Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones: 6x 3 + 5x 2 9x 3x 2. (b)

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I o Bachillerato Internacional. Grupo I. Curso 2009/200. Hoja de ejercicios III Polinomios EJERCICIO Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones:. (x 4 4x 2 + 2x 9) : (x 2 2x + 3) 2. (3x 4 x 2 ) : (3x 2 3x 4) EJERCICIO 2 Consideremos las fracciones algebraicas P (x) Q(x) siguientes: 4x 2 4x + 2x + 6x 3 + 5x 2 9x 3x 2 5x 2x x 4 x 2 reescribirlas de la forma P (x) Q(x) x 7 2x 4 + 2x + x 3 x R(x) = C(x)+, siendo R(x) un polinomio tal que deg(r) < deg(q). Q(x) EJERCICIO 3 divisiones: Utilizar la Regla de Ruffini para determinar el cociente y el resto de las siguientes. (x 4 + x 2 20x) : (x + 2) 2. (x 4 8) : (x + 3) EJERCICIO 4 Determinar P ( 2) y P (5) siendo P (x) = x 4 3x 2 + 5x 7. EJERCICIO 5 En cada caso, determinar el valor de m R para que la división sea exacta:. (2x 3 9x 2 + 2x + m) : (x 4) 2. (x 4 3x 3 + mx 3) : (x + 3) 3. (4x 3 + mx 2 2x + ) : (x + )

2 EJERCICIO 6 El resto de la división (7 + kx + 3x 2 x 3 ) : (x + 2) es 7. Hallar el valor de k R. EJERCICIO 7 Sea a R. Efectuar la división (x 8 a 8 ) : (x a) EJERCICIO 8 Hallar el valor de k R para que el siguiente polinomio sea divisible por x + 2: P (x) = 3x 3 kx 2 + 6k 2 EJERCICIO 9 Escribe un polinomio de segundo grado P (x) = ax 2 + bx + c, con a, b, c R y a 0, tal que: Sea divisible por x 3. Sea divisible por x + 4. Su valor numérico en x = sea 2. EJERCICIO 0 La división de x 3 + mx + 2 entre x 2 da de resto 6. Hallar m R. EJERCICIO divisible por x 3. Halla el número que hay que sumar a P (x) = x 3 2x 2 5x para que sea EJERCICIO 2 Determinar a, b R para que el polinomio x 5 + ax 3 + b sea divisible por x 2. EJERCICIO 3 Consideremos los siguientes pares de polinomios: P (x) = x 6 2x 5 3x 4 + 4x 3 + 4x 2 P (x) = x 3 3x Q(x) = x 3 2x 2 x + 2 Q(x) = x 5 x 4 2x 3 P (x) = x 7 x 6 + 2x 4 2x 3 + x Q(x) = x 4 2x 2 + P (x) = x 4 7x 3 + 3x 2 + 3x 8 Q(x) = x 6 8x 5 + 8x 4 + 4x 3 47x 2 + 2x + 36 En cada caso, se pide:. Utilizando el Algoritmo de Euclides, hallar el m.c.d. P (x), Q(x). 2. A partir del m.c.d. P (x), Q(x) hallado en. y teniendo en cuenta que: m.c.d. P (x), Q(x) m.c.m. P (x), Q(x) = P (x) Q(x) m.c.m. P (x), Q(x) = hallar m.c.m. P (x), Q(x). P (x) Q(x) m.c.d. P (x), Q(x) 2

3 EJERCICIO 4 Descomponer en factores y simplificar: x 2 4 x 2 + 4x + 4 x 3 x 2 8x + 2 x 2 + x 6 x 3 5x 2 + 8x 4 x 3 x 2 8x + 2 2x 4 + 5x 3 5x + 2 2x 4 + 7x 3 + 3x 2 8x 4 (e) x 4 x 4 2x 3 + 2x 2 2x + (f) x 4 + 0x 3 + 2x 2 40x 00 x 4 + 3x 0 EJERCICIO 5 Realizar las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: x + x 3 x + + x 2 x 2 x x x x 2 x2 + 5x 0 x 2 + x 6 x 2 x 2 + 2x + 2x 3 x + 3 x 2 + x 2 + 2x + + x2 x + EJERCICIO 6 Factorizar los siguientes polinomios:. P (x) = 6x 3 + 7x 2 x 2 2. P (x) = x 3 5x 2 x P (x) = x 3 3x P (x) = x 5 3x 4 5x x 2 32x P (x) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 6. P (x) = 6 4x + 0x 2 2x 3 7. P (x) = x 3 3x 2 0x P (x) = x 6 4x 4 x P (x) = 4 x x P (x) = 3 + x 5x 2 x 3 + 2x 4. P (x) = 6x 5 + x 4 + 3x 3 3x 2 x EJERCICIO 7 Factorizar P (x) = x 3 + bx 2 3x sabiendo que x = es una de sus raíces. EJERCICIO 8 Determinar el valor de k R para que al simplificar la expresión: 3 + x 9 x k x + x resulte un polinomio de grado. 3

4 EJERCICIO 9 Consideremos las siguientes expresiones algebraicas: A = + x A 2 = + + x A 3 = x A 4 =. Simplicarlas, expresándolas como el cociente de polinomios de primer grado. 2. Hallar A + A 2 + A 3 + A x EJERCICIO 20 (Transformaciones de polinomios) Resolver los siguientes apartados:. Consideremos el polinomio P (x) = x 2 2x Se pide:.. Sean p y p 2 las raíces de P (x). Determinar p y p Hallar el polinomio Q(x) = P (x + 2)..2.. Sean q y q 2 las raíces de Q(x). Determinar q y q Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de Q(x)?..3. Hallar el polinomio R(x) = P (x 3)..3.. Sean r y r 2 las raíces de R(x). Determinar r y r Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de R(x)?..4. Determinar un polinomio M(x) de grado 2 cuyas raíces sean p y p Determinar un polinomio N(x) de grado 2 cuyas raíces sean p + 5 y p Consideremos el polinomio P (x) = x 2 + 4x 7. Se pide: 2.. Sean ˆp y ˆp 2 las raíces de P (x). Determinar ˆp y ˆp Hallar el polinomio Q(x) = P ( x) Sean ˆq y ˆq 2 las raíces de Q(x). Determinar ˆq y ˆq Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de Q(x)? Determinar un polinomio de grado 2 cuyas raíces sean p y p 2, siendo p y p 2 las raíces del polinomio P (x) del apartado. 3. Consideremos el polinomio P (x) = x 2 x 6. Se pide: 3.. Sean p y p 2 las raíces de P (x). Determinar p y p Hallar el polinomio Q(x) = x 2 P ( x) Sean q y q 2 las raíces de Q(x). Determinar q y q Qué relación hay entre las raíces de P (x) y las de Q(x)? Determinar un polinomio de grado 2 cuyas raíces sean p y p 2, siendo p y p 2 las raíces del polinomio P (x) del apartado. 4

5 EJERCICIO 2 Resolver los siguientes apartados:. Consideremos el polinomio P (x) = x 3 x 2 20x. Se pide:.. Hallar las raíces de P (x)..2. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las mismas que las de P (x) pero aumentadas 2 unidades..3. Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las mismas que las de P (x) pero disminuidas unidad. 2. Consideremos el polinomio Q(x) = x 3 + 4x 2 + x Hallar las raíces de Q(x) Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las opuestas de las de Q(x) 3. Consideremos el polinomio R(x) = x 3 + 2x 2 5x Hallar las raíces de R(x) Determinar un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean las inversas de las de R(x) EJERCICIO 22 Sea P (x) = x 2 + 2x 3. Determinar el valor de k R para que el polinomio Q(x) = P (x + k) no tenga término de grado. EJERCICIO 23 Sea P (x) = x 3 + 3x 2 2x +. Se pide:. Determinar el valor de k R para que el polinomio Q(x) = P (x + k) no tenga término de grado Determinar el valor de m R para que el polinomio R(x) = P (x + m) no tenga término de grado. 5