UNIDAD TEMÁTICA Nº: 1

Transcripción

1 Objetivos de la materia: Que el alumno: Aprecie el valor instrumental del álgebra y la geometría, relacionándolas con los demás espacios curriculares. Articule el registro algebraico con el del lenguaje natural y el gráfico, haciendo representaciones y tratamiento de conjeturas en diferentes marcos (gráfico, algebraico, funcional, etc). Logre habilidad para realizar procesos de análisis y síntesis para la resolución de situaciones problemáticas relacionadas con la Ingeniería. Sea capaz de identificar sus errores, respuestas incompletas e imprecisiones. Título: Algebra vectorial Desarrolle la capacidad de participación, de iniciativa y responsabilidad. Utilice, como usuario crítico, diferentes paquetes computacionales con capacidades de cálculo simbólico y numérico para la resolución de problemas complejos. UNIDAD TEMÁTICA Nº: 1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores fijos, deslizantes y libres. Equipolencia. Igualdad de vectores. Operaciones: suma, resta, producto de un vector por un escalar, propiedades. Expresión de un vector en coordenadas cartesianas, en E 2 y E 3 y en el espacio tridimensional. Norma. Angulos y cosenos directores. Versores. Producto escalar entre dos vectores: definiciones y propiedades. Angulo entre dos vectores. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Producto vectorial: definición y propiedades. Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial. Producto mixto: definición y propiedades. Interpretación geométrica. Condición de coplanaridad entre tres vectores. Combinación lineal de vectores. Independencia lineal de un conjunto de vectores. Interpretación geométricas. Título: Rectas y planos UNIDAD TEMÁTICA Nº: 2 La recta en E 2 : su determinación. Distintas formas de la ecuación de la recta a partir de la forma vectorial. Angulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad.

2 Distancia de punto a recta. El plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación del plano a partir de la ecuación vectorial. Distancia de un punto a plano. Angulo entre dos planos. La recta en E 3 : distintas formas de su ecuación a partir de la ecuación vectorial; ecuaciones paramétricas, ecuaciones cartesianas simétricas. La recta dada como intersección de planos. Angulo entre rectas. Angulo entre recta y plano. Intersección entre recta y plano. Posiciones relativas entre rectas del espacio: análisis de las distintas posibilidades; obtención de la intersección. Distancia: entre rectas alabeadas. Distancia de punto a recta UNIDAD TEMÁTICA Nº: 3 Título: Introducción a las cónicas y las superficies cuádricas Definición general de las cónicas. Expresiones canónicas de la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola; elementos y construcciones. Elementos de las mismas. Gráficas. Recta tangente a una cónica. Traslación de ejes en el plano. Las cónicas con centro o vértice desplazado. Obtención a partir de la misma de las ecuaciones canónicas. Sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Parametrización. Las cuádricas en forma canónica. Análisis de las superficies: intersección con los ejes coordenados, con los planos coordenados, con planos paralelos a los coordenados, simetría. Gráficas. Superficies de revolución. Aplicaciones. Título: Números complejos UNIDAD TEMÁTICA Nº: 4 La representación cartesiana en el espacio bidimensional. Par ordenado. Definición de número complejo. La unidad imaginaria. Sus potencias y propiedades. Forma binómica de un complejo. Los

3 números reales como complejos. Operaciones algebraicas. Complejo conjugado. Representación cartesiana y vectorial. Operaciones. Sistemas de representación polar. Forma polar de los complejos: producto, potencia y cociente. Fórmula de De Moivre. Raíz n-sima de un complejo. Forma exponencial : operaciones. Logaritmos. Aplicaciones Título: Sistemas lineales y matrices: UNIDAD TEMÁTICA Nº: 5 Sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas: resolución por Gauss, Gauss Jordan. Matriz: definición, notación, orden. Igualdad de matrices. Matriz nula. Matriz de coeficientes y matriz ampliada de un sistema lineal de ( m x n ). Operaciones elementales con las filas de una matriz. Definición de matriz escalonada, escalonada reducida por filas y pivotes. Matriz identidad. Eliminación de Gauss y de Gauss Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Suma de matrices. Multiplicación de una matriz por un escalar. Propiedades. Producto de dos matrices. Propiedades. Definición: transpuesta de una matriz, matriz simétrica y antisimétrica. Propiedades. Expresión matricial de un sistema lineal. Definiciones: Matriz inversa, matriz Singular. Calculo de matriz inversa, si existe, por Gauss - Jordan. Resolución de sistemas lineales por inversa de un matriz. Aplicaciones. Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales: métodos iterativos de Jacob y de Gauss Seidel. Corrección de los elementos de la inversa. Título: Determinantes UNIDAD TEMÁTICA Nº: 6 Determinante de una matriz de 2º orden. Determinante de una matriz de 3º orden. Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada ( M ij). Cofactor de un elemento de una matriz cuadrada ( A ij). Determinante de una matriz cuadrada de orden n. Propiedades de los determinantes. Matriz adjunta de una matriz. Propiedad de la adjunta. Criterio para invertibilidad de una matriz cuadrada. Regla de Cramer. Título: Valores y Vectores propios UNIDAD TEMÁTICA Nº: 7

4 Valores y vectores propios de una matriz cuadrada: Definición. Ecuación y polinomio característicos. Subespacios propios. Multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios. Matrices semejantes: Definición. Propiedad. Matriz diagonalizable. Matrices simétricas: Diagonalización ortogonal. Aplicaciones. Título: Espacios vectoriales UNIDAD TEMÁTICA Nº: 8 Espacios vectoriales reales R n y R m x n. Subespacios. Subespacios trivial.conjunto generador. Subespacios generados por un conjunto de vectores. Bases y dimensión. Espacio de solución de un sistema lineal homogéneo. Espacio de las filas y columnas de una matriz. Rango de una matriz. Condición de existencia de soluciones de un sistema lineal ( Teorema de Rouche - Frobenius). Cambio de Base: Coordenadas de un vector. Matriz de cambio de base o matriz de Transición. Título: Transformaciones lineales UNIDAD TEMÁTICA Nº: 9 Definición de transformación lineal. Definición de Núcleo e Imagen de una transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Aplicaciones. Bibliografía obligatoria: Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lienal Kosak, Ana María; Pastorelli, Sonia; Vardanega, Pedro (Editorial Mc Graw Hill) Bibliografía complementaria: Introducción al Álgebra Lineal Howard Anton (Editorial Limusa) Álgebra Lineal con aplicaciones George Nakos; David Joyner (Editorial Thomson) Álgebra Lineal y sus aplicaciones David Lay (Editorial Prentice may) Álgebra Lineal con aplicaciones Stanley Grossman (Editorial Mc Graw Hill)

5 Álgebra Lineal Juan Burgos (Editorial Mc Graw Hill) Álgebra Lineal John Fraleigh ; Raymond Beauregard (Editorial Addison Wesley) Álgebra Lineal Harvey Gerber (Editorial Grupo Editorial Iberoamericano) Álgebra Lineal Seymour Lipschutz (Serie Schaum Editorial Mc Graw Hill) Álgebra Lineal Serge Lang (Editorial Fondo Educativo Iberoamericano)