Transformaciones lineales

Transcripción

1 Transformaciones lineales. Determine si las siguientes aplicaciones son o no lineales. Justifique su respuesta: a) T : R R; T( x) = x b) T : R R ; T(x, y) = (x y, x) c) T : R R ; T(x, y, z) = ( y, z x + ) d) T : R R ; T(x, y) = (x, y) e) T : R R; T(x, y) = xy 4 f) T : R R ; T(v) = -v 4 g) T : R R ; T(v) = v + (0, -, 0). Demuestre que F : R R definida por F(x, y) = (ax + by, cx + dy), donde a, b, c, d R, es una aplicación lineal.. Determine si las siguientes aplicaciones de ( R) M en R son o no lineales a) T = a + d c d b) T = ad bc c d c) T = a + b c d d) T = a + b d c d 4. Sea B una matriz real de orden n y consideremos la función T : M n ( R) M ( R) definida por T(A) = AB. Demuestre que T es una transformación lineal. 5. Sean V, W espacios vectoriales sobre κ y T : V W transformación lineal. Demuestre que T(0) = 0 y, mediante un ejemplo, muestre que T(0) = 0 no es una condición suficiente para que T sea una transformación lineal. 6. Sea V espacio vectorial sobre R y sean f, g funciones lineales de V en R. Definamos T : V R por T(v) = ( f(v), g(v) ). Demuestre que T es una transformación lineal y determine Ker T. n

2 V aplicación lineal y sea {,, υn} V υ K es linealmente independiente. Demuestre que {, υ } 7. Sea T : W { T( ),, T( υn )} linealmente independiente. 8. Sea T : W υ K un conjunto tal que υ K, n es V aplicación lineal y sea {,, υn} V independiente. Si T es inyectiva, demuestre que { T( ),, ( υ )} independiente. υ K un conjunto linealmente υ K T n es linealmente 9. Sea T : R R transformación lineal tal que T(, ) = (-, 5) y T(-, -) = (, 4). Calcule T(, 0), T(0, ) y encuentre una expresión para T(a, b), con (a, b) 0. Encuentre una transformación lineal F : [ x] F(0,, ) = + x y F(,, ) = x. R. R P tal que F(, 0, -) = x,. Decida si las siguientes funciones son o no aplicaciones lineales. Para las que sean lineales, determine el núcleo y la imagen. a) T : R R; T(x, y) = x y + xy b) T : R P [ x] ; T(a, b) = (a + b) + (a b) x c) T : R R ; T(x, y, z) = (x z, y + x) d) T : M ( R) R; T(A) = det(a) t e) T : M ( R ) M( T(A) = A f) T : P [ x] P [ x] ; T( p( x) ) x p( x) 4 = g) T : C ([ a,b] ; R ) R; T(f ) = b f (x)dx a. Encuentre bases para Ker T (núcleo de T) e Im T (imagen de T) para cada una de las ρ T + η T. siguientes aplicaciones lineales. Verifique que dim V = ( ) ( ) a) T : R R ; T(x, y, z) = (x, x + y, 0) b) T : R R; T(a, b, c) = a b + 4c c) T : R R ; T(x, y, z) = (x y, x y + z, x + z) d) T : M ( R) R ; T = (a c, b + c d) c d

3 e) T : M ( R) R; T(A) = tr (A) f) T : t M ( R ) M( T(A) = A cx g) T : P [ x] P [ x] ; T ( a + bx + ) = h) T : R P [ x] ; T(a, b) = b + ax ax. Considere la aplicación lineal T : [ x] P [ x] a + cx P tal que T( p(x) ) = x p(x). a) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen al núcleo de T: p(x) = x, q(x) = 0 r(x) = + x b) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen a la imagen de T: p ( x) x + x, = q(x) = + x r(x) = x. 4. Encuentre aplicaciones lineales T y R de R en R tales que Ker T = < { (-,, 0) } > y Ker R = < { (,, ), (0, 0, ) } > 5. Encuentre una aplicación lineal T de generada por { (,, 0), (, 0, ) } R en R tal que la imagen de T esté 6. Si T : V V es una transformación lineal epiyectiva y si dim V = n, demuestre que T es inyectiva. 7. Sea P = M( ) 0 R y F : M( R) M( Determine la dimensión del núcleo de F. dada por F(A) = AP PA. 8. Sea M = M( ) R y T : M( R) M( Determine Ker(T), Im(T), nulidad y rango de T. dada por T(A) = MA. 9. Sea T L(V,W) y S subespacio de V. Se define la restricción de T a S denotada T S, por T S (x) = T(x); x S. Demuestre que : a) T S es transformación lineal. b) Ker(T S ) = (KerT) S. c) Im(T S ) = T(S)

4 0. Sea T : W υ, K, υn una base de V. Si T υ i = 0, i =,, K,, demuestre que Ker T = V.. V transformación lineal y { } ( ) n. Sea T : V υ, K, υn base de V. Si T( υ i ) = υi, i =,, K, n, demuestre que T = I V (aplicación identidad de V). V transformación lineal y { }. Sea T : V W aplicación lineal. Sea w W y v o V tal que T(v 0 ) = w. Muestre que cualquier solución de la ecuación T(x) = w es del tipo u K er T. v o + u, con. Sean V, W espacios vectoriales sobre el cuerpo κ y denotemos por L(V, W) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W. Si T, S L(V, W) y α κ demuestre que T + S L(V, W) y αt L(V, W), en donde, T + S y α T se definen así: (T + S) (v) = T(v) + S(v) y α T(v) = αt(v). 4. Sean T, S, R las transformaciones lineales de R en R definidas por: T(x, y) = (x, y), S(x, y) = (y, x + y), R(x, y) = (0, x) a) Determine la imagen de (a, b) y (T o S) + (T o R) R por las aplicaciones T o (S o R), T o (S + R) b) Demuestre que { T, S, R } es un conjunto linealmente independiente de vectores del espacio L( R, R ). 5. Muestre que las siguientes aplicaciones lineales son invertibles: a) T : R R T(x, y) = (x + y, x y) b) T : R R ; T(x, y, z) = (x, x y, x + 4y z) c) T : [ x] ; T ( a,b,c) ( a c) bx ( c b) x R P = d) T : M ( R) R ; T = (a, a + d, c, b c) c d 6. Demuestre que la relación ser isomorfo a es una relación de equivalencia en el conjunto de los espacios vectoriales sobre el cuerpo IK. 7. Sean T L(V, W) y S L(V, W) isomorfismos. Demuestre que S o T es un isomorfismo. 4

5 8. Sean V, W espacios vectoriales reales de dimensión n. Demuestre que V y W son isomorfos. 9. Sea T L(V, W) tal que T T + IV = 0. Muestre que T = IV T es la aplicación identidad de V., donde I V 0. Sea W = { M ( R) : a + 5c = 0}. Demuestre que W es un subespacio c d de M ( R ) que es isomorfo a R. { / b c = 0}. Sea a + bx + cx P [ x] P [ x] que es isomorfo a R. U =. Demuestre que U es un subespacio de. Para λ R considere las transformaciones lineales Tλ : R R tales que T λ (,, ) = ( λ, 6 λ, λ), T λ (,, 0) = ( λ, 6 λ, ), T λ (, 0, ) = ( λ, 4, λ). Obtenga una base de Ker Tλ para cada λ en que T λ no es isomorfismo.. En cada caso, encuentre la aplicación lineal asociada a la matriz a) I b) b 0 b 4 0 c) 0 d) Sea T L( R, R ) tal que [T] =. Determine el núcleo y la imagen de T Para k R considere la familia de transformaciones lineales T k : R R dadas por: T k (x, y, z u) = ((k )x + (k 4)y + z u, x + y z + u, x + y + z + ku). Determine el rango de T k, de acuerdo a los valores que asuma k. 5

6 6. Considere la transformación lineal T : M( R) M( dada por T(A) = MA, 0 0 donde M = M( ) R. Verifique que [ ] 0 0 T = B donde B es la base canónica de M ( R ). 7. Sea T : R R la transformación lineal tal que T(, 0, 0) = (, -), T(0,, 0) = (-, ) y T(0, 0, ) = (0, 4). Determine la matriz de representación de T, en bases canónicas. Además, encuentre T(, -, ) y una expresión para T(x, y, z), con (x, y, z) R. 8. Sea de I : R R la aplicación identidad. Muestre que para bases distintas B y C R se tiene que [ ] I C I B (matriz identidad de orden ). 9. En cada caso, encuentre [ T ] C B en las bases B y C dadas: a) T : R R ; T(x, y) = (-y, x y, x + y) B = { (, -), (-, ) }, C = { (,, ), (0,, ), (0, 0, ) }. 4 b) T : R R ; T(x, y, z) = (x + y + z, x y + z, y + 4z, x) B={ e,e, e } base canónica de c) T : P [ x] P [ x] ; T( p( x) ) x p( x) B = { 4 = + x, + x, x x }, C = {, x, d) T : P [ x] P [ x] ; T( p( x) ) = B = { x, x }, C = {, x, R, C = {(,,0,0), (,0,0,-), (0,,,-), (0,-,0,0)} p(x) dx x } e) T : P [ x] R; T(p(x)) = < x, p(x) > usual de P [ x], B = {, x, x }, C = {}. 4 x,x,x }., donde <, > indica el producto interno 40. Encuentre una base para el conjunto solución del sistema homogéneo: 6

7 x y + x = 0 x + 0y z = 0 5x + 7y x = 0 Este conjunto solución es un subespacio que corresponde al núcleo de una transformación lineal de R en R. Encuentre una fórmula para dicha transformación y la matriz de representación de ella respecto de la base canónica de R. 4. Encuentre la matriz de cambio de base de B a C y de C a B para: a) B = { (, 0), (0, ) }, C = { (, -), (-, 4) } b) B = {(,, ), (,, 0), (, 0, 0)}, C = {(0, -, 0), (,, 0), (-,, )} 4. Considere las bases E = {, x, x } y F = { x + x +, x x, x + x } de P. Encuentre la matriz de cambio de base de E a F y de F a E. [ x] 4. Sea T : R R definida por T(x, y) = (x - y, x + y) y considere las bases de R : B = {(, -), (-, 5)}, C = {(, ), (-, )}. a) Encuentre [ ] B y [ T] C T. b) Encuentre las matrices de cambio de base P y verifique que una es la inversa de la otra. B = c) Verifique que [ T] P [ T] P. C P, de B a C y de C a B, y 44. Sea T L( R, R ) la transformación lineal cuya matriz de representación en las bases que se indican es: [ T] C B =, 0 5 donde B ={ e,e, e} es la base canónica de R y C es la base de R, C = {(,, ), (,, 0), (, 0, 0)}. Encuentre una expresión para T(x, y, z), con (x, y, z) R. 45. Sea F : R F B A, 0 R la aplicación lineal cuya matriz asociada es [ ] = donde A = {(,, 0), (, 0, 0), (0, 0, )} y B = {(, ), (0, )}. Obtenga [ ] D C F, donde C = {(-, 0, 0), (0,, ), (0,, 0)} y D = {(, 0), (0, )}. 7

8 46. Sea T : R R la aplicación lineal T(x, y, z) = (x y + z, -x + y z, -y + 5z). Es T invertible? Si lo es, determine T (x, y, z), para (x, y, z) R. 47. Sea { v, v } base de un espacio vectorial real V y sea L( V,V) T( v) = v v y T ( v ) = v + 4v. Sea {, w } T tal que w otra base de V tal que w = v + v y w = v + v. Encuentre la matriz de representación de T en w, w. la base { } 48. Sean F, G : P [ ] x R las aplicaciones lineales dadas por: F(a + bx + c x 0 ) = ( a c, b + c) y [ G] C B =, donde B = { x +, x +, x } y C = { (, 0), (0, ) }. Determine las matrices de representación de las transformaciones lineales F, F G y F + G en las bases que C C se indican: [ ] [ ] [ ] C F B, F G B y F + G E, donde E = {, x, x }. 49. Sean T : R R y S : R R las aplicaciones lineales cuyas matrices de representación en las bases indicadas son: 4 B C 0 [ T] D = 0, [ S] D =, 0 donde B = { e,e, e} y C = { e, e } son las bases canónicas de R y R respectivamente y D es la base de R : D = { (0,, ), (,, 0), (, -, -7)}. Use sólo operaciones matriciales para determinar [ S o T ] E B donde E = { (, -), (, -) } base de R. 8