Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2018 Práctica 2. Transformaciones lineales.
|
|
- Pablo Vega Castilla
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2018 Práctica 2. Transformaciones lineales. Nota: con la letra K designamos tanto a R como a C. V y W son siempre K-espacios vectoriales 1. Decida si las siguientes funciones son transformaciones lineales. En caso de serlo, determine una base del núcleo y una de la imagen. (a) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 x 2 + x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 x 3 ] T. (b) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 x 2 + x 3 x 2 x 3 x 1 ] T. (c) f : R n n R, f(x) = det X. (d) f : C n C, f([z 1... z n ] T ) = z i (para 1 i n fijo). (e) f : R 3 3 R, f(x) = trx. Puede generalizar a matrices de n n? (f) f : P 3 P 5, f(p) = ap, siendo a(t) = t t 2. (g) f : R k R n, f(x) = Ax, donde A R n k. (h) f : C (R) C (R), f(ϕ) = ϕ, siendo C (R) el espacio vectorial de funciones infinitamente diferenciables. (i) f : P 3 R, f(p) = p(0). (j) f : C C, f(z) = z. Considere el caso de C tanto como R-espacio vectorial como C-espacio vectorial. (k) f : R n n R, f(x) = X + X T. (l) f : P 2 R 3, f(p ) = [P (0) P (0) P (0) P (0)] T. 2. Sea U un K-espacio vectorial y f : V W, g : V W y h : W U transformaciones lineales. Pruebe que: (a) Las funciones f ± g : V W definidas por (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) son transformaciones lineales. (b) Si λ K, entonces λf definida por (λf)(x) = λf(x) es una transformación lineal. (c) La composición h f : V U es una transformación lineal. 3. Encuentre la expresión de la transformación lineal f, en cada caso: (a) f : R 3 P 2, tal que f([1 0 0] T ) = t 2 3, f([0 1 1] T ) = t 1, f([0 0 1] T ) = t 2
2 (b) f : P 2 R 2 2, tal que f(t 2 t) = ( ) ( , f(t 1) = 0 1 ) 1 0, f(1) = ( ) 4. Decida si existe una transformación lineal que satisface: (a) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([0 0 1] T ) = t 2 + t (b) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([1 0 0] T ) = 0 (c) f : R 3 P 2, f([0 1 1] T ) = t 2 1, f([1 1 1] T ) = t 2 1, f([1 0 1] T ) = t 2 + t 5. Demuestre que si f : R n R m es transformación lineal existe A R m n, tal que f(x) = Ax, x R n. 6. Halle bases y dimensión de Nu(f) e Im(f) para las funciones que resultaron transformaciones lineales en el ejercicio Sea f : V W una transformación lineal. Si A V y B W son subconjuntos, definimos respectivamente la imagen de A por f y la preimagen de B por f como Calcule, en cada caso, f(s) y f 1 (U). f(a) = {f(x) x A} f 1 (B) = {x V f(x) B}. (a) f : R 3 R 2, f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (2x 2 x 1, x 3 2x 2 ) T, S = {x R 3 / x 1 + x 3 = 0}, U = gen{(1, 1) T }. (b) f : P 3 R 2, f(p) = (p(0) p(1), p(0) + p( 1)) y S = { p P 3 / U = {x R 2 / x 2 = 0}. } 1 p(t)dt = 0, 1 8. Demuestre que para toda transformación lineal f : V W, se cumple: (a) Si S V es un subespacio de V = f(s) es un subespacio de W (b) Si U W es un subespacio de W = f 1 (U) es un subespacio de V
3 9. Sea f : V W una transformación lineal. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, justificando la respuesta. Es decir, en caso de ser verdadera, demuestre la proposición y si es falsa, muestre un contraejemplo. (a) Si {v 1,..., v r } es l.d. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. (b) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. entonces {v 1,..., v r } es l.d. (c) Si {v 1,..., v r } es l.i. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. (d) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. entonces {v 1,..., v r } es l.i. 10. Sea f : V W una transformación lineal, V de dimensión finita. Demuestre las siguientes afirmaciones: (a) fes un monomorfismo Nu(f) = {O V } (b) Si fes un monomorfismo, entonces dim(v ) dim(w ) (c) Sif es un epimorfismo, entonces dim(v ) dim(w ) (d) Si f es un isomorfismo, entonces dim(v ) = dim(w ) 11. Dada f : R 2 2 P 3, f(( a 11 a 12 a 21 a 22 )) = (a 11 + a 12 )t 3 a 22 t 2 + (a 12 a 21 )t + (a 11 a 22 ), demuestre que f es un isomorfismo y halle f Sea f : V W una transformación lineal y w 0 W. Considere la ecuación f(v) = w 0. (a) Qué condición debe cumplir w 0 para que la ecuación admita solución? (b) Qué condición se debe cumplir para que la ecuación admita solución única? 13. Sea f : R 4 P 3 tal que f([ ] T ) = t 3 t 2, f([ ] T ) = t 2 t, f([ ] T ) = t 2 t, f([ ] T ) = t 3 t 2 Halle todas las soluciones de la ecuación f(x) = t 3 t sin buscar la fórmula de f. 14. Sean V, W y U K -espacios vectoriales, T : V W y g : W U transformaciones lineales. Demuestre que: (a) Nu(T ) Nu(g T ) (b) Im(g T ) Im(g) (c) Si g es inyectiva = Nu(T ) = Nu(g T ). La recíproca es falsa, encuentre un contraejemplo. (d) Si T es suryectiva = Im(g T ) = Im(g). La recíproca es falsa, encuentre un contraejemplo. 15. Dada f : R 3 P 2, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = (x 1 x 2 )t 2 + (x 1 + x 2 + x 3 )t + (2x 2 + x 3 ) encuentre [f] BB, siendo B = {[1 1 0] T, [0 1 1] T, [0 1 1] T } y B = {t 2, t + 1, 1}.
4 16. Sea f : R 3 P 2 lineal tal que para ciertos α, β R, f([1 1 1] T ) = p 0 f([0 1 1] T ) = p 1 f([0 0 1] T ) = p 2 donde p 0 (t) = 2 + αt, p 1 (t) = αt + t 2 y p 2 (t) = 1 + (α 1)t. (a) Halle α R para que f no sea inyectiva. (b) Halle bases de Nu(f) y de Im(f) para los valores hallados de α. (c) Halle f(s), siendo S el subespacio S = {x R 3 / x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = 0}, según los valores de α. 17. Sean B = {v 1, v 2, v 3 } una base ordenada de cierto R-espacio vectorial V y C = {w 1, w 2, w 3, w 4 } una base ordenada de otro R-espacio vectorial W. Considere la transformación lineal f : V W que satisface: f(v 1 ) = w 1 + w 2 + w 3 w 4, f(v 2 ) = w 1 w 2 + 2w 3 + 3w 4 y f(v 3 ) = 2w 1 + 3w 3 + 2w 4. (a) Encuentre bases para Nu(f) e Im(f). (b) Halle todos los x V tales que f(x) = 2w 2 w 3 w 4. (c) Muestre que B = {v 1, 2v 2 + v 3, v 2 + v 3 } y C = {w 1, w 2, w 3 + w 4, w 3 w 4 } son bases de V y W, respectivamente. (d) Calcule [f] B C 18. Halle el valor de α R para que esté bien definida una transformación lineal no inyectiva T : P 2 P 2 que verifique T (t + αt 2 ) = 1 + αt + t 2, T (1 + t + t 2 ) = 1 + 2t + t 2, T (1 + αt + t 2 ) = α + 2t. Para el valor de α hallado, determine todos los p P 2 tales que T (p) = t + t 2. [ ] p(1) p( 1) 19. Sea la transformación lineal T 1 : P 3 R 2 2 /T 1 (p) =. p( 1) p(1) Sean B = {1, 1 + t, 2 + t 2, 3 + t 3 } y B = { ( ) ( , 0 1 ) ( 0 0, 0 0 ) ( 1 0, ) } bases de P3 y de R 2 2 respectivamente. (a) Halle [T 1 ] BB (b) Defina una transformación lineal T 2 : R 2 2 P 3 que verifique Im(T 1 ) Nu(T 2 ) e Im(T 2 ) Nu(T 1 ).
5 20. Sea f : P 2 P 2 la transformación lineal dada por donde p(t) = at 2 + bt + c. f(p)(t) = (a αb)t 2 + (b βc)t + (a b), (a) Encuentre los valores de α, β R para los cuales f es un isomorfismo. (b) Para α = β = 1, encuentre f 1. (c) Para β = 0, hallar bases del Nu(f) y la Im(f) (en función de α). 21. Sean A K n m y B K k n, K = R o C. Demuestre lo siguiente: (a) col(ba) col(b). (b) col(ba) = col(b) si rg(a) = n. (c) Nul(A) Nul(BA). (d) Nul(A) = Nul(BA) si rg(b) = n. (e) rg(ba) min(rg(b), rg(a)). (f) Si rg(a) = n entonces rg(ba) = rg(b). (g) Si rg(b) = n entonces rg(ba) = rg(a). 22. (a) Sea f : R n R k una transformación lineal. Si L R n es una recta, qué tipo de objeto puede ser f(l)? (b) Para f : R 2 R 2 dada por f([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 2x 2 2x 1 + x 2 ] T, describa la imagen por f del cuadrado de vértices [ 1 3] T, [3 3] T, [3 1] T, [ 1 1] T. (c) Idem anterior para f([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 + 3x 2 3x 1 + 9x 2 ] T. 23. Sea f : R n R k una transformación lineal tal que f(x) = Ax, A R k n. Demuestre que f es inversible si y solo si A lo es. En tal caso, cuál es la inversa de f? 24. Sea f : V V lineal tal que f f = f ( en este caso se dice que f es un proyector). Compruebe que las siguientes transformaciones lineales son proyectores y halle bases de Nu(f) e Im(f) (a) f : R 2 R 2, f([x 1 x 2 ] T ) = [2x 1 + x 2 2x 1 x 2 ] T (b) f : R 3 R 3, f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [ x 2 + x 3 x 1 + x 3 x 1 x 2 + 2x 3 ] T 25. Demuestre que si f : V V es un proyector, siempre se cumple que Nu(f) Im(f) = V y f(v) = v v Im(f) (Se dice que f proyecta sobre la Im(f) en la dirección de Nu(f)).
6 26. Para los proyectores del ejercicio 24 encuentre bases B y B de R 2 y R 3, respectivamente, tal ( ) que [f] B = y [f] 0 1 B = según corresponda Sea B = {v 1, v 2, v 3 } base decierto espacio vecotrial V. (a) Muestre que B = {v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 3 } es base de V. (b) Si f : V V es la transformación lineal tal que [f] B = 3 8 4, calcule una base de Nu(f) y, si existen, todos los v V tales que f(v) = v 1 + v 2 + v Sean f : P 3 P 3, g : P 3 R 2 2 las transformaciones lineales definidas por f(p 0 ) = p 0 p 1 g(p 0 ) = ( ) f(p 1 ) = p 1 p 2 g(p 1 ) = ( ) f(p 2 ) = p 3 p 2 g(p 2 ) = ( ) f(p 3 ) = p 3 + p 2 g(p 3 ) = ( ) donde p 0 (t) = 2, p 1 (t) = 1 t, p 2 (t) = 2 3t + t 2 y p 3 (t) = 1 t + t 3. (a) Calcule el núcleo y la imagen de f f. (b) Halle una transformación lineal h : P 3 R 2 2 tal que h f = g. Es h única? 29. Dadas B = {1, 1+t, 1+t+t 2 } base de P 2, C = {( ) ( 1 0, 0 1 ) ( 0 1, 1 0 base de R 2 2 y g : P 2 R 2 2 lineal, cuya matriz en las bases B y C es [g] BC = Halle k R para que g no sea inyectiva. Para el valor de k hallado, encuentre, si existen, todos los p P 2 tales que g(p) = 30. ) ( 0 1, k ( ). )}
7 (a) Sea f : R 3 R 2 la transformación lineal Encuentre bases B de R 3 y C de R 2 tales que f([x 1 x 2 x 3 ] T ) = [x 1 + x 2 2x 2 3x 3 ] T. [f] BC = ( ) (b) Para g : R 2 R 3 dada por g([x 1 x 2 ] T ) = [x 1 x 2 0 x 2 x 1 ] T encuentre, de ser posible, bases B de R 2 y C de R 3 tales que 1 0 [h] BC = (c) En general, suponga que h : R n R k es una transformación lineal tal que dim(im(h)) = r. Entonces existen bases B de R n y C de R k tales que ( ) Ir 0 [h] BC =, 0 0 donde I r (r k) indica la matriz identidad de r r (los ceros que aparecen en la matriz anterior son matrices nulas de tamaños correspondientes). 31. Para la transformación lineal f : R 3 R 3 dada por f([x 1 x 2 x 3 ]) T ) = [x 1 + x 3 x 1 2x 2 x 3 x 2 + x 3 ] T halle los valores de α R para los cuales existen bases B y C tales que α 1 0 [f] BC = 2 1 α Para los valores de α hallados, calcule las bases B y C. 32. Sean f : P 1 R 2 2 la transformación lineal dada por ( p( 1) 2p(0) + 2αp f(p) = ) (1) 3p(0) + 3αp (1) p( 1)
8 y g : R 2 2 R 2 2 un isomorfismo. (a) Halle todos los valores de α R para los cuales g f resulte inyectiva. 33. Sea V = {f : R R/f(x) = acos(x) + bsen(x), a, b R} C (R). Sea T : V V la transformación lineal definida por T (f) = f 2f 3f. (a) Determine la matriz de T en base B = {cos(x), sen(x)}. Es T un isomorfismo? (b) Cuántas soluciones en V tiene la ecuación diferencial f (x) 2f (x) 3f(x) = cos(x)? 34. (a) Sea V = gen{e x, e x } y T : V V definida por T (f) = f. Halle [T ] B para B = {cosh(x), senh(x)}. (b) Sea T : P 2 P 2 dada por T (p(t)) = p(2t 1). Halle [T ] E y [T ] B para E = {1, t, t 2 } y B = {1, t 1, (t 1) 2 }.
COMPLEMENTOS DE MATEMATICA 3 - Segundo cuatrimestre de 2007 Práctica 3 - Transformaciones lineales
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 COMPLEMENTOS DE MATEMATICA 3 - Segundo cuatrimestre de 27 Práctica 3 - Transformaciones lineales Ejercicio 1. Determinar cuáles
Más detallesTransformaciones lineales
Capítulo 3 Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) =
Más detallesUTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:...
UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 1/05/01 Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios.
Más detallesPráctica 1. Espacios vectoriales
Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto
Más detallesTEMA 4. APLICACIONES LINEALES
TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.- Definición y propiedades. 2.- Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. 3.- Núcleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicación lineal. 4.- Operaciones con
Más detallesAplicaciones lineales.
Tema 4 Aplicaciones lineales. Definición 4. Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: a f(u + v = f(u + f(v; u, v V, b f(ku = kf(u;
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesMatrices. Operaciones con matrices.
Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =
Más detallesTALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ
UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER III Profesor: H. Fabian Ramire TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores..
Más detallesTema 2: APLICACIONES LINEALES
Tema 2: APLICACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:
Más detallesTransformaciones lineales
Semana 8 [1/62] 8 de septiembre de 27 Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Ã. T : U V es una transformación (o función)
Más detallesTema 1: Espacios vectoriales
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina
Más detalles102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.
102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina
Más detallesExpresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos:
universidad de valladolid facultad de cc ee y ee matemáticas 1 1. Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos: (a) El conjunto S 1 de los vectores de IR 3 que tienen las dos primeras componentes
Más detallesTema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos.
Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada
Más detalles5. Aplicaciones lineales
5. Aplicaciones lineales Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2010 Contents 5 Aplicaciones lineales 7 5.1 Definición y propiedades..............................
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesGuía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen
Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen 1. Teorema de la representación matricial de una transformación
Más detalles4.1 El espacio dual de un espacio vectorial
Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo
Más detallesPráctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2012 Práctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ).
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2 APLICACIONES LINEALES
EJERCICIOS DE TEMA APLICACIONES LINEALES APLICACIONES LINEALES ) Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: x y a) f: f(x, y) = x y x b) f: x f(x)
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aplicaciones Lineales 1 / 47 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si una aplicación es
Más detallesClase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal
Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos
Más detallesÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE
E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA BOLETÍN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL para las titulaciones de INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN 1. Matrices y determinantes Ejercicio 1.1 Demostrar
Más detallesAplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.
Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5
ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2014 2015) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2
Más detallesGF = I V. G(v ) = v 1
7- Inversas a Izquierda y Derecha Sea F : V V una transformación lineal. G : V V lineal se denomina inversa a izquierda de F si GF = I V donde I V : V V denota el operador identidad en V. En tal caso F
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicios 1.- Determinar el rango de la siguiente matriz: 0 1 3 4 1 3 5. Solución. 0 1 3 4 1 3 5 AT 1( 1) AT 1 ( 1)T 14 ( 1 )
Más detallesLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesNúcleo e Imagen de una aplicación lineal.
PRÁCTICA Nº 8 Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Con esta práctica se pretende utilizar el cálculo de la expresión matricial de una aplicación lineal respecto de las bases del dominio y codominio
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesAplicaciones Lineales. S1
Aplicaciones Lineales. S1 Leandro Marín 6 de Noviembre de 2009 Definición Definición Sea K un cuerpo y sean V y W dos espacios vectoriales sobre K. Una aplicación lineal f : V W es una aplicación entre
Más detallesUNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga
ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6
ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,
Más detallesTransformaciones lineales
Transformaciones lineales Problemas teóricos En los problemas de esta lista se supone que V y W son espacios vectoriales sobre un campo F. Linealidad de una función 1. Varias maneras de escribir la propiedad
Más detallesHoja de diagonalización MATEMÁTICAS I
Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax así como los subespacios vectoriales
Más detallesALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales Espacios vectoriales 1. Sea V un espacio vectorial
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesINGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA
INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA C. Galindo 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x 3 + 10x 4 + 15x 6 = 5 2x 1 + 6x
Más detallesGeometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4
Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM September 30, 2016 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra Lineal 2. Geometría afín y eucĺıdea 3. Cónicas y cuádricas Álgebra
Más detallesTeorema de la Función Inversa y Extremos Condicionados
Teorema de la Función Inversa y Extremos Condicionados 1 de noviembre de 2016 1. Función inversa. Se usará el siguiente resultado, probado en el libro: Teorema (de la función implícita, primera versión).
Más detallesFunciones reales. Números complejos
Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesProblemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices
1 Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1. Consideramos f End(R n ), que tiene matriz A respecto la base canónica. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si v es un vector
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesEspacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios
, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas
Más detalles13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.
ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN
Más detalles1. Cambios de base en R n.
er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..
Más detallesUNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
AL GEBRA III UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA ALGEBRA III DEFINICION : Sea L : V V un operador lineal sobre el espacio vectorial
Más detallesTema 2: Diagonalización
TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 2. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 2: Diagonalización 1 Introducción Sea f : R n R n lineal. Dada una base B de R n podemos asociar a f la matriz A 1 = [f, B] M n. Si C es
Más detallesValores y vectores propios
Valores y vectores propios Problemas teóricos El los siguientes problemas se denota por L(V ) conjunto de los operadores lineales en un espacio vectorial V (en otras palabras, de las transformaciones lineales
Más detallesIntersección y suma de subespacios
Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial
Más detallesESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA.
ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. Índice de contenido 1. Espacio vectorial....2 Estructura de espacio vectorial...2 Subespacios
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesBases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1
Bases y dimensión Problemas teóricos Bases de un espacio vectorial En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. Definición de base. Sean b 1,..., b n V. Se dice que
Más detallesSegundo parcial Geometría y algebra lineal II
Segundo parcial Geometría y algebra lineal II HOJA PARA EL ESTUDIANTE 1. Completar los datos personales en la tabla que aparece al dorso. 2. La duración del parcial es de cuatro horas. 1 de diciembre de
Más detallesTransformaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia 2014 Definición (Transformación lineal inyectiva) Si una transformación
Más detallesSolución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)
ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin
Más detallesPAIEP. Complemento Ortogonal
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesCuestiones de Álgebra Lineal
Cuestiones de Álgebra Lineal Algunas de las cuestiones que aparecen en esta relación están pensadas para ser introducidas en un plataforma interactiva de aprendizaje de modo que los parámetros a, b que
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:
6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga
ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.
Más detalles2. El Teorema del Valor Medio
2.24 45 2. El Teorema del Valor Medio Comenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas: 2.22 Sea f : [a, b] R R una
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema : Determinantes.- a) Encontrar los valores de λ para los que la matriz λ A = 0 λ λ 0 es invertible b) Para λ = hallar la inversa de A comprobar el resultado c) Resolver el sistema x 0 A = 0 z 0 para
Más detallesMás ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES - Considere el sistema 3 5 7 0 3 3 6 0 3 4 6 0 a) Estudie para qué valores del número real a, la única solución del sistema es la nula. b) Resuélvalo, si
Más detallesUNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
VIII 1/ 6 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 23 y 25 de junio de 2005. Temas : Transformaciones lineales. Secciones 5.1, 5.2 del texto. Observación importante: es muy importante que
Más detalles1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES
1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar sobre H es una aplicación
Más detallesÁLGEBRA LINEAL. EXAMEN FINAL 18 de Enero de b) (0, 5 puntos) Estudia si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando
ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN FINAL 8 de Enero de Apellidos y Nombre: Duración del examen: 3 horas Publicación de notas: enero Revisión de Examen: feb Ejercicio. ( puntos a (, puntos Estudia si la siguiente afirmación
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesÁLGEBRA. 2. [2,5 puntos] Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro x λy 0 λx y 2 2x λz 0
ÁLGEBRA Junio 94. [,5 puntos] Comprueba que el determinante el proceso que sigues. 3 3 3 3 es nulo sin desarrollarlo. Explica Se basa en la propiedad: si a una línea le sumamos una combinación lineal de
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)
Más detallesAutovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas
Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas Autovalores y autovectores.propiedades Sea V un espacio vectorial sobre K y f End(V ). Fijada una base de V, existirá una matriz cuadrada A,
Más detallesTema 2: Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +
Más detallesTema 3. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales. I. Espacios vectoriales Definiciones. Álgebra. Área de Álgebra. Universidade da Coruña
Tema 3 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales I. Espacios vectoriales 3.1. Definiciones Consideremos K = Q K = R o K = Z p con p un número primo. Para cada uno de estos conjuntos conocemos dos operaciones
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
Más detallesBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN BANCO DE PREGUNTAS CURSO: ALGEBRA LINEAL LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Mendoza Otoño
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesSistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Juan-Miguel Gracia Índice Sistemas lineales 2 Búsqueda de una solución especial 3 Aplicación a sistemas 4 Problema de condiciones iniciales 2 / 2 Sistemas
Más detallesFAC. INGENIERÍA ÁLGEBRA UNCuyo
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE A Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y diga si son tautologías, contradicciones o contingencias. a) p (p q) p b)
Más detallesLas variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V.
Capítulo 9 Variedades lineales Al considerar los subespacios de R 2, vimos que éstos son el conjunto {(0, 0)}, el espacio R 2 y las rectas que pasan por el origen. Ahora, en algunos contextos, por ejemplo
Más detallesAlgebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.
Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía
Más detallesEjercicios de Álgebra Básica. Curso 2015/16
Ejercicios de Álgebra Básica Curso 2015/16 Tema 2: Introducción a la teoría de grupos Propiedades El grupo de las permutaciones Ejercicio 1 Probar que Z con la operación a b = a+b+1 es un grupo Ejercicio
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detalles(n, a)(m, b) = (nm, ma + nb) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b)(c, d) = (ac, bd)
TEMA 3 Anillos. Dominios euclídeos. Ejercicio 3.1. Sea X un conjunto no vacío y R = P(X), el conjunto de partes de X. Si se consideran en R las operaciones: A + B = (A B) (A B) A B = A B demostrar que
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará
Más detallesCONJUNTO R n. = (5, 2, 10) de 3, son linealmente. = (2,1,3) y v 3. = (0,1, 1) y u 3. = (2,0,3, 1), u 3. = (1,1, 0,m), v 2
CONJUNTO R n.- Considerar los vectores u = (, -3, ) y v = (, -, ) de 3 : a) Escribir, si es posible, los vectores (, 7, -4) y (, -5, 4) como combinación lineal de u y v. b) Para qué valores de x es el
Más detallesFunciones Inversas. Derivada de funciones inversas
Capítulo 15 Funciones Inversas En este capítulo estudiaremos condiciones para la derivación de la inversa de una función de varias variables y, en particular, extenderemos a estas funciones la fórmula
Más detallesContinuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas.
Continuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas. Beatriz Porras 1 Límites Las definiciones de ĺımite de funciones de varias variables son similares a las de los ĺımites de funciones
Más detallesCon esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso de. , donde es conmutativo, se denomina Abeliano.
Teoría de Grupos Definiciones Básicas Definición 5 (Grupo) Sea una estructura algebraica con una ley de composición interna. Decimos que es un grupo si: 1. es asociativa. 2. tiene neutro. 3. toda tiene
Más detalles