Mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD)

Transcripción

1 Mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD) por Cristina Andrade Guevara El trabajar con mcm y MCD implica realizar cálculos con números primos, por lo que de manera introductoria te hablaremos de ellos, qué son y posteriormente, verás aplicaciones de los mismos. El número primo es aquel número real mayor que 1, que sólo puede dividirse exactamente, entre él mismo y la unidad (1). Algunos ejemplos de números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Mínimo común múltiplo (mcm) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el número menor que sea múltiplo de ellos y también distinto de cero. Ejemplo 1 Calcular el mcm de 24 de 36 y de 48. Se factorizan los números 24, 36 y 48 dividiendo entre el menor número primo que sean divisibles, que en este caso es el número 2. Luego sigues la división hasta que ya no haya números divisibles del 2. Después continúa dividiendo entre el número 3 hasta que obtengas la unidad en cada uno de los números que se factorizaron. Los factores comunes y no comunes obtenidos, son los señalados con la llave. Después, multiplicas todos esos factores para obtener el mínimo común múltiplo. 1

2 Se divide entre Se divide entre 3 En este caso sería = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 Por lo que, el mcm es = 144 Cálculo de mínimo común múltiplo 1. Factorizar el número. 2. Tomar los factores comunes y no comunes. 3. El mcm es el producto de los factores anteriores. 2

3 Ejemplo 2 Obtener el mcm de los números 4, 6 y Por lo tanto, el mcm de los números 4, 6 y 8 es: 2 3 * 3 = 8 * 3 = 2 Ejemplo 3 Calcular el mcm de los números 10, 25 y Por lo tanto, el mcm de los números 10, 25 y 30 es: 2 * 3 * 5 2 = 6 * 25 = 150 3

4 Máximo Común Divisor (MCD) El máximo común divisor, como su nombre lo indica, es el número más grande posible que divide a uno o varios números. Cálculo del Máximo Común Divisor 1. Anotar los números en un renglón. 2. Dividir todos los números entre factores primos. 3. El MCD es el producto de los factores primos comunes. Ejemplo 1 Calcular el MCD de 6, 12 y Explicación: el número 2 que está señalado divide al 6, al 12 y al 18, por eso es un factor primo común (es decir, que divide a los tres números propuestos). El siguiente 2 solamente divide al seis, pero no al 3, ni al 9. Por lo tanto, no es un factor común. El primer 3 divide al 3, al otro 3 y al 9, por lo tanto, es otro factor común. El siguiente 3, no divide al 1, ni al otro 1, sólo al 3 y no es factor común. Entonces, los factores primos que son comunes solamente son un 2 y un 3. Por lo tanto: El MCD es: 2 * 3 = 6. 4

5 Ejemplo 2 Calcular el MCD de: 20, 70 y Explicación: En este caso solamente el primer 2 y el 5 el dividen a los 3 números (es decir son comunes) por lo tanto el MCD es (2)(5)=10 5

6 Ejemplo 3 Hallar el MCD de los siguientes números: 464, 812 y Explicación: en este caso los factores primos que son comunes son el primer 2 y el 29. Así, tienes que el máximo común divisor estará dado por 2 * 29, por lo que: El MCD es 58. 6

7 Ejemplos de aplicación de mcm y MCD Ejemplo de mcd La maestra Justina lleva tres bolsas con la misma cantidad de bombones para repartir a sus alumnos de primero, segundo y tercer año, cuyos niveles tienen 20, 25 y 30 alumnos respectivamente. Si cada alumno recibirá la misma cantidad de bombones que sus compañeros de grupo: a) Cuál es el menor número de bombones que puede colocar la maestra Justina en cada bolsa? b) Cuántos bombones recibirá cada alumno del primero, segundo y tercer año? Figura 1. Marshmallows (McLeod, 2008). Solución a) Para encontrar el menor número de bombones en cada bolsa, calcula el mínimo común múltiplo de los números 20, 25 y 30. Así, el mcm es: 2X2X3X5X5 = 300 Por lo tanto, cada bolsa contiene 300 bombones b) Con 300 bombones en cada bolsa, se garantiza que al repartirlos entre los alumnos de cada grupo, cada uno de ellos, reciba una cantidad igual que sus compañeros, así: 7

8 Cada alumno de primero recibe = 15 bombones. Cada alumno de segundo recibe = 12 bombones. Cada alumno de tercero recibe = 10 bombones. Ejemplo de MCD Se tienen tres varillas de 60 cm, 80 cm y 100 cm de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre, ni falte nada. Cuál es la longitud máxima de cada pedazo? Cuántos pedazos se obtienen en total con las tres varillas? Solución a) Para dividir cada varilla en longitudes iguales sin que sobre nada, es necesario calcular el Máximo Común Divisor de los números 60, 80 y 100. El MCD es igual a: (2) (2) (5) = Por lo tanto, la longitud máxima de cada pedazo es de 20 cm. b) Ahora: De la varilla de 60 cm se obtienen = 3 pedazos. De la varilla de 80 cm se obtienen = 4 pedazos De la varilla de 100 cm se obtienen = 5 pedazos El número total de pedazos que se obtienen son 12. Referencias McLeod, K. (2008). Marshmallows. Recuperada de (imagen publicada bajo licencia Royalty Free de acuerdo a 8