Intersección y suma de subespacios

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1 Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial Estamos suponiendo que V es un espacio vectorial sobre un campo F 1 Proposición (intersección de dos subespacios es un subespacio) Sean S 1 y S 2 subespacios de V Entonces S 1 S 2 también es un subespacio de V 2 Definición (suma de subespacios) Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sean S 1 y S 2 subespacios de V Entonces la suma de S 1 y S 2 se define mediante la fórmula: S 1 + S 2 := { v V : a S 1 b S 2 v = a + b } (1) Lo mismo también se escribe de manera más breve: S 1 + S 2 := { a + b: a S 1, b S 2 } (2) Hay que comprender que (1) es la definición verdadera que se puede usar en demostraciones, y (2) es solamente una forma breve de escribir (1) 3 Proposición (suma de dos subespacios es un subespacio) Sean S 1 y S 2 subespacios de V Entonces S 1 + S 2 también es un subespacio de V 4 Conjunto generador de la suma Sean S 1 y S 2 subespacios de V, generados por conjuntos finitos A y B: S 1 = l(a), S 2 = l(b) Entonces S 1 + S 2 = l(a B) 5 Ejercicio De un ejemplo de conjuntos finitos de vectores A, B R 3 (o A, B V 3 (O)) tales que l(a) l(b) l(a B) 6 Ejemplo (dos planos en el espacio V 3 (O)) En el espacio V 3 (O) consideremos dos planos Π 1 y Π 2 tales que O Π 1, O Π 2 y la intersección Π 1 Π 2 es una recta l 1 Entonces Π 1 y Π 2 son subespacios de V 3 (O) Más adelante demostraremos que su suma coincide con todo el espacio V 3 (O) Intersección y suma de subespacios, página 1 de 5

2 Ejemplos 7 Calcule S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son los siguientes subespacios del espacio P(R): S 1 := l(5 + 3x + 2x 2, 3 + 2x + x 2 ), S 2 := { f P(R): f( 2) = 0 } Solución La forma general de los elementos de S 1 es f(x) = α(5 + 3x + 2x 2 ) + β(3 + 2x + x 2 ), donde α, β R Calculemos f( 2): f( 2) = α( ) + β( ) = 7α + 3β Para que f pertenezca a S 2, se debe cumplir la igualdad 7α + 3β = 0, de la cual β = 7 3 α Denotando α 3 por γ obtenemos α = 3γ, β = 7γ, y finalmente f(x) = 3γ(5 + 3x + 2x 2 ) 7γ(3 + 2x + x 2 ) = γ( 6 5x x 2 ) = γ(6 + 5x + x 2 ) Aquí γ puede ser cualquier número real S 1 S 2 = l(g), donde g(x) = 6 + 5x + x 2 Probemos que g S 2 : g( 2) = = 0 Intersección y suma de subespacios, página 2 de 5

3 8 Calcule S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son los siguientes subespacios del espacio P(R): S 1 := l(2 + 2x + x 2, 5 x + 2x 2 ), S 2 := { f P(R): f (3) = 0 } Solución Los elementos del subespacio S 1 son polinomios de la forma f(x) = λ(2 + 2x + x 2 ) + µ(5 x + 2x 2 ), donde λ, µ R Calculemos f (x) y luego f (3): f (x) = λ(2 + 2x) + µ( 1 + 4x), f (3) = 8λ + 11µ Vemos que f pertenece a S 2 si, y sólo si, los coeficientes λ y µ están relacionados por 8λ + 11µ = 0 De aquí µ = 8 11 λ La forma general de los elementos de S 1 S 2 es f(x) = λ(2 + 2x + x 2 ) 8 11 λ(5 x + 2x2 ) = λ 11 ( x 5x2 ) = λ 11 (18 30x + 5x2 ), donde λ es un coeficiente real arbitrario, y por lo tanto λ también es un coeficiente real 11 arbitrario S 1 S 2 = l(g), donde g(x) = 18 30x + 5x 2 Probemos que g S 2 : g (x) = x, g (3) = = 0 Intersección y suma de subespacios, página 3 de 5

4 9 Calcule S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son los siguientes subespacios del espacio M 2 (R): S 1 := l(a, B), S 2 = { X M 2 (R): tr(x) = 0 } ; [ 4 2 A = 7 6 [ 5 1, B = 9 10 Solución La forma general de los elementos de S 1 es donde λ, µ R Calculemos la traza de X: De aquí vemos que X S 2 si, y sólo si, X = λa + µb, tr(x) = λ tr(a) + µ tr(b) = 10λ 15µ 10λ 15µ = 0 Tratamos µ como una variable libre y despejamos λ: λ = 3µ 2 La forma general de los elementos de S 1 S 2 es X = 3 2 µa + µb = µ ( [ [ ) = µ 2 [ Comprobamos que C S 2 : S 1 S 2 = l(c), donde C = tr(c) = 2 2 = 0 [ Intersección y suma de subespacios, página 4 de 5

5 Ejercicios En cada uno de los siguientes ejemplos muestre que S 1 y S 2 son subespacios de V, halle S 1 S 2 y S 1 + S 2 y determine si V es la suma directa de S 1 y S 2 o no 10 V = R 2, S 1 = l(e 1 ) = { x R 2 : x 2 = 0 }, S 2 = l(e 2 ) = { x R 2 : x 1 = 0 } donde e 1, e 2 es la base canónica de R 2 11 Matrices triangulares superiores y triangulares inferiores V = M n (F), S 1 = ut n (F), S 2 = lt n (F) 12 Funciones continuas pares e impares V = C(R, R), S 1 y S 2 son subespacios de funciones pares e impares respectivamente: S 1 = {g C(R, R): g( x) = g(x) x R}, S 2 = {h C(R, R): h( x) = h(x) x R} 13 V = R 3, S 1 = {x R 3 : x 1 = 0}, S 2 = {x R 3 : x 2 = 0} 14 Observación sobre la unión de dos subespacios Por lo común, la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no es subespacio de V Por ejemplo, en el espacio real R 2 consideremos dos subespacios: S 1 = l(e 1 ) = { x R 2 : x 2 = 0 }, S 2 = l(e 2 ) = { x R 2 : x 1 = 0 } Entonces el conjunto S 1 S 2 no es cerrado bajo la adición y por lo tanto no es subespacio de R 2 15 Problema sobre la unión de dos subespacios Sean S 1 y S 2 dos subespacios de V tales que S 1 S 2 también es un subespacio de V Demuestre que S 1 V o S 2 V Intersección y suma de subespacios, página 5 de 5