Problemas de Aplicaciones Lineales

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1 Problemas de Aplicaciones Lineales Natalia Boal Francisco José Gaspar María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1. En los siguientes ejercicios determina si la aplicación f : IR 2 IR 2 es lineal: a fx, y = 3x + y, x 2y. b fx, y = x 1, x y. c fx, y = 3x + y, x 2y En los siguientes ejercicios determina si f : IR 1 [x] IR 1 [x] es lineal: a fa + bx = 3a + b + a 2bx. b fa + bx = a b + a + b + 1x. c fa + bx = a 5b + abx. d fp = 10p Sea f la aplicación lineal tal que f 1, 1 = 8, 5 y f2, 2 = 9, 4. Determina fx, y y f 15, Sea f : IR 1 [x] IR 1 [x] la aplicación lineal tal que f 1+x = 8+5x y f2+2x = 4 + 9x. Determina fa + bx y f10x Sea f : IR 2 [x] IR 1 [x] la aplicación lineal tal que f1 + x + x 2 = 1 + 3x, f1 + x x 2 = 3 + 2x, f1 x + x 2 = 1 + 2x. Determina fa + bx + cx 2 y f x 10x Sea {v 1, v 2, v 3 } una base de IR 3 y f : IR 3 IR 2 la aplicación lineal tal que Determina fx v 1 + y v 2 + z v 3. fv 1 + v 2 + v 3 = 3, 1 f v 1 + v 2 + v 3 = 2, 3, fv 1 v 2 + v 3 = 2, Sea f : IR 2 [x] IR 2 [x] la aplicación lineal definida como fax 2 + bx + c = a + cx 2 + b + cx. 1

2 a Está x 2 x 1 en Ker f? b Está x 2 + x 1 en Ker f? c Está 2x 2 x en Im f? d Está x 2 x + 2 en Im f? e Determina una base para Ker f. f Determina una base para Im f. 8. Sea f : IR 2 IR 3 definida como fx, y = x, x + y, x. a Determina Ker f. b Es f inyectiva? y suprayectiva? 9. Determina en los siguientes ejercicios bases para el núcleo y el espacio imagen de la aplicación f. En cada caso, verifica el teorema de la dimensión. a fx, y, z = x y, y z, x + z. b fx, y, z, t = x y, y t, z + t. c fx, y = x 2y, x 2y, 2x 4y, 0. d fa + bx + cx 2 = a b + b cx + a + cx 2. e fa + bx = a 2bx + a 2bx 2 + 2a 4bx Demuestra que las siguientes aplicaciones son inyectivas: a fx, y = 2x + y, 3x + 4y. b fx, y = 2x y, x y, x + y, x 2y. c fa + bx + cx 2 = 2a b + b + cx + 3a + cx 2. d fa + bx = 2a b + a bx + a + bx 2 + a 2bx Demuestra que las siguientes aplicaciones son suprayectivas: a fx, y = x y, x + 2y. b fx, y, z = x y + z, x + y + z. c fa + bx + cx 2 = a + b + a + cx. d fa + bx + cx 2 = c + bx + ax Demuestra que las siguientes aplicaciones son biyectivas: a fx, y = x 2y, 2x + y. b fx, y, z = x y + z, x + y + z, y + z. c fa + bx + cx 2 = c + bx + a bx Sea f HomIR 2, IR 4 definido por f2, 1 = 1, 0, 1, 3 y f4, 1 = 2, 2, 3, 1. 2

3 a Determina fx, y. b Determina la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de IR 2 y IR 4 respectivamente. c Halla Imf y Kerf. 14. Sea f un endomorfismo de IR 3 dado por f 1, 1, 3 = 6, 4, 16, f 2, 1, 1 = 2, 5, 1 y f3, 2, 1 = 1, 14, 12. a Halla la ecuación coordenada de f respecto de la base canónica. b Determina Imf y Kerf y estudia si f es biyectiva. 15. Considera f EndIR 3 dado por f0, 0, 1 = 10, 5, 3 y fs = 3s, s S, siendo S = { x, y, z IR 3 / x + y + z = 0 }. Determina la ecuación de f respecto de la base canónica. 16. Sea V = IR 2 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que cuatro de coeficientes reales. Sean dos bases de V. B 1 = { x, x 2 + 1, x 2 + x }, B 2 = { 1, x 2 + 2x, x 2 } a Determina una matriz de cambio de base entre la base canónica y la base B 1. b Determina una matriz de cambio de base entre la base canónica y la base B 2. c Determina una matriz de cambio de base para el par de bases B 1 y B 2. d Halla las coordenadas del polinomio px = x 2 + x + 1 respecto de las bases B 1 y B Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo IR y B = {u 1, u 2, u 3 } una base de V. Considera f, g EndV dados por: fu 1 = u 1 u 2 + u 3, fu 2 = u 3, fu 3 = u 2, gu 1 = u 1 + u 2, gu 2 = u 1 u 2, gu 3 = u 3. Respecto de la base B, determina las matrices coordenadas de los endomorfimos de V : f, g, f + g, f g, g f y λf con λ IR. 18. Sean V, W dos espacios vectoriales definidos sobre el cuerpo IK y {v 1, v 2, v 3, v 4 } y {w 1, w 2, w 3 } bases de V y de W, respectivamente. Considera f HomV, W dado por fv 1 = w 1 w 3 fv 2 = w 2 + w 3, fv 3 = w 3, fv 4 = 0 W. Determina la ecuación Y = AX de f respecto de las bases anteriormente dadas. Estudia si f es inyectiva y si es suprayectiva. 3

4 19. Sea V un espacio vectorial real y B = {v 1, v 2, v 3 } una base de V. Para cada λ IR se define f λ EndV que respecto de la base B tiene por matriz coordenada A λ = λ 1 λ 1 λ 0 1 λ 1. Estudia según los valores de λ si f λ es inyectiva y/o suprayectiva. 20. Sean V = IR 3 [x] y W = IR 2 [x]. Considera la aplicación fa 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 3a 3 x 2 + 2a 2 x 2 + a 1, es decir, la aplicación que asocia a cada polinomio su derivada. a Determina respecto de las bases canónicas la matriz coordenada de f. b Demuestra que f es suprayectiva. c Halla Kerf. 21. Sea f HomIR 3, IR 2 definido por fx, y, z = x + y, y + z. a Halla B matriz coordenada de f respecto de {1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0} base de IR 3 y {1, 2, 0, 1} base de IR 2. b Si se denota por A a la matriz coordenada de f respecto de las bases canónicas de IR 3 y IR 2, respectivamente. Justifica que A y B son matrices equivalentes y encuentra las matrices que establecen tal equivalencia. 22. Sea f EndM 2 IR definido por a b f c d a 0 = c a. a Determina A la matriz coordenada de f respecto de la base canónica. b Encuentra matrices P, Q tales que B = P AQ, siendo B la matriz coordenada de f respecto de la base A 1 = 0 1, A 2 = c Estudia si f es biyectiva. 23. Sea f : IR 3 IR 2 dada por: , A 3 = fx 1, x 2, x 3 = 3x 1 2x 3, x 1 + 4x 2 + 5x 3. a Prueba que f Hom IR 3, IR 2., A 4 = b Determina la ecuación coordenada Y = AX respecto de las bases canónicas. 4.

5 c Halla Im f y Ker f. d Halla la ecuación Ỹ = B X respecto de las bases: { 2, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1 } y { 3, 1, 1, 4 }. e Halla matrices regulares P y Q tales que B = P A Q. 24. Sea f Hom IR 3, IR 2 que hace corresponder a los vectores 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0 los vectores 0, 1, 0, 2, 1, 1 respectivamente. a Construye la matriz coordenada de f respecto de las bases canónicas de IR 3 y IR 2, respectivamente. b Determina fs siendo S = {x 1, x 2, x 3 IR 3 / x 1 + x 2 x 3 = 0}. c Halla Ker f, Imf. 25. Sea h End IR 4 verificando: Ker h = { x, y, z, t IR 4 x + y + z = 0, t = 0 } Los vectores 1, 1, 1, 0 y 0, 0, 0, 1 son fijos. a Construye la matriz coordenada de h respecto de la base canónica de IR 4. b Determina la matriz del endomorfismo respecto de la base: B = { 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }. 5