TEORÍA DE DIVISIBILIDAD

Transcripción

1 TEORÍA DE DIVISIBILIDAD MÚLTIPLOS Y DIVISORES.- Dados dos números naturales a y b, con a b, se dice que a es divisible por b o que a es múltiplo de b o que b es divisor de a, si la división de a : b es exacta, es decir su resto es. Ejemplo: 18 es divisible por 1 porque: 18:1=15 (exacta). También se dice que 18 es múltiplo de 1 o que 1 es divisor de 18. CÁLCULO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.- Para calcular los múltiplos de un número, lo multiplicamos por todos los números naturales. Ejemplo: Calculamos los múltiplos de 15: 15 = 15 1 = = 15 = = = 75 Los múltiplos de 15 son:, 15,, 45, 6, 75,. Un número tiene infinitos múltiplos. El es múltiplo de todos los números. Todos los números son múltiplos de sí mismos. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.- Para saber si un número es divisible por ó ó 4 ó 5, ó 6, ó 8, ó 9, ó 1, ó 11, se pueden utilizar los criterios de divisibilidad siguientes (además de poder hacerlo comprobando que la división por ellos es exacta), que son unas condiciones, muy simples y de rápida aplicación, que debe cumplir el número y que permiten conocer si es divisible por ellos, sin necesidad de hacer la división. Un número es divisible por: : Si la última cifra es ó par. 5: Si la última cifra es ó 5. 1: Si la última cifra es. : Si la suma de sus cifras es múltiplo de. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 6: Si es múltiplo de y de. 4: Si las dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. 8: Si las tres últimas cifras forman un número múltiplo de 8. 11: Si la suma de las cifras que ocupan lugar par, menos la suma de las cifras que ocupan lugar impar es múltiplo de 11.

2 CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO.- El cálculo de todos los divisores de un número se puede hacer de la forma siguiente: 1ª forma: Dividimos el número por todos los números naturales (en orden) por los que sea divisible (la división sea exacta), hasta llegar a una división en la que el cociente < divisor. Usamos estas divisiones exactas para expresar el número como producto de dos factores, de todas las formas posibles. Esos factores son todos sus divisores (Usamos la definición de divisor) Ejemplo: Para calcular todos los divisores de 7: 7 :1 = 7 7 : = 6 7 : = 4 7 : 4 = 18 7 : 5 7 : 6 = 1 7 : 7 7 :8 = 9 7 : 9 = 8 y 8 < 9. Luego 7 se puede expresar: 7 = 1 7 = 6 = 4 = 4 18 = 6 1 = 8 9 Los divisores de 7 son: div (7)= { 1,,, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 4, 6, 7} Observamos que: Los números tienen un nº limitado de divisores. El 1 es divisor de todos los números. Cada nº es divisor de sí mismo. Hay otra forma de encontrarlos, conocida la descomposición factorial del número (más adelante) NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.- Un número es primo si solamente admite dos divisores diferentes: él mismo y el 1. Ejemplo: El 7 solo admite por divisores div (7)= { 1, 7} Un número es compuesto si admite más de dos divisores diferentes (él mismo, el 1 y algún divisor más): Ejemplo: El 49 admite como divisores: div (49)= { 1, 7, 49} Según estas definiciones, el número 1 no es ni primo ni compuesto. Los números primos menores que 1 los tenemos en la tabla siguiente, que podemos construir de forma muy sencilla: La criba de Eratóstenes:

3 Los números primos menores que 1 son los que han quedado sin tachar. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS.- Hay muchas formas de expresar un número como producto de dos o más factores. Por ejemplo: 7 = 6 = 4 18 = 8 9 = 4 9 =... Pero solo hay una forma de expresarlo con todos los factores primos: 7 =, o es a la que vamos a llamar descomposición factorial del número. 7 =, que Los números compuestos se llaman así porque se pueden descomponer en producto de números (factores) primos. Este proceso de descomposición es muy importante para muchos procesos matemáticos. Las reglas de divisibilidad nos ayudan en esta tarea. Si el número es pequeño podemos intentar hacerlo "de cabeza". El proceso podría ser: 1.- Buscamos una pareja de números cualesquiera que multiplicados den el número inicial..- Si esta pareja de números son primos, ya hemos acabado..- En caso de que alguno de los factores no sea primo, se vuelve a descomponer en producto de otros dos. Repitiendo los pasos anteriores hasta que todos los factores sean primos. 4.- Una vez encontrados los factores primos, se suelen escribir ordenados de menor a mayor, y si hay varios factores iguales, se presenta en forma de potencia. Ejemplo: 7 = 8 9 = (4 ) ( ) = ( ) = = En general se aplica el procedimiento siguiente: 1. Traza una línea vertical y coloca el número a descomponer en la parte superior izquierda..divide el número por el menor primo que sea posible,,, 5,... (puedes aplicar los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no). Coloca el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.. Si el resultado puede dividirse nuevamente por ese número, realizar la división. 4. Si el resultado no puede volver a dividirse por ese número, buscar el menor número primo posible para continuar dividiendo.

4 5. Repite el proceso hasta que en la parte izquierda te aparezca un 1 con lo que la descomposición habrá terminado. Ejemplos: 4 4 = CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO USANDO LA FACTORIZACIÓN.- ª forma: Usamos su descomposición en factores primos: 7 = Escribimos todas las potencias de base, desde hasta : 1 Escribimos todas las potencias de base, desde hasta : 1 Las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por otras. Estos productos son todos los divisores de 7: Los divisores de 7 son: div (7)= { 1,, 4, 8,, 6, 1, 4, 9, 18, 6, 7} MÁXIMO COMÚN DIVISOR.- El máximo común divisor (M.C.D) de varios números es el mayor de todos los divisores que tienen todos ellos en común. Ejemplo: El M.C.D (1 y 18) = 6 ya que 6 es el mayor de los divisores comunes: Div(1)= { 1,,, 4,6,1} Div(18)= { 1,,,6,9,18} Div comunes (1 y 18)= { 1,,,6} En la práctica para calcular el M.C.D se usa el procedimiento siguiente: 1. Se factorizan todos los números en factores primos.. El M.C.D.es el producto de todos los factores primos que tienen todos en común, elevados al menor exponente.

5 Ejemplo: M.C.D (1 y 18) 1 = M. C. D (1 y 18) = = 6 18 = MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.- El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números es el menor de todos los múltiplos que tienen todos ellos en común. Ejemplo: El m.c.m (1 y 18) = 6 ya que 6 es el menor de los múltiplos comunes: Múlt (1) = { 1,4,6,48,6,7,84,... } Múlt (18) = { 18,6,54,7,...} Múlt comunes = { 6,7,...} En la práctica para calcular el m.c.m. se usa el procedimiento siguiente: 1. Se factorizan todos los números en factores primos.. El m.c.m..es el producto de todos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Ejemplo: m.c.m. (1 y 18) 1 = m. c. m.(1 y 18) = = 6 18 = NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.- Dos números son primos entre sí, si tienen como único divisor común al 1. Ejemplo: 1 y 5 son primos entre sí, porque: div(1)= { 1,,, 4,6,1} div(5)= { 1,5,7,5} div com.(1 y 5)= { 1} único divisor común. En la práctica, es más rápido comprobar si dos números son primos entre sí, teniendo en cuenta que si el único divisor que tienen en común es el 1, su M.C.D, es el1. Dos números son primos entre sí El M.C.D de ellos es 1 Ejercicio: Qué parejas de números son primos entre sí?: a) 75 y 196 b) 75 y 96.