Aplicaciones lineales (Curso )

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1 ÁLGEBRA Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso ) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos. Obtener también, con respecto a bases que se definirán, la expresión matricial, base y ecuaciones del núcleo y la imagen de todos los homomorfismos. (a) f : IR IR, f(x) 3x + 2 (b) g : IR 2 IR 3, g(x, y) (x, y, x + y) (c) h : IR 2 IR 2, h(x, y) (xy, x 2y) (d) u : P 3 (IR) P 2 (IR), (e) v : M 2 3 S 3, u(p(x)) p (x) a b c v d e f a + b a b c a b d e + f c e + f e f (Notaciones: M m n es el espacio vectorial de las matrices m n con elementos reales; P n (IR), el espacio de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que n; S n, el espacio de las matrices simétricas n n con elementos reales). 2. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin término independiente se transforman por f en sí mismos. (2) El núcleo de f es el subespacio de los polinomios de P 2 (IR) que tienen los tres coeficientes iguales. (a) Matriz del homomorfismo f en la base canónica de P 2 (IR), B {1, x, x 2 }. (b) Base del subespacio transformado del de ecuaciones paramétricas a 0 λ + ρ a 1 λ ρ a 2 λ (c) Dar una determinación de la restricción de f al subespacio { a0 2a 1 0 a 1 + a 2 0 (d) Sea g : P 2 (IR) P 1 (IR) definido así: g(p(x)) p(x) p(x 1). Encontrar la matriz de la aplicación g f (1) en las bases canónicas de P 2 (IR) y P 1 (IR), (2) en la base {1 + x + x 2, 1 + x, 1} en P 2 (IR) y la canónica en P 1 (IR), (3) en la base canónica en P 2 (IR) y la {1 + x, 1 x} en P 1 (IR), (4) en las bases {1 + x + x 2, 1 + x, 1} en P 2 (IR) y {1 + x, 1 x} en P 1 (IR).

2 3. Dada la matriz A ( ) y las bases B 1 {(2, 1), (1, 1)} en IR 2 y B 2 {(0, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 2, 0)} en IR 3, se pide hallar las matrices, en las bases canónicas respectivas, de las siguientes aplicaciones lineales f : IR 2 IR 3 : (a) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la canónica, (b) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la canónica y en IR 3 la base B 2, (c) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la base B En IR 3 se consideran los subespacios que tienen las siguientes ecuaciones implícitas en la base canónica: { x 1 + 2x 2 + x 3 x 1 2x 0; 2 x 2 x 3 Determinar la matriz de la proyección sobre el primero paralelamente al segundo, y viceversa. 5. Sea S 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales simétricas 2 2. Sea P 2 (IR) el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Definimos la aplicación: ( p f : P 2 (IR) S 2 (IR); f(p(x)) (0) p ) (1) p (1) p ( 1) (a) Probar que f es una aplicación lineal y escribir la matriz asociada a f con respecto a las bases canónicas de P 2 (IR) y S 2 (IR). (b) Probar que B {x 2, (x 1) 2, (x + 1) 2 } es base de P 2 (IR). (c) Calcular las ecuaciones cartesianas del núcleo de f expresadas en coordenadas en la base B. (d) Calcular una base de la imagen de f y escribir las ecuaciones cartesianas de un espacio suplementario. (e) Sea U {A S 2 (IR)/traza(A) 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de S 2 (IR). Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de U, U Im(f) y U + Im(f). (Examen parcial, enero 2004) 6. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial real de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2. Sean α, β, γ tres números reales. Definimos la aplicación f : P 2 IR 3, f(p(x)) (p(α), p(β), p(γ)) (a) Demostrar que f es una aplicación lineal. (b) Demostrar que f es un isomorfismo si, y sólo si, los números α, β, γ son todos distintos. (c) Para α 1, β 1, γ 1, encontrar bases de Ker f e Im f. (d) Sean α 0, β 2, γ 1. Encontrar, si es que existen, una base en P 2 (IR) y otra en IR 3 con respecto a las cuales la matriz de f sea la identidad. Si no existen tales bases, justificarlo. (Examen final, julio 2002)

3 7. Sea el espacio vectorial V de las funciones reales de una variable, definidas sobre IR, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por un escalar. Si φ es la aplicación que hace corresponder a cada terna de números reales (a, b, c) la función f (a,b,c) definida por: f (a,b,c) (x) asen 2 x + bcos 2 x + c, x IR a) Probar que φ es una aplicación lineal de IR 3 en V. b) Hallar una base de la imagen y otra del núcleo, analizando si φ es inyectiva o sobreyectiva. c) Comprobar que el conjunto U formado por las funciones constantes es un subespacio vectorial de V. Hallar su dimensión y una base. d) Hallar el conjunto origen de U, si es un subespacio vectorial dar una base. (Primer parcial, febrero 1999) 8. Sea f una aplicación lineal del espacio vectorial real S 2 de las matrices simétricas de dimensión 2, en el espacio vectorial real M 2 2 de las matrices cuadradas de dimensión 2, siendo: f 2 0, f, f 2 1 (a) Matriz de f, indicando las bases en las que está definida. (b) Ecuaciones { paramétricas ( de la imagen ) ( de f, en )} la base ,,, { 2 2 (c) Ecuaciones cartesianas del núcleo de f, en la base, , ( 0 ) } 2 1. (d) Encontrar un subespacio de S 2 y otro de M 2 2, ambos de dimensión 2, entre los que la restricción de f a ellos sea biyectiva. (Primer parcial, enero de 2002) 9. Para cada k IN, sea P k el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que k y coeficientes reales. Sabemos que es una base de P k. (a) Fijado un n IN, se define la aplicación B k {1, x 1, (x 1) 2, (x 1) 3,..., (x 1) k } f : P n P n+1, f(p(x)) (x 1)p(x) Demostrar que f es una aplicación lineal. (b) Determinar el núcleo de f. Es f inyectiva?

4 (c) Demostrar que la imagen de f coincide con el conjunto de los polinomios de P n+1 que se anulan en x 1. Encontrar la dimensión y una base de dicho subespacio. (d) Dar la matriz que representa a f en las bases B n {1, x 1, (x 1) 2, (x 1) 3,..., (x 1) n } en P n B n+1 {1, x 1, (x 1) 2, (x 1) 3,..., (x 1) n+1 } en P n+1 (e) Para n 3, existe alguna aplicación lineal g : P 4 P 3 tal que g f sea la identidad de P 3? Si existe, dar su matriz en las bases B 4 y B 3. Si no existe, justificarlo. (Primer parcial, febrero 2003) 10. (a) Decidir si existe alguna aplicación lineal f : IR 3 IR 4 tal que ker f {(x 1, x 2, x 3 ) IR 3 : x 1 x 3 x 2 0}, Im f {(y 1, y 2, y 3, y 4 ) IR 4 : y 1 y 2 y 2 y 3 0}. Si existe, dar la matriz (con respecto a las bases canónicas de IR 3 y IR 4 ) de una que verifique estas condiciones. Si no existe, demostrarlo. (b) Idem para ker f {(x 1, x 2, x 3 ) IR 3 : 2x 1 x 2 + x 3 0}, Im f {(y 1, y 2, y 3, y 4 ) IR 4 : y 1 + 2y 2 y 1 y 3 0}. (Primer parcial, febrero 2001) 11. Sean los espacios vectoriales IR 3 y IR 4 y una familia de aplicaciones lineales entre ellos: f α : IR 3 IR 4. Si la matriz de f α en las bases canónicas de IR 3 y IR 4 es: F α 2α 0 α 1 α 1 α α α α α α, α IR Para todos los valores de α, hallar una base del núcleo y otra de la imagen. (Examen extraordinario, septiembre 2004) 12. Sean U, V y W tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, f y g aplicaciones lineales f : U V y g : V W. Demostrar que: (Primer parcial, enero de 2002) Ker(g f) f 1 (Kerg Imf)

5 13. Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y f, g : E E dos endomorfismos tales que f + g i E y g f θ (i E denota el endomorfismo identidad; θ el endomorfismo cero). Demostrar que E Imf Img. (Primer parcial, febrero 2001) 14. Sean S 1 y S 2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Considérense las aplicaciones f g S 1 S 2 S 1 S 2 V (a) Demostrar que f y g son homomorfismos. (b) Calcular el núcleo y la imagen de f y g. (c) Deducir que si V es de dimensión finita, f( x) ( x, x) g( x 1, x 2 ) x 1 + x 2 dim(s 1 + S 2 ) + dim(s 1 S 2 ) dims 1 + dims 2. (Primer parcial, febrero 1996) 15. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) En el espacio vectorial real de las funciones derivables f : IR IR, se considera el subespacio V generado por las funciones senx y cosx. La aplicación t : V V que lleva cada función de V a su derivada no está bien definida porque su imagen no está contenida en V. es inyectiva pero no sobreyectiva. es sobreyectiva pero no inyectiva. es un automorfismo. (Examen final, junio 2000) (b) Dado un espacio vectorial real V de dimensión n y en él un endomorfismo f que cumple que f 2 f f θ (homomorfismo nulo) Ker f Img f. Img f Ker f. Ker f V. Ker f Img f V. (Primer parcial, febrero 1997)

6 (c) Sean V y U espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Sean { v i } y { v i } bases de V ; {ū j} y {ū j } bases de U. Si { v i } C{ v i }, {ū j } F {ū j} y la matriz de un homomorfismo f : V U con respecto a las bases { v i } y {ū j } es A, la matriz de f con respecto a { v i } y {ū j } es C 1 AF 1 C 1 AF F AC CAF 1 (Primer parcial, febrero 1999) (d) Siendo f una aplicación lineal de IR 4 en IR 3, cuya matriz asociada en unas determinadas bases es k 0 1 0, k 1 k k f es un epimorfismo si k 0. f es un monomorfismo si k 0. f es un monomorfismo si k 0. f es un epimorfismo si k 0. (Primer parcial, febrero 1997) (e) Dado el conjunto V de los homomorfismos de IR 3 en IR 2, todos los elementos de V son sobreyectivos. algún elemento de V puede ser biyectivo. no es cierta ninguna de las afirmaciones restantes. no existe ningún elemento de V que sea inyectivo. (Primer parcial, febrero 1997) (f) Sean dos espacios vectoriales reales U y V y dos homomorfismos f : U V y g : V U, que cumplen g f θ Imf Kerg Img Kerf Kerf Img Kerg Imf (Primer parcial, enero 2004) (g) De las aplicaciones lineales de IR 3 en IR 4 Todas son inyectivas. Ninguna es sobreyectiva. Algunas son biyectivas. Ninguna de las restantes respuestas es correcta. (Primer parcial, enero 2004)

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