MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE

Transcripción

1 MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE TEMA I: NÚMEROS ENTEROS (parte 3/3) Los divisores de un número entero. Descomposición factorial de un número entero. Máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números enteros. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números enteros Forma de hallar de forma conjunta el m.c.d. y el m.c.m. de varios números Ricardo Esteban Alonso 1 de 8

2 LOS DIVISORES DE UN NÚMERO ENTERO Para obtener los divisores de un número se divide dicho número por los sucesivos números naturales hasta que el cociente sea menor que el divisor: se eligen los divisores y los cocientes de las divisiones exactas (o ya no seguimos buscando cuando comiencen a repetirse los divisores). Divisiones Divisores de : 1 = 28 1 y : 2 = 14 2 y : 3 = no exacta : 4 = 7 4 y 7 28 : 5 = no exacta : 6 = no exacta (cociente menor) ya no haría falta seguir 28 : 7 = 4 se repiten Ricardo Esteban Alonso 2 de 8

3 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO ENTERO Descomponer o factorizar un número natural en sus factores primos es expresar dicho número como un producto de números primos. Cuando el número es entero negativo añadimos el factor -1, como por ejemplo en el número -12: -12 = (-1) Podemos emplear dos procedimientos: "con cajas de divisiones sucesivas", o utilizando una regla vertical donde se escriben a la derecha los divisores primos y a la izquierda los cocientes, y se finaliza cuando se obtiene el 1 como último cociente El resultado es: 120 = Los factores que se repiten se escriben en forma de potencia: 120 = Ricardo Esteban Alonso 3 de 8

4 Para averiguar si un número es primo se comienza comprobando si es divisible por números primos menores que él. Cuando las divisiones no resulten exactas, y obtengamos un cociente menor o igual que el divisor, podemos afirmar que el número dado es primo. Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores positivos son él mismo y la unidad. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.) Es el mayor número entero positivo que es divisor de los dos o más números dados. Para calcular el m.c.d. de varios números se siguen los siguientes pasos: Se descomponen los números en producto de sus factores primos. Se forma un producto con los factores comunes elevados a menor exponente. Ricardo Esteban Alonso 4 de 8

5 Ejemplo: halla el m.c.d. de 20 y = = m.c.d. (20 y 56) = 2 2 = 4 El m.c.d. de varios números enteros (positivos y negativos) coincide con los de sus valores absolutos, es decir como si fueran números naturales. En general, nosotros vamos a operar con números naturales Dos números se dice que son primos entre sí cuando su m.c.d. es el 1: Ejemplos: a) 25 y 32 son primos entre sí: m.c.d. es el 1 b) 3, 7 y 20 son primos entre sí: m.c.d es el 1 Ricardo Esteban Alonso 5 de 8

6 MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (m.c.m.) Es el menor número entero positivo que es múltiplo de los números dados. Se siguen los siguientes pasos para calcularlo: Se descomponen los números en producto de sus factores primos. Se forma un producto con los factores comunes y no comunes elevados a mayor exponente. En el ejemplo anterior: 20 = = m.c.m. (20 y 56) = = 280 El m.c.m. de varios números enteros (positivos y negativos) coincide con los de sus valores absolutos, es decir como si fueran números naturales. Ricardo Esteban Alonso 6 de 8

7 Entre el m.c.d. y el m.c.m. de dos números enteros dados, podemos comprobar que se cumple que: m.c.d.(a,b) m.c.m.(a,b) = a b Es decir, que el producto del m.c.d. de los dos números enteros por su m.c.m. es igual al valor absoluto del producto de los dos números. Ejemplo: -20 = m.c.d. (-20 y 56) = 4 m.c.m. (-20 y 56) = = = ( 20) 56 Ricardo Esteban Alonso 7 de 8

8 Forma de hallar el m.c.d. y el m.c.m. a la vez Ejemplo: halla el mcd y el mcm de los números 18, 30 y Se van dividiendo todos los números dados a la vez entre los números primos empezando por el 2; si alguno de los números dados no es divisible por 2 se escribe debajo hasta que se pueda dividir por algún número primo y se sigue hasta terminar la descomposición como si se tratara de un solo número Acaba cuando todos se dividen entre el 1. Los divisores comunes a los tres números se han señalado en color rojo: ellos son los divisores comunes y su producto es el máximo común divisor: mcd (18, 30 y 48) = = 6 Todos los factores entre los que han sido divisibles alguno de los tres números forman parte del mínimo común múltiplo: mcm (18, 30 y 48) = = 720 Ricardo Esteban Alonso 8 de 8