El polinomio. es divisible por x + 1, y. Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio calcula con una división otro factor del polinomio.

Transcripción

1 1 P() 8 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces =1 = - Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio calcula con una división otro factor del polinomio P() 1 es divisible por + 1, Saca factores comunes en las siguientes epresiones: 6 8 z b) a - a + b - b c) ( - ) + - El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios: Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, escribe P() como un producto de tres binomios más un número 5 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios P() Q() calcula un máimo común divisor un mínimo común múltiplo de los mismos 6 P() Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios calcula el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de los mismos Q() 6, 7 Simplifica las siguientes epresiones: b) 8 z 0 z 18( 6 )( 1) 1

2 8 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes: 1, 1 9 Calcula una fracción equivalente a 1, cuo denominador sea 10 Simplifica las siguientes fracciones factorizando, utilizando los productos notables donde sea necesario: b) Estudia si las siguientes fracciones se reducen a un polinomio: b) 5 1 Efectúa las siguientes operaciones: Efectúa las siguientes operaciones: 1 1

3 1 Calcula una fracción equivalente a 1, cuo denominador sea 15 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:,

4 SOLUCIONES 1- Solución: El enunciado nos da las raíces enteras 1 -, luego, el polinomio es divisible por ( - 1) por ( + ) Dividimos por el primer factor, el cociente resultante por ( + ), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes: El último de los cocientes, - 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P() = ( - 1)( + )( - 1) - Solución: Calculamos el valor numérico para = - 1: P( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Luego, el polinomio es divisible por El cociente de la división es otro factor del polinomio: 1 - Solución: Factores comunes: ( - +z) b) No ha ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los ha dos a dos: a( - ) + b( - ) Como el paréntesis es común, resulta: (a + b)( - ) c) El factor ( - ) es común: ( - )( +1) - Solución: Para la primera división: D() C() 6, d() = - 1, R() = 6 Se debe verificar: D() = C()d() + R() Operamos: ( 6)( 1) D() Luego, es correcta Para la segunda división debe verificarse: C 1() C() = C 1 ()( + ) + R(), con R() = 0 Operamos: ( )( ) 0 6 C() También son correctos los resultados ( ) Sustituendo la epresión C() = ( + ) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado pedido: ( ) D() = ( + )( -1) + 6

5 5- Solución: P() tiene como factor común: P() ( ), las raíces del paréntesis son: P() ( )( 1) Es decir: Q() ( ) Q() tiene como factor común o = 0 como raíz entera: 1, Las otras raíces enteras de Q() están entre los números: Comprobamos que = - 1 = lo son: Q(- 1) = -1( ) = 0, Q() = (8-6 - ) = 0 Dividimos el polinomio del paréntesis por ( + 1) ( - ) por el método de Ruffini sucesivamente, el cociente resultante nos dará el tercer factor: Entonces, el último cociente, ( + 1), es el tercer factor de Es decir: Las reglas de la divisibilidad nos dan: P (), Q() ( )( 1) ( MCD[P, Q] = ( + 1), mcm ) Q() ( 1) ( ) 6- Solución: 1, Las raíces enteras de P() están entre los números:, Comprobamos que solamente = lo es: P() = = 0 Dividimos por ( - ) para hallar el segundo factor: C() ( ) P() ( )( ) Entonces, El cociente no tiene raíces reales 1,,, 6 Las raíces enteras de Q() están entre los números: Comprobamos que = - lo es: P(- ) = = 0 Dividimos por ( + ) para hallar un segundo factor: C() ( ) Q() ( )( ) Entonces, El cociente no tiene raíces reales Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad entre números, obtenemos: P(), Q() ( ) P(), Q() ( )( )( ) MCD, mcm

6 7- Solución: Suprimiendo los factores comunes en numerador denominador, resulta: 5 6 z b) Sacando factor común en el denominador, resulta: 18( )( 1) ( 1) 6( ) 8- Solución: Simplificamos sacando factor común, factorizando la diferencia de cuadrados: Por lo tanto, son equivalentes NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz 9- Solución: El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando ( 1) por un factor, P() Al descomponer el nuevo denominador se obtiene: Por tanto, el factor 1 P()= Multiplicando también el numerador por P() se obtiene la fracción equivalente: 10- Solución: c) En el numerador tenemos el cuadrado de una diferencia, en el denominador el factor es común Factorizando simplificando: d) En el numerador tenemos el cuadrado de una suma, en el denominador una diferencia de cuadrados ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 Factorizamos simplificamos:

7 11- Solución: e) Simplificamos la fracción En el numerador denominador tenemos el factor común, después, en el numerador aparece una diferencia de cuadradosfactorizando simplificando: ( ) ( )( ) ( ) ( ) Luego se reduce a un polinomio f) Aplicando de nuevo las epresiones de los productos notables sacando factor común, obtenemos: ( ) ( ) No se reduce a un polinomio 1- Solución: El último de los denominadores se escribe como producto de factores de la forma: ( -1)( - ), es el mínimo común denominador Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son: ( ) ( 1) 9 ( ) ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( ) 1 1- Solución: Los denominadores factorizados son:, (-) ( + )( - ), respectivamente El mínimo común denominador es: ( - )( + ) Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son: ( )( ) ( 1)( ) ( )( ) 6 ( ) ( ) ( ) 1- Solución: Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador denominador de la fracción: Luego, el factor por el que debemos multiplicar es ( - ), la fracción pedida es: ( ) ( 1)( ) 15- Solución: Simplificamos la primera fracción En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados, en el denominador el cuadrado de una suma: Luego, son dos fracciones equivalentes NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz