Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 11/12

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1 Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 11/12 Problemas Tema 1. Espacios Vectoriales. 1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1.1. Construye explícitamente el conjunto A B, siendo A = {1, 2, 3}, y B = {α, β} Construye algunos ejemplos de relaciones binarias, en particular construye una relación de equivalencia y una de orden Estudiar las propiedades que verifican las siguientes relaciones binarias: a Ser divisor de en el conjunto de los números naturales. b Ser cuadrado de en el conjunto de los números reales. c Tener el mismo área en el conjunto de cuadriláteros del plano. d En el conjunto R 2 = R R: a, b R a, b a b = a b Se define una correspondencia f entre los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {α, β, γ, δ} mediante el grafo: G = {1, α, 2, β, 1, δ, 3, γ}. Estudiar si es aplicación Se definen las siguientes correspondencias de R en R, estudiar si son aplicaciones y en caso afirmativo determinar el tipo de aplicación. a G = {x, y R 2 / y = cos x}. b G = {x, arctan x, x R}. c G = {x, y R 2 / y 2 = x}. d fx = x 2, x R. e gx = 1 x Demostrar que la correspondencia fn = 2n es una aplicación biyectiva del conjunto de los números naturales en el de los números naturales pares. Qué consecuencias tiene esto sobre los cardinales de ambos conjuntos? 2 Definición de espacio vectorial 2.1. Demostrar que el conjunto de los números complejos C tiene estructura de espacio vectorial real Estudiar si el conjunto R 2 = R R tiene estructura de espacio vectorial real con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes: a x, y + x, y = x + x, y + y y λx, y = λx, λy. b x, y + x, y = x + x, y + y y λx, y = λx, 0. c x, y + x, y = x + y, x + y y λx, y = λx, λy. d x, y + x, y = x + x, 0 y λx, y = λx, λy. 1

2 e x, y + x, y = x + x, y + y y λx, y = λx, λy Demostrar que el conjunto P n [x] de los polinomios de una indeterminada real x de grado menor o igual que n N es un espacio vectorial real con las operaciones usuales: Suma: a 0 + a 1 x + + a n x n + b 0 + b 1 x + + b n x n = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x + + a n + b n x n. Producto por escalares: λa 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = λa 0 + λa 1 x + λa 2 x λa n x n 2.4. Sea F el conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo [0, 1] para las que 2f0 = f1. Demostrar que forman un espacio vectorial sobre R Probar que R + con la operación suma interpretada como el producto de x e y y el producto por escalar interpretada como la potencia r-ésima de x es un espacio vectorial Demostrar que el conjunto de las matrices de números reales de dos filas y dos columnas tiene estructura de espacio vectorial real con las operaciones siguientes: c a b d + a b c d = a + a b + b c + c d + d ; λ c a b d = λc λa λb λd 3 Subespacios vectoriales 3.1. Estudiar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 4 : a A = {2x 2, x 2, x 2 + x 4, x 4 /x 2, x 4 R}. b B = {x 1, x 2, x 3, x 4 R 4 /x 1 x 2 = 0}. c C = {x 1, x 2, x 1, x 2 R 4 /x 1 = 1}. d D = {x 1, x 1, x 1, x 1 /x 1 R}. e E = {x 1, x 2, x 3, x 4 R 4 /2x 1 + x 4 = 0}. f F = {x 1, x 2, x 3, x 4 R 4 /x 2 3x 3 = 5}. g G = {x 1, x 2, x 3, x 4 /x 1 = α, x 2 = α, x 3 = 3α, x 4 = 7α; α R}. h H = {x 1, x 2, x 3, x 4 /x 1 = α + β, x 2 = α, x 3 = 3α β, x 4 = 2α; α, β R}. i I = {x 1, x 2, x 3, x 4 /x 1 = α + 3, x 2 = α, x 3 = 2α, x 4 = 2α; α R}. j J = {x 1, x 2, x 3, x 4 R 4 /x 1 x 2 = 2x 1 + x 4 = 0} Sea P 3 [x] es espacio vectorial de los polinomios cúbicos. Determinar si los siguientes subconjuntos de P 3 [x] son subespacios vectoriales: a El conjunto de polinomios px P 3 [x] que verifican p1 = 0. b El conjunto de polinomios px P 3 [x] tal que p1 = p2 = 0. c El conunto de polinomios px P 3 [x] tal que p1 = p2 = p3 = 0. d El conjunto de polinomios px P 3 [x] tal que p1 = Sea E el espacio vectorial de las funciones f : R R con las operaciones usuales. Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de E son subespacios vectoriales: a Las funciones pares. f es par si f x = fx, x R. b Las funciones impares. f es impar si f x = fx, x R. c Las funciones continuas. 2

3 d Las funciones no negativas. f es no negativa si fx 0, x R. e Las funciones que verifican f1 = f2 3. f Las funciones constantes fx = c Sea M n n R el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n con las operaciones usuales. Verificar si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a El subconjunto de las matrices triangulares superiores de orden n. b El subconjunto U = {B M n n R / BA = AB} siendo A una matriz fija Sean los subespacios U = {λ, λ, λ λ R} y V = {x, y, z R 3 / x = y}. Construir vectores pertenecientes a la suma U + V Se consideran los subespacios vectoriales V y W de R 4, donde V es el conjunto V = {x 1, x 2, x 3, x 4 x 1 = x 2 = x 3 } y las ecuaciones paramétricas de W son: x 1 = λ + µ + β + 3γ, x 2 = λ + µ + 2γ, x 3 = λ + γ, x 4 = λ + β Calcular la suma y la intersección de los dos subespacios En el espacio vectorial R 3 se consideran los subespacios vectoriales: W 1 = {x, y, z/x + y + z = 0}, W 2 = {t, 2t, 3t/ t R} Demostrar que R 3 es suma directa de W 1 y W Dados los subespacios vectoriales U 1 = {λ, 0 / λ R} y U 2 = {x, y R 2 / x = y} del espacio vectorial R 2. Determinar si U 1 y U 2 son subespacios vectoriales suplementarios en R 2. Lo mismo para U 1 y U Comprobar si se cumple necesariamente la igualdad U S S U En P n [x], los polinomios pares son los miembros del conjunto definido por P = {p P n [x] / p x = px x}, mientras que los polinomios impares son los miembros del conjunto I = {p P n [x] / p x = px x}: a Demostrar que P e I son subespacios vectoriales de P n [x]. b Demostrar que son subespacios vectoriales suplementarios Demostrar que la suma y la intersección de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. 4 Dependencia e independencia lineal 4.1. Determinar a y b para que el vector 1, 0, a, b pertenezca al subespacio generado por los vectores 1, 4, 5, 2 y 1, 2, 3, Sea S = {1, 1, 1, 0, 1, 2} un sistema de vectores de R 3 y sea LS el subespacio generado por los vectores de S. Calcular unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas de LS. Determinar si los vectores 1, 2, 3, 1, 0, 1 y 1, 2, 1 pertenecen o no a LS Determinar si los siguientes sistemas de vectores de R 3 son libres o ligados: S = {1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1}; S = {1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 4}; S = {1, 1, 1, 0, 0, 0}; S = {1, 1, 1} y S iv {1, 1, 1, 2, 2, 2}. 3

4 4.4. Si v 1, v 2, v 3 son tres vectores linealmente dependientes: Se puede asegurar que v 1 depende linealmente de los otros dos? Se puede asegurar que uno de los vectores es combinación lineal de los otros dos? Razonar las respuestas Demostrar que los sistemas de vectores S = {1, 1, 2, 0, 1, 1} y S = {1, 0, 1, 2, 1, 1} son equivalentes Construir un sistema S equivalente al sistema de vectores: S = {1, 1, 1, 2, 0, 1}. Calcular las ecuaciones implícitas del subespacio generado por S y del generado por S. Explica el resultado, siempre ocurre esto? 4.7. Estudiar si los siguientes sistemas son libres o ligados, y en este último caso, calcular un sistema libre equivalente: S 1 = {1, 2, 3, 0, 4, 3, 4, 16, 7, 3, 4, 5}. S 2 = {1, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1}. S 3 = {4, 5, 7, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1}. S 4 = {1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0} En el espacio vectorial R 4, consideramos los subespacios vectoriales: V 1 = 1, 2, 0, 1 ; V 2 = {x, y, z, t/x y + z + t = 0, y z = 0}; V 3 = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 = λ, x 2 = λ + µ, x 3 = γ, x 4 = µ} Determinar si el vector v = 2, 4, 0, 2 pertenece a alguno de ellos. Calcular un sistema de generadores, unas ecuaciones implícitas y unas paramétricas de cada uno de los subespacios Si U 1 y U 2 son subespacios de V definidos de la forma: U 1 = v 1, v 2,..., v n y U 2 = w 1, w 2,..., w m, demuéstrese que: U 1 + U 2 = v 1, v 2,..., v n, w 1, w 2,..., w m. 5 Bases 5.1. Calcular una base del subespacio de R 4 cuyas ecuaciones paramétricas son: x 1 = λ + α + β, x 2 = λ α + 3β, x 3 = λ + 2α, x 4 = 2λ + 3α + β 5.2. Demostrar que el sistema de vectores S = {2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 3} es una base de R 3. Calcular las coordenadas del vector 1, 1, 2 en la base S Extender el sistema de vectores S = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1} para formar una base de R Se consideran los subespacios vectoriales de R 3 : V 1 = {0, x 2, x 3 / x 2, x 3 R}; V 2 = L{1, 1, 1, 1, 2, 3} Determinar su suma y hallar una base de la misma. Calcular la intersección de ambos subespacios Dado el subespacio V de R 5 generado por los vectores 0, 2, 1, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, obtener un subespacio suplementario. 4

5 5.6. Se consideran los subespacios V y W, de R 3, definidos de la forma: V = {x 1, x 2, x 3 / x 1 = λ + γ, x 2 = µ + γ, x 3 = λ + µ + 2γ}, W = {y 1, y 2, y 3 / y 1 y 2 + 2y 3 = 0} Hallar: a Una base de V y otra de W. b Una base de V + W y unas ecuaciones implícitas de V W. c Un suplementario de la suma V + W. d Las coordenadas del vector 2, 3, 5 expresadas respecto de la base de V + W del apartado b Sea P 3 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, con coeficientes reales, y tomemos a B = {x 3, x 2, x, 1} como base de referencia. Sea V el subespacio de P 3 [x] definido por V = x 2 + 2x, x 2 + x, x 2 + x. Sean W y Ω los subespacios de P 3 [x] cuyas ecuaciones implítas y paramétricas respectivamente, en la base B, son: W = {x 2 + x 3 = 0; 2x 2 x 3 = 0} Ω = {x 1 = 0, x 2 = β, x 3 = 0, x 4 = α + β} Calcular: i V W. ii V + W. iii Estudiar si V y W son suplementarios. iv Una base de V Ω. v Unas ecuaciones implícitas de V + Ω En el espacio vectorial de las funciones reales de variable real f : R R consideramos los subespacios vectoriales V 1 y V 2. Calcular V 1 + V 2 y V 1 V 2. V 1 = 1, e x, e x, sinh x, cosh x ; V 2 = cos 2 x, sin 2 x, e x 5.9. Dados los polinomios p 1 x = 1, p 2 x = x + 1 2, p 3 x = x y p 4 x = x 3, demostrar que constituyen una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres. Hallar las coordenadas del polinomio px = x respecto de dicha base Encontrar una base de los siguientes subespacios vectoriales del espacio vectorial P 3 [x] de los polinomios cúbicos: a El subespacio de los polinomios cúbicos px tal que p1 = 0. b El subespacio de polinomios px tal que p1 = p2 = 0. c El subespacio de polinomios px tal que p1 = p2 = p3 = 0. d El subespacio de polinomios px tal que p1 = p2 = p3 = p4 = 0. Problemas generales G.1. Sean V 1 y V 2 dos subespacios vectoriales de R 4, definidos de la forma: V 1 =< 2, 2, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 3, 2, 0, 1 > V 2 = { x 1, x 2, x 3, x 4 R 4 / x 1 2x 2 + x 4 = 0, x 2 + x 3 2x 4 = 0 } a Calcular unas ecuaciones implícitas del subespacio V 1 y un sistema de generadores del subespacio V 2. b Calcular una base de V 1 + V 2 y otra de V 1 V 2. Son suma directa? 5

6 c Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de un suplementario del subespacio V 1. G.2. Se consideran en el espacio vectorial R 4 los subespacios vectoriales siguientes: E 1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, E 2 = 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 2, 5 E 3 = {x, y, z, t R 4 /x y + z t = 0, x 2z + t = 0} Calcular: a E 1 + E 2, E 1 + E 3 y E 2 + E 3, precisando sus dimensiones. Es suma directa en algún caso? b Unas ecuaciones implícitas de E 1 E 2 y de E 1 E 3. c Un suplementario de E 2 E 3. G.3. En el espacio vectorial R 3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: V =< 1, 1, 2, 1, 3, 1 >, W = {x, y, z R 3 / x + y + 2z = 0} a Calcula V + W y V W. Forman suma directa? b Calcula las ecuaciones implícitas de un suplementario de W. G.4. Sobre el espacio vectorial R 4 se definen los siguientes subespacios: U = {x, y, z, t R 4 /x = λ + µ, y = 2λ µ, z = λ + µ, t = 2λ + µ, λ, µ R} V = 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 5 W = {x, y, z, t R 4 /x 2y + 2z = 0, x 4z + 2t = 0} a Obtener una base de cada uno de los subespacios anteriores. Encontrar, además, las ecuaciones paramétricas e implícitas que definen U y V. b Hallar una base de los subespacios V + W y V W. Se verifica que U V = R 4? c Calcular U W S + V S. G.5. En el espacio vectorial R 4 se definen los siguientes subespacios: U = {x, y, z, t R 4 /x = λ, y = λ, z = λ + µ, t = 2λ + 2µ, λ, µ R} V = 2, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 3, 1, 4 W = {x, y, z, t R 4 /x + z = 0, x 2z = 0} a Obtener una base de cada uno de los subespacios anteriores. Encontrar, además, sus ecuaciones paramétricas e implícitas. b Hallar una base de los subespacios U + V y U V. Se verifica que U W = R 4? c Calcular V W S + U S. G.6. En el espacio vectorial R 4 se definen los siguientes subespacios: U = {x, y, z, t R 4 /x = t, y = z, y = 2t} V = 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2 W = {x, y, z, t R 4 /x = 0, y = λ + µ, z = λ + µ, t = λ + 2µ, λ, µ R} a Obtener una base de cada uno de los subespacios anteriores. Encontrar, además, sus ecuaciones paramétricas e implícitas. 6

7 b Hallar una base de los subespacios U + V S S y V W. c Se verifica que V U W? G.7. Sobre el espacio vectorial R 4 se definen los siguientes subespacios: U = {x, y, z, t R 4 /x = λ + µ, y = 2λ + µ, z = 2λ + µ, t = 3λ + µ, λ, µ R} V = 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 2 W = {x, y, z, t R 4 /y 3z + t = 0, x y z + t = 0} a Obtener una base de cada uno de los subespacios anteriores. Encontrar, además, las ecuaciones paramétricas e implícitas que definen U y V. b Hallar una base de los subespacios V + W y V W. Se verifica que U V = R 4? c Calcular V W + U S S. G.8. En el espacio vectorial R 4 se definen los siguientes subespacios: U = 1, 1, 1, 1 V = {x, y, z, t R 4 /x = λ, y = 2λ + µ, z = 3λ + µ, t = µ, λ, µ R} W = {x, y, z, t R 4 /2x y + t = 0} a Obtener una base de cada uno de los subespacios anteriores. Encontrar, además, sus ecuaciones paramétricas e implícitas. b Hallar una base de los subespacios U S + V y V W. Se verifica que U W = R 4? c Calcular W S + U S. G.9. En el espacio vectorial P 3 [x] de los polinomios de grado menor o igual que tres se consideran los siguientes subespacios vectoriales: V 1 = 1 + x x 2 2x 3, 1 2x 3, 2 + x x 2 4x 3 V 2 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/ a + b c d = 0} V 3 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/ a = α + β, b = α + 2β, c = β, d = α} a Calcular V 1 + V 2, V 2 + V 3 y V 1 + V 3 precisando sus dimensiones. Determinar en qué casos la suma es directa. b Calcular una base de los subespacios V 1 V 2, V 2 V 3 y V 1 V 3. c Calcular unas ecuaciones paramétricas de V 1 V 2 S. G.10. Sean E 1, E 2 y E 3 subespacios de R 4 dados por: E 1 = {x, y, z, t R 4 /x 2y + t = 0, y z = 0, x y z + t = 0} E 2 = α + γ, β + λ, α λ, γ + λ E 3 = 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1 y sea E 4 tal que un suplementario suyo es el subespacio V = α + β, β λ, γ λ, γ + λ con α, β, γ, λ R. a Existe algún par de subespacios E i que sean suplementarios? Y suma directa? Justificar la respuesta y el razonamiento seguido. b Cacular una base y ecuaciones implícitas de de E 2 E 3 S. Idem para E 1 E 2 + E 4. G.11. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres P 3 [x]: a Verifíquese que los sistemas de vectores: B 1 = {1, x, x 2 }, B 2 = { x 1x 2 {1, x, xx 1} son bases de P 3 [x] , xx , xx } y B 3 = 7

8 b Expresar el polinomio: px = 1 + x + x 2 en cada una de las bases. Dar explícitamente las fórmulas de cambio de base. c De un polinomio sabemos que pasa por los puntos 0, 1, 1, 2, 2, 0 y 3, 1. Expresa dicho polinomio respecto de cada una de las bases anteriores. Determinar en que caso el trabajo ha sido más sencillo. G.12. Sea M 2 2 R el espacio vectorial de las matrices 2 2 y sean V 1 y V 2 los subespacios: V 1 = c { a b } d M 2 2 R, a + b + c + d = 0, a b = 0 V 2 = , , a Calcular las ecuaciones implícitas de V 2 y una base de V 1. b Calcular la suma y la intersección de ambos subespacios. c Calcular una ecuaciones implícitas de un suplementario de V 2. G.13. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres se consideran los subespacios siguientes: E 1 = < 2 + 2x + x 2, 3x 2 + 2x 3, x 2 >, E 3 = < 1 + x + 3x 2 + x 3 > E 2 = { px = a + bx + cx 2 + dx 3 E / a + b + c = 0, 2c + d = 0 } a Calcular E 1 + E 2, E 2 + E 3 y E 1 + E 3 precisando sus dimensiones. En qué casos es suma directa? b Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de E 1 E 2. G.14. Sea P 3 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres con coeficientes reales y consideremos los subespacios de P 3 [x] siguientes: V =< x 2 + 2x, x 2 + x, x 2 + x >, W = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/b + c = 0, 2c d = 0} Ω = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a = α, b = β, c = 2α + β, d = γ + β α} a Calcular V + W y V W, Son V y W suplementarios? b Calcular una base de V + Ω, W + Ω y W Ω. c Calcular unas ecuaciones implícitas de V Ω. G.15. En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres, P 3 [x], se definen los subespacios de la forma: U = { a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a + b + d = 0, a b c + 2d = 0 } V = { a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a = 3λ, b = λ + µ, c = µ, d = 2λ + 2µ, λ, µ R } W =< 1 + x + x 2 + x 3, 1 + 2x + 3x 3, 1 x + 3x 2 3x 3 > a Calcular una base de cada subespacio. Calcular las intersecciones U V y U W. Obtener un suplementario U S. b Determinar si la siguiente afirmación es cierta, razonando la respuesta: W S es el mismo subespacio que U. 8

9 c Encontrar una base de U + V y U + W. Señalar si algún caso forma suma directa. G.16. En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres P 3 [x], se definen los siguientes subespacios vectoriales: E 1 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a d = 0, b c = 0, a b + c d = 0} E 2 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a = α + γ, b = α + 2β, c = 2β + γ, d = α γ} E 3 = 2 + x + x 2, x 3 a Calcular una base de E 1 E 3 y unas ecuaciones implícitas de E 2 E 3. b Calcular una base de E 1 + E 2 y unas ecuaciones implícitas de un suplementario de E 1 E 2. G.17. En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres P 3 [x], se definen los siguientes subespacios vectoriales: E 1 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a d = 0, b c = 0, a b + c d = 0} E 2 = {a + bx + cx 2 + dx 3 P 3 [x]/a = α + γ, b = α + 2β, c = 2β + γ, d = α γ} E 3 = 2 + x + x 2, x 3 a Calcular una base de E 1 E 3 y unas ecuaciones implícitas de E 2 E 3. b Calcular una base de E 1 + E 2 y unas ecuaciones implícitas de un suplementario de E 1 E 2. 9