los ángulos que forman entre sí los vectores de la base B. = III.8. Sea E un espacio euclídeo tridimensional sea B { } mismo tal que siendo u = e + e se cumple que: u u = 4 e es ortogonal a e ( ) u e = 4 cos e e = e e = e e e e = 6 e e e una base del a) Obtener la epresión matricial del producto escalar en la base B. b) Por el método de ortogonalización de Gram-Schmidt obtener una base ortonormada B*para el producto escalar. c) Calcular la matriz de paso P de la base B a la base B*. d) Hallar la epresión matricial del producto escalar en la base B*. III.9. En el espacio euclídeo R referido a la base canónica se definen los subespacios: S = = / = 0 + = 0 S = = / + = 0 Hallar una base de R ortonormada en la que si es posible uno de los vectores de la misma pertenezca a S otro pertenezca a S. Página 09

18 Normas vectoriales producto escalar III.0. Sea E un espacio vectorial de dimensión sea B = { } Se define un producto escalar de forma que e e = mínimo{ 4 i4 j} i j a) Hallar la matriz del producto escalar en la base B. e e e una base de E. b) Hallar una base ortogonal. = III.. En un espacio vectorial E de dimensión referido a una base B { } e e e se 0 define un producto escalar mediante la matriz G = Determinar una base de E ortonormal respecto de dicho producto escalar. Página 0

19 Normas vectoriales proudcto escalar ema III. Soluciones Ej. III.. III.. No es norma. Falla el primer aioma. Sí es norma III.. a) No es norma. Fallan todos los aiomas. b) Sí es norma. III.4. Sí tiene estructura de espacio euclídeo. a) b) e + e = c) d) 0 * BU = B = 0 III.5. a)... b) c) 4 π G = e = e = α = 6 G* = 9 4 d) = 9 III.6. a) α = π Página

20 Normas vectoriales producto escalar b) a = ± 5 c) t t 5 III.7. a) u = u = u = b) 6 cos( u u ) = cos( u u) = cos( u u ) = III a) = ( ) b) c) 6 B* = P = d) = ( ) Página

21 Normas vectoriales producto escalar III.9. B* = ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) III.0. a) b) G = 0 B' = III.. 0 B* = Página