Relación 1. Espacios vectoriales

Transcripción

1 MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA Curso 2007/08 Relación 1. Espacios vectoriales 1. (a) En IR 2 se consideran las operaciones habituales: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) λ(x, y) = (λx, λy) Demuestra que IR 2 con estas operaciones es un espacio vectorial. (b) En IR 2 se consideran ahora las operaciones: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) λ(x, y) = (λx, y) Es IR 2 con estas operaciones un espacio vectorial? Razona la respuesta. 2. Considérese el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales: { ( ) / } a b M 2 = A = a, b, c, d IR c d Es un espacio vectorial este conjunto con las operaciones habituales suma de matrices y producto de una matriz por un escalar? Cuál es el elemento neutro? Cuál es el simétrico de un elemento A M 2? 3. En IR 3 se consideran los vectores (2, 1, 1) y (1, 3, 2). Se pide: (a) Expresa, si es posible, el vector (1, 7, 4) como combinación lineal de ellos. (b) Expresa, si es posible, el vector (2, 5, 4) como combinación lineal de ellos. (c) Halla k para que el vector (1, k, 5) sea combinación lineal de ellos. 4. Calcula para qué valores de α, β, γ el vector (α + 2β, γ 4β, 7, α 3β) IR 4 es combinación lineal de los vectores (0, 2, 1, 2) y ( 1, 0, 4, 0) con coeficientes 3 y 1 respectivamente. 5. Sean u 1 y u 2 dos vectores linealmente independientes (L.I.) en un espacio vectorial V y sean v 1 = u 1 + u 2, v 2 = u 1 u 2. Cómo son v 1, v 2 en cuanto a dependencia o independencia lineal? 1

2 6. Sea V un espacio vectorial y { v 1, v 2,..., v n } un conjunto de vectores de V. A partir de ellos se definen los siguientes vectores: u1 = v 1 u2 = v 2 v 1 u3 = v 3 v 2 v 1.. u n = v n v n 1 v 1 Demuestra que si los v i son linealmente independientes entonces los u i también lo son. 7. Para qué valores del parámetro α son L.I. los vectores (α, α 1) y (2 + 3α, α 4)? 8. Calcula para qué valores del parámetro α son L.I. los vectores v 1 = ( α, α + 1, α), v2 = (0, 1, 2) y v 3 = (1, α, 0). 9. Demuestra que los vectores (1, a, b), (0, 1, a) y (0, 0, 1) son L.I. a, b IR. 10. Demuestra que para cualquier valor de los parámetros a, b, c, d IR los vectores (1, 0, 0), (a, b, 0) y (c, d, 0) son L.D. 11. En R 2 se consideran los vectores e 1 = (1, 2) y e 2 = ( 2k, 4k). Calcula, si es posible, un valor de k para que { e 1, e 2 } sea una base de R Resuelve las siguientes cuestiones: (a) En IR 2, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores del conjunto S = {( 1, 1), (0, 2), (1, 2)} y di si constituyen o no un sistema generador de IR 2. En caso de que S no sea una base, extraer de S una base de IR 2, si es posible. (b) En IR 3, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores del conjunto S = {( 1, 0, 0), (0, 0, 2), ( 2, 1, 1), (0, 1, 0)} y di si constituyen o no un sistema generador de IR 3. En caso de que S no sea una base, extraer de S una base de IR 3, si es posible. (c) En IR 4, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores del conjunto S = {(1, 0, 0, 0), ( 1, 0, 2, 0), ( 1/3, 1/3, 1, 0)} y di si constituyen o no un sistema generador de IR 4. En caso de que S no sea una base, construir una base de IR 4 a partir de S, si es posible. 13. Sea P 2 [IR] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales. (a) Demuestra que el conjunto B = { x 2 + x, x + 1, x 2 1} es una base de P 2 [IR]. Qué coordenadas tiene el vector p(x) = 2x 2 x + 1 respecto de la base B? Qué polinomio tiene coordenadas (1, 0, 2) respecto de B? (b) El conjunto B = {x 2, x, 1} es otra base de P 2 [IR] y se llama base canónica. Qué coordenadas tiene el vector p(x) = 2x 2 x + 1 respecto de la base canónica? (c) Demuestra que los vectores del conjunto B = {x 2, x 2 + 1, 2x 2 } no son L.I. ni forman un sistema generador.

3 14. En el espacio vectorial P 3 [IR] de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales se considera el vector p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, con a, b, c, d IR y a 0. Se pide: (a) Demuestra que el conjunto B = {p(x), p (x), p (x), p (x)} es una base de P 3 [IR], siendo p (x) la derivada de p(x), p (x) la derivada segunda y p (x) la derivada tercera. (b) Tomando a = 5, b = 3, c = 2, d = 1, calcula las coordenadas del vector q(x) = 15x 3 21x 2 18x + 37 respecto de la base B. 15. Considérese el conjunto A = {(1, 1), (2, 1), ( 3, 2)} de IR 2. Es este conjunto un sistema generador de IR 2 Es una base? 16. Dados los vectores u = (1, 4, 0) y v = (5, 0, 1) de IR 3, calcula un vector que sea combinación lineal de u, v y otro que no lo sea. Se puede completar el conjunto { u, v } para formar una base de IR 3? En caso afirmativo calcular una base de IR 3 que incluya dichos vectores. 17. Se consideran, en IR 3, los siguientes vectores: u 1 = (2, 0, 1), u 2 = ( 1, 1, 3), u 3 = (3, 3, 9), u 4 = ( 1, 0, 1 2 ). (a) Es el vector u = (5, 1, 0) combinación lineal de los vectores u 3, u 4? (b) Calcula las ecuaciones del subespacio S = u 1, u 2, u 3, su dimensión y una base. (c) Son los vectores u 2, u 3 un sistema generador de IR 3? (d) Calcula un vector de IR 3 que sea ortogonal a u 1 y a u 2 y además tenga norma En IR 3 se consideran los vectores v 1 = (k, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1)), v 3 = (0, 1, k) y v 4 = (1, 0, 0), siendo k IR. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones. (a) Forman { v 1, v 2, v 3, v 4 } una base de IR 3? (b) Existe algún valor de k de modo que los vectores { v 1, v 2, v 3 } sean una base de IR 3? En caso afirmativo, especifica todos los valores de k. (c) Existe algún valor de k de modo que v 3 sea combinación lineal de los vectores v 1 y v 4? En caso afirmativo, especifica todos los valores de k. 19. En IR 3, da un ejemplo en cada uno de los casos siguientes: (a) Vectores linealmente independientes. (b) Vectores linealmente dependientes. (c) Vectores linealmente dependientes y que formen un sistema generador de IR 3. (d) Vectores linealmente independientes que no sean sistema generador de IR 3. (e) Tres vectores linealmente independientes que no formen una base de IR Construye, si es posible, una base de IR 3 que contenga a los vectores (5, 3, 0) y (10, 6, 0) y una base de IR 4 que contenga a los vectores (1, 0, 1, 2) y ( 3, 0, 2, 1).

4 21. En un espacio vectorial V se considera un conjunto de vectores { u 1, u 2,..., u n }, y a partir de ellos se define un nuevo vector v 1 = u 1 +λ 2 u2 + +λ n un, donde λ 2,..., λ n IR. Demuestra que si los vectores { u 1, u 2,..., u n } son L.I. entonces los vectores { v 1, u 2,..., u n } también lo son. 22. Estudia, según los valores de α, β IR, si los vectores (1, 1, 0), (2, 1, α), (3, 0, β) forman una base de IR Sean los vectores de IR 2 (1, 2), (2, 1), ( 1 2, 1) y (0, 0). Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: (a) Son linealmente independientes? (b) Son sistema generador de IR 2? (c) Forman una base de IR 2? Si la respuesta es negativa, se puede extraer una base de entre estos vectores? (d) Pertenece el vector ( 2, 2) al subespacio generado por los cuatro vectores? (e) Existe algún vector de IR 2 que sea ortogonal a (0, 1) y tenga norma 1? Cuál? 24. Sean B = { u 1, u 2, u 3 } y B = { v 1, v 2, v 3 } dos bases de IR 3 tales que v1 = u 1 + u 2 + u 3 v2 = u 1 + u 2 v3 = u 1 (a) Halla las ecuaciones del cambio de base de B a B y de B a B. (b) Un vector de coordenadas (2, 0, 1) respecto de B, qué coordenadas tiene en la base B? (c) Un vector de coordenadas (1/2, 0, 1/2) respecto de B, qué coordenadas tiene en la base B? 25. En IR 3, sea B la base canónica y B = {(1, 1, 2), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} otra base. (a) Halla la matriz del cambio de base de B a B. (b) Un vector de coordenadas (1, 0, 2) respecto de B, qué coordenadas tiene en la base B? (c) Un vector de coordenadas ( 1, 1, 1) respecto de B, qué coordenadas tiene en la base B? 26. Sean B = { u 1, u 2, u 3 } y B = { v 1, v 2, v 3 } dos bases de IR 3 tales que u1 = v v2 u2 = v v2 u3 = 1 v1 1 v2 + v 3 2 2

5 (a) Halla las matrices del cambio de base de B a B y de B a B. (b) Si x = v 1 v 3, halla las coordenadas de x respecto de B. 27. En IR 3, se consideran los conjuntos B = { u 1 = (0, 1, 1), u 2 = (1, 2, 0), u 3 = (1, 1, 0)} y B = { v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 2, 0), v 3 = (0, 1, 2)}. Se pide: (a) Demuestra que B y B son bases de IR 3. (b) Sabiendo que x = u 1 2 u 3, calcula las coordenadas de x en B. 28. Dadas B = { e 1, e 2, e 3 } y B = { u 1, u 2, u 3 } dos bases de IR 3 tales que Se pide: u1 = e 1 + e 2 u2 = e 1 e 2 e 3 u3 = e 3 (a) Calcula la matriz del cambio de base de B a B. (b) Calcula los vectores de IR 3 que tienen las mismas coordenadas en B y en B. (c) Si u = (1, 0, 1) respecto de B, halla sus coordenadas respecto de B. 29. En IR 3, se sabe que el vector x = 6 e e e 3 tiene coordenadas (2, 3, 4) en la base { v 1, v 2, v 3 }. Sabiendo que v 1 = e 1 + e 2 y v 2 = e 2 + e 3, hallar v 3 en la base { e 1, e 2, e 3 }. 30. En el conjunto M 2 de las matrices cuadradas de orden 2, estudia si los siguientes conjuntos son o no subespacio vectorial y, en caso afirmativo, calcula su dimensión y una base. (a) Matrices simétricas. (b) Matrices de rango 2. (c) Matrices con determinante nulo. (d) Matrices diagonales. (e) Matrices idempotentes. (Una matriz A es idempotente si A 2 = A). (f) Matrices de traza nula. (g) Matrices simétricas de traza nula. 31. Sea M 2 el conjunto de las matrices cuadradas de tamaño 2, y sea S el subconjunto de las matrices de traza igual a k IR. Qué valores debe tomar k para que S sea un subespacio vectorial de M 2? 32. En el conjunto M 3 de las matrices cuadradas de orden 3, estudia si los siguientes conjuntos son o no subespacio vectorial y, en caso afirmativo, calcula su dimensión y una base. (a) Matrices simétricas.

6 (b) Matrices triangulares superiores, es decir, matrices tales que los elementos a 21, a 31 y a 32 son nulos. 33. Demuestra que el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones es un subespacio vectorial de IR n. 34. En IR 3 se considera el subconjunto L = {(x 1, x 2, x 3 ) IR 3 /x 1 +x 2 +x 3 = 0}. Demuestra que los vectores {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} forman un sistema generador de L. 35. Dados los siguientes vectores de IR 3 : u 1 = (1, 2, 3), u 2 = (5, 0, 1), u 3 = (4, 0, 1), u4 = (2, 0, 1), responde razonadamente a las siguientes cuestiones: (a) Forman los vectores u 2, u 3, u 4 un sistema generador de IR 3? (b) Forman los vectores u 1, u 2, u 3, u 4 una base de IR 3? En caso negativo, construye una base de IR 3 utilizando estos vectores (los que sean necesarios). (c) Calcula un vector que sea ortogonal a u 1 y que además tenga norma 1. (d) Calcula las ecuaciones del subespacio generado por u 1, u 2 y una base de éste. 36. Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacio vectorial? Para aquellos conjuntos que sí sean subespacio, calcula su dimensión y una base. (a) { (x, y, z) IR 3 / x = y = z } (b) { (x, y, z, t) IR 4 / z = 0 } (c) { (x, y, z, t) IR 4 / z = 1 } (d) { (x, y, z) IR 3 / x = y z } (e) { (x, y, z) IR 3 / y z = 0 } (f) { (x, y, z) IR 3 / x y = 1 } (g) { u IR 4 / u = 1 } (h) Vectores de IR 3 que son linealmente dependientes al vector u = ( 1, 0, 0). 3 (i) Vectores de IR 3 que son ortogonales al vector u = ( 2, 0, 5). ( 2 4 (j) {A M 2 / M A = 0}, donde 0 es la matriz nula de M 2 y M = Calcula el subespacio de IR 3 generado por los vectores (2, 5, 4), (2, 1, 1), (1, 0, 5). 38. Pertenece el vector (2, 1, 3, 7) al subespacio (1, 3, 3, 0), (1, 1/2, 5/2, 1)? Calcula las ecuaciones de dicho subespacio. 39. Identifica todos los vectores del subespacio (2, 3, 1), (1, 4, 0) cuya primera componente sea seis veces la tercera componente. 40. En IR 3 se consideran los vectores (1, 0, 5), (a, 3, b), (0, 3, 2). Se pide: (a) Relación entre a y b para que sean base. ).

7 (b) Ecuaciones que definen el subespacio generado por (1, 0, 5) y (0, 3, 2). Dimensión y base del mismo Dada la matriz A = 1 0 1, responde a las siguientes cuestiones: (a) Cuántas columnas linealmente independientes hay en A? (b) Halla las ecuaciones del subespacio que generan los vectores (2, 1, 1), (1, 0, 5), (3, 1, 6). Qué dimensión tiene dicho subespacio? 42. Halla m y n para que el vector (1, 4, m, n) pertenezca al subespacio S = (1, 2, 1, 2), (0, 1, 2, 1) y halla las ecuaciones de dicho subespacio. Pertenece el vector (1, 4, 3, 4) a S? 43. Halla α para que los vectores (α 2, α 2, α, 1), (α 2, 4, α 2, 3 α 3 ) sean ortogonales. 44. A partir del vector u = (1, 1, 3, 5), calcula un vector en la misma dirección pero que sea de norma Sabiendo que los vectores u, v son ortogonales, demuestra que u + v 2 = u 2 + v Dado el vector u = (1, 2) IR 2, existe algún vector v IR 2 tal que u, v sean a la vez ortogonales y linealmente dependientes? En caso afirmativo, calcúlalos. 47. Dados los vectores u = (2, 6, 3) y v = (4, 3, 1), calcula un vector no nulo que sea ortogonal a ambos a la vez. Razona la respuesta. 48. Comprueba que el conjunto S = { (x, y, z) IR 3 / x y = 0 } es subespacio vectorial de IR 3 y calcula la intersección de S con el subespacio T = (1, 1, 1), (1, 2, 2). 49. En el cálculo del flujo de caja mensual de una empresa se consideran las siguientes cantidades (en euros): x = cobros del mes actual y = cobros atrasados del mes anterior z = pagos del mes actual t = pagos atrasados del mes anterior Considérese el conjunto de todas las cantidades que dan lugar a un flujo total de e. Es este conjunto un subespacio vectorial de IR 4? Razona la respuesta.