SEGUNDO PARCIAL - EJERCICIOS DE REPASO

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1 Algebra y Geometría 28 SEGUNDO PARCIAL - EJERCICIOS DE REPASO ESPACIOS VECTORIALES. Construya en R 2 un subconjunto que sea: a cerrado para la suma y resta de vectores, pero no para la multiplicacion por un escalar; b cerrado para la multiplicacion por un escalar, pero no para la suma de vectores 2. Mostrar que el conjunto de matrices inversibles no es un espacio vectorial 3. Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas? Las soluciones de ( x ( Ax = x 2 2 = x 3 constituyen: un plano una recta un punto un subespacio el espacio nulo de A el espacio columna de A 4. Encuentre el mayor numero posible de vectores independientes entre los siguientes: v = ; v 2 = ; v 3 = 5. Describa el subespacio de R 3 generado por los vectores (,,, (,, los vectores (,,, (,, y (,, ; v 4 = ; v 5 = las columnas de una matriz escalonada 3 5 con dos pivotes todos los vectores con segunda componentes nula ; v 6 =

2 Algebra y Geometría Encuentre una base para cada uno de los siguientes subespacios: todos los vectores cuyas componentes son iguales todos los vectores cuya tales que la suma de sus componentes es todos los vectores perpendiculares a (,,, y (,,, El espacio columna y el espacio fila de la matriz ( A = En cada caso, indique la dimension del mismo 7. Encuentre la dimension y una base para los espacios fila, columna, nucleo e imagen de la matriz A = Sea A es una matriz m n con rango ν(a = r. Suponga que hay miembros b para los cuales Ax = b no tiene solucion. cuales desigualdades (< o deben ser ciertas ebtre m, n y r que se puede decir de la nulidad de A 9. Encuentre todos los vectores perpendiculares a (, 4, 4, y (2, 9, 8, 2. Encuentre una tercera columna de A = para que resulte ortogonal. TRANSFORMACIONES LINEALES. Sea π el plano en R 3 dado por la ecuacion x + 2y z +. Determinar una matriz A (3 3 tal que el nucleo de A sea el plano π una matriz B (3 3 tal que la imagen de B sea el plano π

3 Algebra y Geometría Sea P 3 (R el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 4. Sea T : P 3 (R P 3 (R la transformacion lineal definida por T (p = p. Determine la representacion matricial de T con respecto a la base canonica 3. Cuales de las siguientes transformaciones de R 2 en R 2 no son lineales? T (x, y = (y, x T (x, y = (x, x T (x, y = (, x T (x, y = (, 4. Sea P 3 (R el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 3, y sea S = Mostrar que S es un subespacio de P 3 (R y encontrar una base para S. { p P 3 (R : 5. Que matriz transforma (, en (2, 5 y (, en (, 3. Por que no existe una matriz que transforme el (2, 6 en el (, y el (, 3 en el (,? 6. Sea T : R 3 R 3 dada por T (x, y, z + (x + y + z, x + y, x. Encontrar la representacion matricial de T con respecto a la base canonica Es T inversible. En caso de serlo, encontrar T 7. Que matriz tiene el efecto de rotar cada vector un angulo de π/2 y luego reflejar el vector sobre el eje x? Que matriz representa una reflexion sobre el eje x seguida por una reflexion sobre el eje y? 8. Construya una matriz cuyo: espacio nulo contenga al vector (,, 2 cuyo espacio columna este generado por el (,, 2 y cuyo espacio renglon este generado por el (, 2 9. Sea T (, = (2, 2, y T (2, = (,. Si T es lineal, encontrar T (2, 2 y T (3, 4. Por que las siguientes transofmraciones lineales no son isomorfismos? T (x, y = (y, y T (x, y = (x, y, x + y T (x, y = x. Describa las transformaciones lineales de R 2, representadas en la base canonica por las matrices: ( ( 2 ( } p(xdx =.

4 Algebra y Geometría 28 4 VALORES Y VECTORES PROPIOS. Encontrar la multiplicidad geométrica de los autovalores de la matriz Es la matriz A diagonalizable? A = Encontrar los valores y vectores característicos de la matriz A =. ( Encontrar los valores y vectores caracterisiticos de las siguientes matrices: Sea A una matriz (3 3 con valores caracteristicos, 3, 5 con vectores propios independientes u, v, w respectivamente. proporcione una base para el nucleo y el espacio columna de A encuentre una solucion particular de Ax = v + w Por que el sistema Ax = u no tiene solucion? 5. Si A tiene autovalores λ = 4 y λ 2 = 5, ecnuentre tres matrices (2 2 tales que su traza sea 2 (la suma de los elementos de la diagonal y cuyo determinante sea Cuales de las siguientes matrices no pueden diagonalizarse: ( ( ( Completar las siguientes matrices tales que su determinante sea 25. Son estas matrices diagonalizables? ( 8 2 ( 9 4 ( Para que valores de c la matriz 2 2 c 5 3

5 Algebra y Geometría 28 5 tiene autovalores reales y autovectores ortogonales? De existir tal valor de c, encontrar los autovalores y autovectores de la matriz? Es diagonalizable? 9. Encuentre una matriz 2x2 A tal que tenga valores característicos λ = λ 2 =. a Si A 2 = I, cuáles son los valores característicos de A? b Si esta matriz A es 2x2, y no es ni I ni I, encuentre su determinante c Si el primer renglón de A es (3,, cuál es el segundo renglón?