open green road Guía Matemática MÚLTIPLOS Y DIVISORES profesor: Nicolás Melgarejo .cl

Transcripción

1 Guía Matemática MÚLTIPLOS Y DIVISORES profesor: Nicolás Melgarejo.cl

2 1. Múltiplos y divisibilidad Se dice que un número a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dicho de otra manera: a es divisible por b sí y sólo sí a = b c donde c es cociente. En base a esto podemos decir que a contiene a b exactamente c veces. Llamaremos múltiplo de un número a un número que contiene a otro una cantidad exacta de veces, por ejemplo 12 es múltiplo de 2 porque 12 contiene a 2 seis veces exactamente. Los múltiplos de un número pueden obtenerse fácilmente multiplicando ese número por la serie infinita de los números naturales. Veamos un ejemplo con el conjunto de los múltiplos de 3. Los múltiplos de 3 son: 3 1 = = = = = = n = 3n Si lo escribimos como conjunto por extensión: M 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18,..., 3n} Los múltiplos de un número n se obtienen multiplicando n por cada número natural Números primos Dentro de los números naturales más interesantes están los números primos, los que se caracterizan por ser divisibles por 1 y por sí mismos. Algunos ejemplos de números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 37, 97 Otra característica muy potente de los números primos es que con ellos podemos generar cualquier otro número natural mediante la multiplicación de ellos. Esta característica la abordaremos más adelante Números compuestos Cualquier número natural que pueda escribirse como multiplicación de 2 o más números naturales distintos de 1 y sí mimo, se denomina número compuesto. Por ejemplo el número 12 lo podemos descomponer así: 12 = 3 4 = Si descomponemos el número 18 en sus factores primos obtenemos: 18 = 2 9 = Notar que los términos que componen a un número compuesto coincide con sus divisores. 2

3 1.3. Pares e impares Podemos separar el conjuntos de los enteros Z en dos subconjuntos: pares e impares. Llamamos par a todo número que es múltiplo de 2, es decir, si un número lo podemos escribir como P = 2n donde n Z, entonces P es par independiente de que n lo sea. Entonces si dividimos un número por 2 y el residuo o resto es 0, ese número es par. Los impares son números que al dividir por 2 obtenemos 1 como residuo o resto. Dicho de otra manera, podemos construir cualquier impar como un par más o menos uno. I = 2n ± 1 donde n Z. En estas condiciones I es impar independientemente si n lo es. 2. Criterios de divisibilidad Podemos darnos cuenta que a todos los múltiplos de un número a los podemos identificar también como números divisibles por a. Si b es múltiplo de a, entonces b es divisible por a Existen ciertas características de los números que nos permiten identificar por simple inspección si son divisibles por otro. A continuación mostraremos algunos de estos criterios. Mira! 2.1. Divisibilidad por 2 Un número se dice divisible por 2 si éste termina en cero o par. Algunos ejemplos de números divisibles por 2 son: Divisiblilidad por potencias de 10 Un número es divisible por alguna potencia de 10 si termina en tantos ceros como el número del exponente de la potencia de 10. Por ejemplo termina en 2 ceros, entonces es divisible por 10 2 = 100. En cambio termina en 1 cero, por lo que, es divisible por 10 1 = 10. Algunos ejemplos: 120 es divisible por es divisible por es divisible por es divisible por

4 2.3. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si termina en cinco o cero. Algunos ejemplos de números divisibles por 5 son: Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 cuando las últimas dos cifras de la derecha (decena y unidad) son ceros o forman un número que es múltiplo de 4. Algunos ejemplos son: Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8 cuando las últimas tres cifras (centena, decena y unidad) son ceros o forman un múltiplo de 8. Algunos ejemplos de números divisibles por 8 son: Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 3. Algunos ejemplos de números divisibles por 3: 102 es divisible por 3 ya que = 3 y 3 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 9 y 9 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 21 y 21 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 15 y 15 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 30 y 30 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 18 y 18 es múltiplo de 3 4

5 2.7. Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 9. A continuación mostramos algunos ejemplos de números divisibles por 9: 162 es divisible por 9 ya que = 9 y 9 es múltiplo de es divisible por 9 ya que = 18 y 18 es múltiplo de es divisible por 9 ya que = 27 y 27 es múltiplo de es divisible por 9 ya que = 45 y 45 es múltiplo de es divisible por 3 ya que = 36 y 36 es múltiplo de es divisible por 9 ya que = 18 y 18 es múltiplo de Divisibilidad por 6 Notar que todo número que es divisible por 9, también lo es por 3. Un número es divisible por 6 si cumple con los criterios de divisibilidad por 2 y 3 al mismo tiempo, es decir, será divisible por 6 si su última cifra (unidad) es 0 ó par y la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 3.. Algunos ejemplos de números divisibles por es divisible por 6 ya que es un número par y la suma de sus cifras es = es divisible por 6 ya que termina en 2 y la suma de sus cifras es = es divisible por 6 ya que termina en 0 y la suma de sus cifras es = es divisible por 6 es un número par y la suma de sus cifras es = Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares y el valor absoluto de las cifras en las pociciones pares, de derecha a izquierda, es cero o un múltiplo de 11. Por ejemplo es divisible por 11 ya que Otros ejemplos de números divisibles por 11 son: (9 + 2) (8 + 3) = = es divisible por 11 ya que (2 + 1) (2 + 1) = es divisible por 11 ya que ( ) (6 + 6) = es divisible por 11 ya que ( ) ( ) = 12 1 = 11 Desafío I En el número 104.3?2, qué valores puede tomar? para que el número sea divisible por 6? Respuesta 5

6 3. Propiedades de la multiplicidad y divisibilidad 3.1. Suma de múltiplos o divisibles de un número Si a y b son divisibles por n, entonces a + b también es divisible por n. En un caso concreto 10, 20 y 25 son divisibles por 5, ya que terminan en 0 ó en 5. Notemos que = 55 Como 55 termina en 5, entonces la suma de los divisibles por 5 es también divisible por Diferencia de múltiplos o divisibles de un número Si a y b son divisibles por n, donde a > b, entonces a b también es divisible por n. En un caso concreto 15 y 6 son divisibles por 3. Notemos que 15 6 = 9 y 9 es divisible por Propiedad de los múltiplos Si n divide a b entonces dividirá a cualquier múltiplo de b. Por ejemplo es divisible por 11, si tomamos algún múltiplo de 1.122, por ejemplo y analizamos según el criterio de divisibilidad de 11 se obtiene: (0 + 6) (1 + 5) = 6 6 = 0 Como el resultado es 0, entonces es también divisible por Multiplicación de divisores de un número Si a es divisible por n y m, entonces a es divisible por mn. El caso más simple para ejemplificar esto es el criterio de divisibilidad por 6. Recordemos que un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3, y efectivamente 2 3 = 6. Ejercicios 1 Resuelve los siguientes problemas 1. Por qué números son divisibles 25, 123 y 6.130? 2. Cuál es la menor cifra que se le debe agregar a 341 para que sea divisible por 9? 3. Por simple inspección determine cuál es el residuo de las siguientes divisiones 571 2, y ? 4. Por qué número es divisible la suma de un múltiplo de 11 con otro múltiplo de 11? 5. La suma de un par con un impar es par o impar? Por qué? 6. La suma de un par con otro par es par o impar? Por qué? 7. La multiplicación de dos impares es par o impar? Por qué? 8. La multiplicación de dos pares es par o impar? Por qué? 6

7 9. Si un número no es divisible por 3, qué valor puede tomar el residuo de dividir dicho número por 3? 10. Si un número no es divisible por 5, qué valor puede tomar el residuo de dividir dicho número por 5? 4. Descomposición prima Uno de los grandes logros de la Teoría de los Números es haber llegado a la conclusión de que todo número compuesto puede escribirse como multiplicación de números primos. A la acción de escribir un número compuesto como multiplicación de sus divisores primos se le denomina descomposición prima. Por ejemplo, si queremos descomponer el número 120, vamos escribiéndolo como multiplicación de otros números, hasta llegar sólo a números primos: Mira! 120 = 2 60 = = = = = Ejercicios 2 Descomponer en sus factores primos los siguientes números Es interesante notar que para cada número compuesto existe sólo un sistema de números primos que lo descomponen, es decir, cada número compuesto tiene sólo una factorización prima. Esta característica, entre otras, es la que hace tan importantes e interesantes a los números primos. La descomposición prima es única para cada número compuesto. La descomposición prima es muy útil en las matemáticas, nos permite encontrar el número de divisores de un número, el mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD) entre dos números. 7

8 4.1. Encontrar el número de divisores de un número Ayudándonos de que la descomposición prima es única para cada número, podemos encontrar todos los divisores de ese número haciendo todas las combinaciones posibles entre los factores primos. Si descomponemos el número 825 obtenemos: 825 = = = = Recordemos que al realizar la descomposición prima, cada uno de los números primos divide a 825, y como vimos anteriormente la multiplicación de los divisores de un número también es divisor de ese número. Entonces el número de divisores de 825 serán todas las combinaciones que podamos hacer con los números 3, 5, 5 y 11 considerando también a las combinaciones que no incluyan a todos los elementos. Para obtener el número de divisores multiplicamos la potencia aumentada en una unidad de cada primo que compone a dicho número, en este caso En efecto, los factores son (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = = = = = = = 5 5 = = 3 5 = = 3 11 = = 5 11 = = = = = = = = = 825 En el caso que la descomposición prima de un número sea n = p a q b r c donde p, q y r son primos, el número de divisores D de n es D = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Ejercicios 3 Hallar el número de divisores que tiene cada uno de los siguientes números:

9 4.2. Primos relativos o primos entre sí Se llaman primos relativos o primos entre sí a dos o más números que sólo tienen como divisor común el 1. Por ejemplo 12 y 25 son primos relativos porque no tienen factores o divisores en común. Este concepto será útil cuando queramos encontrar MCM y MCD de algunos números. 5. Máximo común divisor Puede definirse como el mayor número entero que divide exactamente a dos o más números naturales. Usualmente el máximo común divisor entre a y b se denota como MCD(a, b). Para calcular el MCD de dos números hay variados métodos o estrategias, pero si conocemos la notación de las potencias y manejamos la descomposición prima existe una forma muy simple para obtenerlo. El máximo común divisor entre a y b, MCD(a, b), es igual a la multiplicación de las bases primas en común entre a y b, elevadas a la mínima potencia a la que aparecen en la descomposición prima. Mira! Ejemplo 1. Hallar el máximo común divisor entre 12 y 18 Solución: Escribimos primero la descomposición prima de cada número 12 = 4 3 = = 2 9 = Notemos que ambos tienen en común las bases primas 2 y 3. Ahora debemos identificar cuál es la mínima potencia a la que está elevada cada base prima. En el caso de 2 su menor potencia es 1, y para la base prima 3 la menor potencia es 1 también. Entonces: 2. Calcular MCD(36, 75) MCD(12, 18) = = 6 Solución: La descomposición prima de cada uno es: 36 = 2 18 = = = 5 15 = = En este caso la única base prima que tienen en común es 3, y la mínima potencia a la que está elevada es 1, por lo tanto MCD(36, 75) = 3 3. Cuál es el más grande de los divisores que tienen en común 30 y 72? Solución: 30 = = Tienen en común las bases 2 y 3. La menor potencia de 2 es 1 y la menor potencia de 3 es 1 también, entonces el mayor de los divisores entre ellos es = 6 9

10 6. Mínimo común múltiplo Si tenemos varios números enteros, llamaremos mínimo común múltiplo de esos números al menor número entero positivo que es múltiplo de todos ellos. El mínimo común múltiplo entre a y b se denota MCM(a, b) y para calcularlo es útil usar la descomposición prima al igual que para el MCD. Mira! El mínimo común múltiplo entre a y b, MCD(a, b), es igual a la multiplicación de todas las bases primas diferentes que aparecen en la descomposición prima de a y b, elevadas a la máxima potencia a la que aparecen en las descomposiciones. Ejemplo 1. Cuál es el mínimo común múltiplo entre 9 y 30? Solución: Descomponemos 9 y 30 en sus factores primos. 9 = = El MCM(6, 30) será igual a la multiplicación de todas las bases primas que aparecen en las dos descomposiciones, elevadas a la potencia máxima a la que aparecen. En este caso las bases son 2, 3 y 5, y las potencias máximas a las que están elevadas son 1, 2 y 1 respectivamente. Entonces 2. Obtener el MCM entre 6, 12 y 15 MCM(6, 30) = = Solución: Escribimos el número como descomposición prima. 6 = = = 3 5 Entonces, el MCM(6, 12, 15) será la multiplicación de todas las bases primas que aparecen en las 3 descomposiciones, elevadas a la máxima potencia. MCM(6, 12, 15) = = 60 10

11 Ejercicios 3 1. Encuentra el MCM y MCD de cada grupo de números. a) 10 y 15 b) 12 y 18 c) 3 y 7 d) 7 y 11 e) 14 y 13 f ) 12, 40 y 100 g) 145 y 320 h) 100 y 150 i) 120 y 180 j ) 30 y 70 k) 120 y 400 y Identifica si en los siguientes problemas está presente el concepto de MCM y MCD. a) Dos varas de madera de 6 y 15 centímetros se quieren cortar en una misma cantidad de pedazos. Cuántos pedazos se pueden cortar como máximo? b) El campanario de una iglesia tiene 2 campanas. Una suena cada 15 minutos y la otra suena cada 32 minutos. Si la última vez que sonaron juntas fue a las 12:00 am, a qué hora sonarán nuevamente juntas? c) Cuál es el valor máximo de la longitud de una regla con la que se puede medir exactamente el largo y ancho de una habitación de 820 por 635 centímetros de largo? d) Dos listones de madera de 36 y 48 metros respectivamente, se quieren cortar en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. Cuál será el largo de cada pedazo? Desafío II Si p es múltiplo de q, cuál es el MCM(p, q)? Respuesta 11

12 Desafíos resueltos Desafío I: El número es par, independiente del valor que tome?. Nos falta hacer que el número sea divisible por 3, para ello debe cumplirse que Fijémonos que ? + 2 sea múltiplo de ? + 2 = 10 +? Notar que si el número incógnito es 0, faltarían 2 unidades para ser múltiplo de 3 ó sobra una unidad para cumplir la misma condición. Entonces el número incógnito? debe ser un múltiplo de 3 más 2 ó un múltiplo de 3 menos 1.? = 3k 1 donde k N? = 3k + 2 Volver Desafío II: Como p es múltiplo de q, el mínimo común múltiplo entre ellos será el mayor, en este caso p, entonces MCM(p, q) = p Bibliografía [1 ] Álgebra, Edición 1983, CODICE S.A. Madrid (1983) Dr. Aurelio Baldor. [2 ] Aritmética, Edición 1974, CULTURAL CENTROAMERICANA Guatemala (1983) Dr. Aurelio Baldor. Volver 12