Introducción a la Teoría de Números

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de Números Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria II Julio, 2011

2 Introducción a la Teoría de Números A manera de repaso vamos a recordar algunos conjuntos N = {1, 2, 3,...}, se denomina el conjunto de los números naturales, este es el conjunto de los enteros positivos Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, se denomina el conjunto de los enteros. enteros Q = el conjunto de todos los números racionales, también llamados fraccionarios, ( 1 2, 0, 1, 5 4 ) R = el conjunto de los números reales, este contiene todos los números que conocemos, ( 1 4, 0, 1, π) Reacomodos Muchas veces resulta de gran utilidad analizar si alterar el orden de los términos nos puede ayudar a simplificar los cálculos. Ejemplo 1: La fórmula de Gauss n = n(n + 1) 2 (1) Prueba: Lo que vamos a hacer es llamar S a la suma de n, luego vamos a reacomodar estos términos y sumarlos término a término, obteniendo así la fórmula que se busca. S = n 1 + n S = n + n S = n n n n + 1 Tenemos n veces el número n + 1 entonces 2S = n(n + 1), de donde sale la fórmula de Gauss. Ejercicio: Calcule la suma de Ejemplo 2: Raúl leyó un libro. El primer día leyó 5 páginas, y cada día siguiente leyó 2 páginas más que el anterior. Si la lectura le llevó un total de 20 días, cúantas páginas tenía el libro? Solución El número de páginas del libro es 5 + (5 + 2) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) 2 = = 480 Observe que utilizando la fórmula de Gauss = 190 =

3 Ejemplo 3: Cuánto da la siguiente expresión ( ) ( )? Solución La expresión anterior es equivalente a (301 1) + (302 2) + (303 3) (325 25) = = Ejemplo 4: La suma de cinco números naturales consecutivos es Cúal es el resultado de sumar los dígitos de esos cinco números? Solución tenemos que a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4) = 5 a+( ) = 2010, entonces a = por lo que la suma de los dígitos de esos cinco números es = = 400, Ejercicio: Cúal es el dígito de las unidades del producto de seis números naturales consecutivos? Exponentes Primero recordemos algunas propiedades de los exponentes, de forma que las entendamos de verdad y podamos utilizarlas a la hora de resolver un ejercicio. Lo principal es saber que elevar un número a un cierto exponente n (con n un entero positivo) es simplemente multiplicar el número por sí mismo n veces. Es decir a n = aa a }{{} nveces También se debe tomar en cuenta que a 0 = 1, a 1 = 1 a y a 1 n Las reglas de los exponentes son las siguientes: = n a 1. a x+y = a x a y 2. a xy = (a x ) y Donde x y y son números enteros o fraccionarios y a es cualquier número real, tal que la operación indicada tenga sentido (por ejemplo 0 1 y ( 1) 1 2 no tienen sentido ya que en el primer caso nos indicaría una división entre 0 y en el segundo caso se buscaría un número real cuyo cuadrado fuera 1). Ejercicio: Escribir como potencia de 2. Ejercicio: Cúal es la mitad de 2 98? Ejercicio: En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 1331 días, Cúantos días tiene cada semana? 3

4 Ejercicio: Sea 1, 4, 9, 16,... los cuadrados de los enteros positivos. El número 10 8 es un término de esta sucesión. Cúal es el término de la suceción que sigue después de 10 8? Algunas veces nos enfrentaremos con problemas donde se presentan sumas de potencias, por ello es conveniente saberse la siguiente fórmula: 1 + x + x 2 + x x n = xn+1 1 x 1 Este resultado se comprueba fácilmente multiplicando (1 + x + x 2 + x x n ) (x 1) (2) Ejercicio: Use la fórmula anterior para calcular la suma y comprobar el resultado obtenido haciendo la suma directamente. Factor Común Es importante mencionar otra propiedad muy útil a la hora de trabajar con los exponentes. Para a, b, c en R tenemos que a b + a c = a(b + c) Basta múltiplicar para verificar la propiedad. En particular tenemos que, para x R a x b + a x c = a x (b + c) Ejemplo 5: Cúanto da la siguiente expresión ? Solución Primero sacamos factor común, ya que vemos que todos los términos comparten el término 2 4. Entonces la espresión anterior se transforma en 2 4 ( ) y utilizando la ecuación 2 tenemos que esto es equivalente a = = 8176 Ejercicio 1 : Cúal es el resultado de efectuar la operación A + B C D? en la que A = 2, B = 6, Ejercicio tomado de Eliminatoria II,2007 nivel A 4

5 C = 3, D = 8, Divisibilidad Estudiaremos a continuación la teoría de la divisibilidad, la cual nos será de mucha ayuda a la hora de resolver una gran cantidad de ejercicios. Definición: Para a y b enteros, decimos que a divide a b, en símbolos sería a b,si es posible encontrar un número entero x tal que ax = b. En tal caso también se dice que: a es divisor de b a es factor de b b es divisible entre a b es múltiplo de a Además si a no divide a b escribimos a b Ejemplo: i) 3 12, quiere decir que 3 divide a 12 ii) 5 16, quiere decir que 5 no divide a 16 Ejemplo: i) Los números pares,..., 4, 2, 0, 2, 4,... son divisibles entre 2, ya que son de la forma 2x, con x un número entero. Por ejemplo para el número 76, x = 38, ya que 38 2 = 76 ii) 3 36 ya que 3 12 = 36 iii) 17 0 (aquí x = 0, en general, para todo entero a se tiene que a 0) Nota.Cuando a 0, son equivalentes el que a b y el que a sea un entero. Ahora recordemos que si x es un b número real cualquiera, entonces el valor absoluto de x, denotado por x, es su distancia númerica al 0 en la recta real. Entonces, por ejemplo, 7 = 7, 7 = 7, 0 = 0, 1,354 = 1,354. Propiedades Para a,b,c y d enteros, tenemos que: i) Para todo entero a se tiene que a a ii) Si a, b y c son enteros tales que a b y b c entonces a c iii) Es posible que a b pero que b a 5

6 iv) Si a b y b a entonces a = ±b (es decir a = b o a = b, note que esto es equivalente a decir que a = b ) v) Si a b entonces a b c Ejemplo De estas propiedades podemos obtener otras que nos pueden ser de utilidad. 1. Si a b y a c entonces a b m + c n Prueba: Podemos llegar a esta conclusión, ya que si a b y a c entonces existen enteros x, y tales que a x = b y a y = c, entonces b m + c n = a x m + a y n = a (x m + y n) }{{} un entero Entonces a b m + c n 2. la suma de n enteros consecutivos es divisible por n Prueba: Sea k un entero positivo entonces una suma de n enteros consecutivos se puede escribir de la siguiente forma: (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) (k + n), como k está n veces, tenemos = n k + ( n) = n k + = n(k + (n + 1) ) 2 n(n + 1), esto por la fórmula de Gauss que vimos al principio. 2 Hemos llegado a que n (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) (k + n) Criterios de Divisibilidad Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y sólo si a termina en 0,2,4,6 u 8(Por ejemplo, 38 es divisible por 2 pero 35 no lo es). Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 3 (por ejemplo, 1242 es divisible por 3, ya que = 9 que es divisible por 3, pero 343 no lo es ya que = 10 que no es múltiplo de 3). Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el número formado por las dos últimas cifras de a lo es (por ejemplo lo es, ya que 28 = 4 7). Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si términa en 5 o 0 (por ejemplo 2515 es divisible por 5). 6

7 Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo si es divisible por 2 y por 3(por ejemplo es divisible por 6). Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el número formado por sus últimos tres dígitos lo es.(por ejemplo es divisible por 8). Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 9 (por ejemplo, es divisible por 3, ya que = 27 que es divisible por 9). Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y sólo si términa en 0 (por ejemplo 2510 es divisible por 10). Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisible por 11 si y sólo si la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma de las cifras en posición par de a es divisible por 11 (por ejemplo es divisible por 11 ya que ( ) ( ) = 22 que es divisible por 11). Ejercicio 2 :Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 se forman enteros de dos cifras que sean múltiplos de 3 y de 5. Entonces, la cantidad de enteros distintos que se pueden formar viene dada por. Solución Primero como sabemos que el número es un múltiplo de 3 y de 5, en particular de 5, el número debe cumblir que termina en 5 o en 0. Ahora como debe también ser un múltiplo de 3 la suma de los dígitos debe ser un múltiplo de 3. Entonces los únicos que cumple estas dos propiedades son 15,45 y 75. Ejercicio 3 :Rubén le cambia dos dígitos al número 888 para obtener el mayor número de tres dígitos, divisible por 8. Javier le cambia dos dígitos al número 888 para obtener el menor número de tres dígitos, divisible por 8. La diferencia entre el mayor y el menor de estos números dados por Rubén y Javier, es igual a (a) 800 (b) 840 (c) 856 (d) 864 (a) 0 (b) 9 (c) 7 Ejercicio: Dado un número de la forma 759a8593 y divisible por 11. Cúal es el valor de a? 2 Ejercicio tomado de Eliminatoria II,2007 nivel A 3 Ejercicio tomado de Eliminatoria II,2008 nivel A 7

8 (d) 2 Ejercicio: Sea k N y sea m = (2k)(2k + 1)(2k + 2), entonces se puede afirmar que m es divisible por el siguiente número (a) 5 (b) 9 (c) 12 (d) 16 Ejercicio: Elodia escribió un número de cuatro dígitos en una hoja pero Seferina derramó la tinta en la hoja y los dos últimos dígitos ya no se pueden ver. Si los dos primeros dígitos del número son 8 y 6, y además se sabe que el número escrito por Elodia era divisible por 3,4,y 5, entonces el total que se obtiene al sumar los dígitos que no se ven corresponde a: (a) 4 (b) 7 (c) 8 (d) 9 Algoritmo de la División Algoritmo de la División. Dados dos enteros a y b con b 0 existen enteros únicos q y r de tal forma que a = bq + r, 0 r < b (3) Esto es lo que nos han enseñado cuando dividimos, en este caso vamos a dividir a por b, el resultado que obtendremos será q, mientrás que el residuo será r. Ahora la segunda propiedad es necesaria para que en efecto los números enteros q y r sean únicos, es por esto que r debe ser menor que b. Ejemplo: Al dividir 64 entre 3, obtenemos que el resultado es 21 y el residuo es 1. En efecto 64 = Ejemplo: Encontrar q y r del Algoritmo de la división si a = 20 y b = 6 Solución. Usando 20 = , obtenemos que 20 = ( 6)( 3) + 2, entonces q = 3 y r = 2 Nota: Si a y b son enteros y b 0, entonces a b si y sólamente si el residuo r de la división de a entre b es 0. 8

9 Máximo Común Divisor Sea n 2 un entero. Para n números enteros, a 1, a 2,..., a n su máximo común divisor (mcd), como su nombre lo dice será el mayor divisor que compartan todos ellos. Es decir d = mcd(a 1, a 2,..., a n ) si y sólamente si d a 1, d a 2,..., d a n y cualquier otro número entero que cumpla esto es menor que d. Ejemplo: Encuentre el máximo común divisor de 12, 16 y 20. Solución. Los divisores de 12 son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Los divisores de 16 son ±1, ±2, ±4, ±8, ±16 Los divisores de 20 son ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20 Entonces su mcd será 4, ya que el mayor divisor presente en los tres números. Propiedades: i) mcd(a, b) = mcd( a, b ) ii) mcd(a, b) > 0 iii) si a b, entonces mcd(a, b) = a iv) si mcd(a, b) = 1 decimos que a y b son primos relativos.(es decir que a y b no tienen divisores en común distinto de ±1) Ejercicio: 4 Sea d el máximo común divisor de dos números enteros positivos a y b. Entonces podemos afirmar que el cociente ab es un número d A) racional no entero B) no racional C) entero no natural D) entero positivo. Ejercicio: 5 Si el máximo común divisor de dos números naturales a y b, es otro número natural 2n, entonces podemos afirmar que A) a y b son primos entre sí B) a y b son números pares 4 Ejercicio tomado de Eliminatoria I,2005 nivel A 5 Ejercicio tomado de Eliminatoria I,2005 nivel A 9

10 C) a es múltiplo de b D) b es múltiplo de a Solución. Si a y b fueran primos entre sí, su mcd sería 1. Si a fuera múltiplo de b, o b de a, entonces tendriamos que su mcd sería a y b respectivamente. Luego debe ser la respuesta B, en efecto, ya que tanto a como b tendrían un divisor de la forma 2n y como ya vimos estos son los números pares. 10