1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.

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1 . NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. De acuerdo a las propiedades ya vistas de los divisores, sabemos que: todo natural no nulo es divisor de sí mismo es divisor de todo número natural. Ahora: el natural tiene como único divisor al, y el cero tiene como divisor a cualquier natural distinto de él. Cualquier natural distinto de cero y de uno, tiene al menos dos divisores distintos. Algunos naturales (como el 3), tienen sólo dos divisores distintos ( y 3). En cambio otros (como el 6) tienen más de dos divisores distintos (, 2, 3 y 6). Definición: Sea p un natural distinto de cero y de uno, p es primo si p tiene sólo dos divisores distintos ( y p). Observa que: 2 es el único número primo par. Los números naturales 2, 3, 5, 7, y 3 son números primos. A partir de números primos dados, al calcular su producto aumentado en se tienen: = = = = = 3003 = Los cuatro primeros resultados son números primos, mientras que el último no lo es. Definición: Un natural distinto de cero y de uno se llama compuesto, si no es primo. Ejemplos: Los números naturales 4, 6, 8, 9 y 0 son números compuestos. Así como 558, 690, 692 y Teorema El menor divisor distinto de de un número compuesto es primo. Demostración: Sea a un natural compuesto. El conjunto X formado por todos los divisores de a distintos de no es vacío, puesto que a pertenece a él (a a). Por lo tanto, X tiene mínimo p. Supongamos, por reducción al absurdo que p fuera compuesto. En tal caso, p tendría algún divisor q distinto de y distinto de p. Como p es el máximo divisor de p, y q p, entonces q < p. Tenemos entonces que: q p y p a, de donde q a. Resulta así que q es un divisor de a menor que p, que es el menor divisor de a, obteniéndose una contradicción. Concluimos que p debe ser primo. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200

2 CRIBA DE ERATÓSTENES (Wikipedia) La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre y N y se van tachando los números que no son primos. Cuando se encuentra un número natural que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N. Toma N = 40 y procede de la siguiente manera: Tacha la celda del (que no es un número primo). Parte del primo 2, y contando de dos en dos tacha los restantes múltiplos de 2: 4, 6, 8, A partir de 3, primer número después del 2 que quedó sin tachar, contando de tres en tres, tacha los restantes múltiplos de 3: 6 (ya tachado), 9, Ahora es el 5 el primer número no tachado después del 3. A partir del 5 Procediendo de manera análoga se suprimen los múltiplos de 7 excepto 7. Luego de la operación anterior, el primer número no tachado después del 7 es el y el primer múltiplo de que no ha sido tachado es = 2. Fin del procedimiento. Los números no tachados en la tabla (Criba de Eratóstenes), son los números primos menores que 40. Tacha del cuadro todos los números que no sean primos Con la ayuda de la criba de Eratóstenes, determina los números primos comprendidos entre y En cada caso, di si los números son primos: a) 25 b) 34 c) Un natural inferior a 50 no es divisible entre ninguno de los seis primeros primos. Es dicho número un número primo? 4. a) Verifica que 73 es primo. b) Determina todos los pares (x; y) de naturales tales que x 2 y 2 = 73. c) p es un número primo mayor que 2. Determina todos los pares (x; y) de naturales tales que: x 2 y 2 = p. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 2

3 Divisibilidad. 2. CURIOSIDAD DE LOS PRIMOS. Números Primos menores que a) Verifica que los siguientes números no son primos: 6!+2 = 722, 6!+3 = 723, 6!+4 = 724, 6!+5 = 725, 6!+6 = 726 b) Investiga por qué esto es así. c) Puedes calcular el número de números primos que están comprendidos entre 30!+2 y 30!+30? d) Puedes encontrar un millón de números compuestos consecutivos? 2. Verifica que: a) n! es primo para n = 3, 4, 6, 7, 2, 4, 30. b) n! + es primo para n = 0,, 2, 3,, 27, 37. Entre las muchas cuestiones en las que están implicados los números primos, una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números naturales. Si hay un patrón, no es nada claro. Por supuesto, todos los números primos mayores que 2 son impares, pero esto no es de mucha ayuda. Hay unas cuantas lagunas entre los números primos: no hay ninguno del 24 al 28 ni del 90 al 96 y entre 887 y 907 hay una laguna de veinte números compuestos consecutivos. Por otra parte, algunos números primos están solamente separados dos unidades, por ejemplo, 5 y 7 ó 88 y 883. Estos números primos contiguos, que tienen la forma de p y p+2, se llaman números primos gemelos. Existen lagunas más largas entre los números primos? Teorema: Existe una infinidad de números primos. Demostración, por reducción al absurdo: Supongamos que el conjunto de los números primos es finito, y llamemos p al mayor de ellos. Ahora consideremos el natural n = p + El número n resulta así mayor que p. Si n fuera primo, esto sería contradictorio. Si n es compuesto, debe admitir algún divisor primo menor que él. Pero 2 no es divisor de n, ya que n = 2 ( p) +. Ocurre lo mismo con 3, 5,..., p. Esto es contradictorio, ya que supusimos que no hay números primos mayores que p. Por muchos que elijamos, siempre llegaremos a la conclusión de que hay alguno más, es decir, sólo vale la afirmación de que hay infinitos primos. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 3

4 3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. Consideremos un número compuesto, por ejemplo el 6, se puede expresar como el producto de 2 y 3, que son números primos. El producto 2 3 es la descomposición de 6 en producto de factores primos, o simplemente en factores primos. Definición. α Dado el natural n, compuesto, decimos que p2 α 2 pm α m p es una descomposición α en factores primos (DFP) de n si se puede escribir: p2 α 2 pm α m n = p siendo p, p 2,, p m números primos y α, α 2,, α m naturales no nulos. Para expresar un número como producto de factores primos, por ejemplo 90, se determina el menor divisor primo (en el ejemplo:2) luego el menor divisor primo (en el ejemplo: 3) del cociente (en el ejemplo: 45 ) y así sucesivamente hasta obtener un cociente igual a. EJERCICIO: Descompone los números 44; 73 y 4836 en producto de factores primos. DISPOSICIÓN PRÁCTICA Teorema (De factorización única) Todo natural n distinto de 0 y de, o es primo, o tiene una única descomposición en producto de factores primos. Demostración: Si n es primo no hay nada más que demostrar. Supongamos que n no sea primo: tendrá un divisor primo a, entonces se puede escribir n = a n. () Si n es primo entonces el teorema está demostrado, pues n consta de los dos factores primos a y n. Si es compuesto, tendrá un divisor primo b (eventualmente a) y podremos escribir n = bn. Sustituyendo en la igualdad () se tiene: n = a b n, y quedará descompuesto el número n en un producto de factores todos primos. Continuando el razonamiento, como los cocientes sucesivos van decreciendo, se llegará necesariamente a un cociente primo, y quedará descompuesto el número n en un producto de factores todos primos. Veamos ahora la unicidad: La descomposición de un número compuesto en factores primos es única. Aclaración: sin tener en cuenta los cambios de orden de los factores. En efecto: Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que un número compuesto n admite dos descomposiciones: n = p p 2... p j = q q 2... q h siendo j > y h >. El número primo p es divisor del producto q q 2... q h, por lo tanto debe ser divisor de alguno de los factores de dicho producto. Llamemos q a ese factor. Como p y q son primos y p q, deberá ser p = q Cancelando dichos factores obtenemos: p 2... p j = q 2... q h, y repitiendo el razonamiento el número primo p 2 es divisor del producto q 2... q h, por lo tanto debe ser divisor de alguno de los factores de dicho producto. Llamemos q 2 a ese factor. Como p 2 y q 2 son primos y p 2 q 2, deberá ser p 2 = q 2. Suprimiendo p 2 y q 2 procedemos análogamente con los factores primos p 3 y su correspondiente q 3. Así se van suprimiendo todos los p y los q, que aparecen como parejas de números iguales, lo que demuestra que, salvo el orden de los factores, las dos descomposiciones son únicas. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 4

5 . En cada caso, sin utilizar la calculadora, descompone el número dado en producto de factores primos. a) 080 b) 309 c) 63 37; d) e) ( ) 2 (25 24) En cada caso, decide mentalmente si b es un divisores de a. a) a = y b = 3 2 7; b) a = y b = ; c) a = y b = En cada caso, sin utilizar la calculadora, descompone el número dado en producto de factores primos. a) 080 b) 309 c) 63 37; d) e) ( ) 2 (25 24) En cada caso, decide mentalmente si b es un divisores de a. a) a = y b = 3 2 7; b) a = y b = ; c) a = y b = Sin utilizar la calculadora; a = ; b = a) Demuestra que a es divisible entre b. b) Cuál es el cociente en la división euclidiana de a entre b? Comentario: 4. NÚMERO DE DIVISORES NATURALES DE UN NATURAL. Teorema Si n es un número natural mayor o igual a 2 cuya factorización en producto de factores primos es α de la forma: n = p2 α 2 pk α k β p, entonces los divisores de n son los naturales de la forma; p2 β 2 pk β k p con 0 β i α i para todo i tal que i k. Demostración: β Supongamos que d es un natural de la forma p2 β 2 pk β k p con 0 βi α i para todo i tal que i k. Si para todo i tal que i k, se anota γ i = α i β i, los γ i son naturales. α Y se tiene p2 α 2 pk α k β = p2 β 2 pk β k γ p2 γ 2 pk γ k γ p p, es decir n = d p2 γ 2 pk γ k p p lo que prueba que d es un divisor de n. Demostremos ahora que todo divisor de n es de esa forma. Si d es uno de ellos, existe un natural d tal que n = d d. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 5

6 Ejemplo: Para determinar todos los divisores naturales de 60, utilicemos la descomposición en producto de factores primos. 60 = Los divisores de 60 son de la forma 2 β 3 5 β 3 donde β puede tomar los valores 0; y 2 y β 2 y β 3 pueden tomar los valores 0 y. Para determinar todos los casos posibles hagamos un diagrama de árbol. β 2 La importancia del número de divisores: = = = = = = = = tiene 2 divisores! El 00 a pesar de ser mayor que 60 tiene solo 9 divisores. será por esta razón que la hora está dividida en 60 minutos? Del mismo modo, 2 tiene 6 divisores mientras que 0 tiene solo 4. El día se divide en = = = = 60 Otro ejemplo, el conjunto de los divisores naturales de 25= Cada divisor de 25 tendrá la forma: 3 α 5 β con 0 α 2 y 0 β 3. Para α = 0 y β = 0 resulta = Para α = y β = 0 resulta =3 Si escribimos: S = ( )( ) y aplicamos la propiedad distributiva, cada sumando de S coincide con cada divisor de 25. Entonces, como el primer factor tiene 3 (α+) sumandos y el segundo 4 (β+), el número de divisores naturales de 25 será 3 4 =2 ((α+)(β+)). Si generalizamos este razonamiento, tenemos que: Teorema. Si n = a α b β...h λ entonces el número de divisores de n es: μ = (α+)(β+)...(λ+). Escribe 3 números que tengan solamente 3 divisores. Completa: los números que tienen exactamente 3 divisores son Indica el número de divisores de: 77 y Si un número es el producto de dos números primos distintos cuántos divisores tiene? Indica el número de divisores de: 8 y 27. Todos los números que tienen 4 divisores son el producto de dos números primos distintos? Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 6

7 Teorema. Demostración: Todo número compuesto n admite un divisor primo cuyo cuadrado no supera a n. Sea n un número compuesto. Por el teorema de factorización única, n se puede escribir como un producto de factores primos. Sea p el menor primo de la descomposición. Demostraremos que p 2 n Como p es un factor de la descomposición de n, se cumple que p n. Entonces: n = pq, con q natural mayor que. Resulta que q también es divisor de n, y como p es el menor divisor (distinto de ) de n, debe ser: q p Multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por p tenemos: pq p 2 Y como pq = n llegamos finalmente a: n p 2, como queríamos demostrar. La validez de este teorema asegura el siguiente resultado: Si n no admite ningún divisor primo p con p 2 n, entonces n es primo. Así que, para saber si un número es primo, podemos dividirlo entre todos los primos cuyo cuadrado no lo superen. Si no es divisible entre ninguno de ellos, concluiremos que es primo. Para decidir si un número n es primo, lo dividimos sucesivamente por cada uno de los primos p menores que él. Si se obtiene un cociente entero menor o igual que p, sin haber obtenido antes un cociente exacto, concluimos que n es primo. Por ejemplo, si queremos saber si el número 9 es primo, tenemos que: Al dividir entre 7 y obtener un cociente menor que 7, y no haber encontrado antes (dividiendo entre 2, 3, 5, 7,, 3) ningún cociente exacto, concluimos que 9 es primo. 3. a) Descompone 050 en producto de factores primos. b) Con la ayuda de un diagrama de árbol, deduce el número de divisores de Determina el número de divisores: a) de 3600; b) de Determina los naturales que posean 6 divisores y cuya descomposición en producto de factores primos sólo tengan como factores primos a 3 y Hallar el número de divisores de Sea n = 2 α 5 β tal que: 5n tiene 6 divisores y 3n tiene 24 divisores. Hallar n. 8. Hallar a y b naturales, sabiendo que: MCD(a; b) = 8, a tiene 2 divisores y b tiene 0 divisores. CÁLCULO DEL MCD(A,B) Y DEL MCM(A,B) USANDO LA FACTORIZACIÓN A partir de la descomposición de un natural n en producto de factores primos, surge lo siguiente: Si s n, entonces todos los números primos de la descomposición de s están en la descomposición de n, cada uno con exponente menor o igual que el que tiene en la factorización de n. Si k = n, los factores primos de la descomposición de n lo son también de la descomposicón de k, cada uno con exponente menor o igual que el que tiene en la factorización de k. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 7

8 PARA EL MCD: PARA EL MCM: Efectuamos la descomposición en factores primos de a y de b Multiplicamos todos los factores primos que son comunes a las descomposiciones de a y de b, eligiendo cada uno de ellos con el menor exponente con que aparezca. El resultado de dicha multiplicación es el máximo común divisor de a y b Multiplicamos todos los factores primos que aparecen en la descomposición de a y todos los que aparecen en la de b, eligiendo los factores comunes con el mayor exponente con que aparezcan. Si un factor aparece en ambas descomposiciones con igual exponente, se deja el mismo. Ejemplo: MCD(378; 90) Ejemplo: mcm(378; 90) descomponemos en factores primos: = y 90 = MCD(378; 90) = = 8 mcm(378; 90) = = 890 Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 8

9 5. EJERCICIOS RESUELTOS: El máximo común divisor de dos naturales no nulos es 36. El mayor de dichos números es 80. Halla los posibles valores del otro natural. Solución: Sean a y b tales que MCD(a; b) = 36, y supongamos a > b. Es decir, será a = 80 Efectuaremos la descomposición en factores primos de 80. Resulta: 80 = Si MCD(80; b) = 36, como 36 = , b debe contener a en su descomposición, y no puede contener a 5. Como 5 es el primo que sigue al 3, entonces debe ser b = 36 ( b < 80) Halla el máximo común divisor de los números siguientes: a) 735, 525 y 35; b) 840, 890, 5250 y 0290; c) 8330, 5575 y 20. Solución: a) Descomponemos los tres números en producto de factores primos = = = Así que MCD(735; 525; 35) = = 05 Análogamente para b) y c) Determina en N el conjunto de los divisores de 30. Solución: Efectuamos la descomposición de 30 en factores primos: Tenemos: 30 = Según lo visto antes, el número de divisores de 30 es: 2 2 2=8 (dado que los tres factores primos de la descomposición tienen exponente ). Tendremos entonces los siguientes divisores: ; 2; 3; 5; 2 3 = 6; 2 5 = 0; 3 5 = 5 y Coloca una cifra en el lugar de * para que los números obtenidos sean múltiplo de 2 pero no de 4. a) 32*6; b) 643*; c) 27*4. 2. Coloca una cifra en el lugar de * para que los números obtenidos sean múltiplo de 3 pero no de 9. a) 42*5; b) 348*; c) 7* Coloca cifras en el lugar de * y para que: a) 3**2 sea divisible entre 6. b) 24* sea divisible entre LA NIÑA DE LOS OJOS AZULES. Un amigo le propone a su computadora un problema, donde hay que averiguar las edades de tres personas. Se desarrolla el siguiente diálogo: - «Tengo tres hijas, cuyas edades multiplicadas dan 36». La computadora dice: «Preciso más datos». - «La suma de sus edades es igual al número de ventanas de este edificio». La computadora dice: «Conozco ese número pero necesito más datos». Finalmente el amigo aclara: - «Mi hija menor tiene ojos azules». Ahora sí, la computadora indica las edades de las tres hijas. Podrías tú resolver este problema? 5. LA EDAD DEL CAPITÁN. El capitán le dice a su hija: «El camarote nº lo ocupa el Sr. Vidal y sus dos hijos. El producto de sus tres edades es 2450 y la suma de las tres edades es igual a cuatro veces la tuya. Puedes hallar las edades de los tres pasajeros?» Luego de un instante la hija le responde: «No, me falta un dato.» El capitán le agrega entonces: «Soy mayor que el Sr. Vidal.» La hija del capitán deduce entonces las tres respuestas. Cuál es la edad del capitán? Cuál es la edad de su hija? Cuál es la edad del Sr. Vidal? Cuáles son las edades de los hijos del Sr. Vidal? Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 9

10 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Divisibilidad por 2. Un natural es divisible por 2 si termina en 0; 2; 4; 6 u 8. Divisibilidad por 3. Un natural es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Divisibilidad por 4. Un natural es divisible por 4 si el número formado por sus últimas dos cifras es múltiplo de 4. Divisibilidad por 5. Un natural es divisible por 5 si termina en 0 o 5. Divisibilidad por 9. Un natural es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Divisibilidad por. Un natural es divisible por, cuando lo sea la diferencia entre las sumas formadas por las cifras de lugar par y las de lugar impar. 6. LA DIVISIÓN ENTERA EN Z. La división entera se generaliza a los números enteros. Se obtiene el siguiente resultado. Si a y b son dos enteros y b 0, entonces existe un único entero q y un único entero no negativo r, tales que: a = b q + r y 0 r < b. Este resultado se deduce de considerar la división de a entre b, como se ve en los siguientes ejemplos. Si a = 37, b = Si a = 37, b = Si a = 37, b = de 37 = 3 + 4, se tiene que: 37 = ( ) ( 3) + 4. de 37 = 3 + 4, se tiene que 37 = ( 3) 4 = ( 3) 4. Para obtener un resto no negativo y estrictamente menor a, 37 = ( 3) + 4, es decir, 37 = ( 4) + 7 como en el caso anterior, se obtiene: 37 = ( ) q = 3, r = 4, r < q = 4, r = 7, r < q = 4, r = 7, r < De manera similar que en N, todo entero m se puede escribir en la forma bq + r con b entero y r = 0 o r = b. En definitiva, para efectuar la división euclidiana entre dos enteros cualesquiera, se efectúa antes la de sus valores absolutos, luego se ajustan los signos del cociente y el resto para que todo marche bien. Observaciones: Para determinar el conjunto de los divisores negativos de un natural a, es suficiente agregar todos los elementos opuestos de D(a). Así los divisores en Z de 6 son { 6; 3; 2; ; ; 2; 3; 6}. Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 200 0