Ejercicios del tema 7

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1 U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios del tema 7 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2013/2014. Ejercicios de aritmética y congruencias 1. Un amigo le pregunta a otro: Cuántos hijos tienes y de qué edad? La respuesta: Tengo tres hijas. El producto de sus edades es 36 y su suma es el número de esta casa. Y qué más? dice el primero. Ah!, es verdad responde la mayor toca el piano. Cuáles son las edades de las hijas? 2. Si a > 0 es un entero compuesto demuestra que existe un divisor primo de a menor o igual que la raíz cuadrada de a. 3. Calcula mcd(172, 631) mediante el algoritmo de Euclides. 4. Calcula una identidad de Bezout para los números 372 y Calcula mcd(28n 5, 35n 8) para todo natural n. 6. Dado un entero positivo n demostrar que existen n enteros consecutivos no primos. 7. Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor: a) mcd(ta, tb) = tmcd(a, b). b) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a n, b k ) = 1 para todo n 1 y k 1. c) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + b, a b) = 1 o 2. d) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + b, a 2 ab + b 2 ) = 1 o 3. e) Si mcd(a, b) = 1 y d a + b, entonces mcd(a, d) = mcd(b, d) = 1. f ) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + b, ab) = 1. g) Si m = mcm(a, b), entonces mcd(a + b, m) = mcd(a, b) (Indicación: usa los apartados (a) y (f)). 1

2 8. Se pide encontrar todos los pares de enteros que satisfacen a > b > 0, a+b = 376 y mcm(a, b) = (Indicación: usa 7(g) para calcular el valor de mcd(a, b)). 9. Se pide encontrar todos los pares de enteros que satisfacen a > b > 0, ab = 4410 y mcd(a, b) = Se pide encontrar el menor número natural que cumpla la siguiente propiedad: la expresión decimal del número acaba en 6 y el número que se forma al pasar el dígito 6 de la última posición a la primera es 4 veces el número original. 11. Demostrar que la ecuación x 4 + y 4 = 3x 3 y no tiene soluciones enteras positivas. (Indicación: si tuviese soluciones, podemos elegir una con x mínimo; pero a partir de esa solución podríamos encontrar otra con un valor menor. Este argumento se conoce como el método del descenso infinito de Fermat). 12. Se pide demostrar las siguientes afirmaciones. a) Sea q 2. Entonces q + 1 divide a q n + 1 si y solo si n es impar. b) Si 2 n 1 es primo, entonces n es primo c) Si 2 n + 1 es primo, entonces n es potencia de Dado un entero n, hallar una fórmula que nos dé el número de divisores de n en función de la descomposición de n en factores primos. Sabrías dar una fórmula para la suma de todos los divisores? 14. Se pide determinar si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si d = mcd(a, b) y d = aα + bβ entonces α y β son primos entre sí. 15. Probar que si a y b son coprimos y a c y b c entonces ab c. 16. Probar que 4 (n 2 + 2). 17. Probar que el producto de tres enteros consecutivos es divisible entre 6, y el de cuatro entre Decimos que un número entero es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número entero. Se pide probar las siguientes afirmaciones: a) Si a y b son enteros positivos coprimos tales que su producto ab es cuadrado perfecto entonces tanto a como b son cuadrados perfectos. b) Si a y b son impares entonces a 2 + b 2 no puede ser cuadrado perfecto. 19. Considérese el conjunto N n = {1,..., n}. Sea 2 k la mayor potencia de 2 tal que 2 k N n. Probar que 2 k no puede ser divisor de ningún otro elemento de N n. 2

3 20. Probar que un número entero nunca puede tener raíces n-ésimas racionales, si n > Sea n un entero positivo. Probar que n + 1 es primo si y solo si n i=1 i no divide a n i=1 i. 22. Demuestra que hay infinitos primos congruentes con 3 modulo 4 (Indicación: si no fuese así y p fuese el mayor primo de esa forma, considera el número n = p Demuestra que ningún número de la forma 4n + 3 es suma de dos cuadrados. 24. Probar que si p es un primo y a 2 b 2 mód p, entonces p (a + b) o p (a b). 25. Probar que cualquier número que sea un cuadrado perfecto debe de tener en el dígito de las unidades a cualquiera de los siguientes: 0, 1, 4, 5, 6, Halla criterios de divisibilidad por 11 y Demuestra que 4 2n n+2 es divisible por 13 para todo n. 28. Dado cualquier entero positivo k, probar que existen k enteros consecutivos, cada uno de los cuales es divisible entre un cuadrado mayor que Todas las sucesiones posibles de siete dígitos se escriben una a continuación de la otra en una fila para formar un número de de dígitos. Prueba que sea cual sea el orden en que se han escrito las sucesiones, el número resultante es siempre divisible por 239 (Sugerencia: 239 divide a ). Teoremas de Euler y Fermat 30. Sea p un número primo distinto de 2 y 5. Demuestra que existen infinitos números de la forma 99 9 múltiplos de p. 31. Calcular el resto de dividir entre Sea n un entero positivo impar no divisible por 5. Demuestra que las dos últimas cifras del número n 40 son Si mcd(n, 20) = 1, demuestra que 3n n es múltiplo de Determina el representante canónico de la clase de en Z 45 Ejercicios sobre ecuaciones. 35. (Euler, 1770). Divide 100 en dos sumandos tales que uno es divisible por 7 y el otro por 11. 3

4 36. (Alcuino de York, 775). Cien fanegas de grano se distribuyen entre 100 personas de tal manera que cada hombre recibe 3 fanegas, cada mujer 2 fanegas y cada menor (niño o niña) recibe 1 fanega. Cuántos hombre, mujeres y menores 2 había? 37. Pide a una persona que multiplique el día del mes en que nació por 12, que multiplique el día del orden del mes por 31 y que te diga sólo el resultado de sumar estas dos cifras. Puedes averiguar cuándo es su cumpleaños? 38. Resuelve la ecuación diofántica 45x+21y = 27. Podemos econtrar una solución en la que x e y terminen en la misma cifra (sin tener en cuenta el signo)? 39. Demuestra que una ecuación diofántica a 1 x a n x n = d tiene solución si y solo si mcd(a 1,..., a n ) divide a d. Halla las soluciones de 12x + 76y + 18z = 14. Para ello puedes seguir el siguiente método: considerar una variable auxiliar t y la ecuación 12x + 76y = dt con d = mcd(12, 76). 40. Resuelve la ecuación diofántica 17x + 51y + 45z = Un millonario deja, al morir, su fortuna de oro y joyas a partes iguales entre sus dos hijos. El reparto se consigue llevar a término de forma exacta dando 5 rubíes, 6 zafiros, 7 esmeraldas y 193 monedas de oro a un hijo; y 14 rubíes, 9 zafiros, 14 esmeraldas y 62 monedas de oro al otro hijo. Sabiendo que cada joya vale más de 5 monedas de oro, averigua el precio en monedas de oro de cada joya. 42. Terminamos los ejercicios sobre ecuaciones, cómo no, aludiendo al gran Diofanto. En los epigramas de la Antología Palatina recopilada por Metroro de Bizancio se hace alusión a Diofanto. Dice que en la tumba de Diofanto se puede leer el siguiente epitafio. Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad que su padre llegó a vivir, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad. Encontrar la edad de Diofanto. (Observación: el planteamiento puede ser una ecuación en una variable). 4

5 Resolución de congruencias 43. Resuelve, cuando sea posible, las siguientes congruencias: 3x 14 (mod 17), 6x 3 (mod 35), 3x 13 (mod 18) y 20x 60 (mod 80). 44. Halla los números enteros x tales que x x 5 0 (mod 13). 45. Resuelve el sistema de congruencias { 5x 7 mód 18 7x 5 mód Calcula los enteros b para los cuales el siguiente sistema tiene solución 4x 6 mód 30 35x b mód 42 88x 22 mód Cuando los huevos de un cesto se cuentan de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, sobran, respectivamente 1, 2, 3, 4 y 5 huevos. Si se cuentan de 7 en 7 no sobra ninguno. Cuántos huevos hay en el cesto si como mucho caben 10 docenas de huevos? 48. Encuentra todos los números naturales a que satisfacen las tres propiedades siguientes: a) a es una potencia décimosexta en Z 8. b) La ecuación diofántica 14x + 21y 35z = a tiene solución. c) La división de a entre 42 da resto 7. Cuál de dichos números naturales es el más pequeño? 5