Criterios de divisibilidad y Congruencias

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1 Criterios de divisibilidad y Congruencias Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 9 de marzo de 2007 Cuando tenemos un número muy grande escrito en base 10 y deseamos saber si es múltiplo por ejemplo de 9 no necesitamos hacer la división, simplemente sumamos sus cifras y si el resultado es múltiplo de 9 el número original es múltiplo de 9. Este es un típico criterio de divisibilidad, que se utiliza desde la escuela primaria. Uno más sencillo es para saber si un número es par: se mira la última cifra y si ella es par todo el número es par. La justificación de estos criterios radica en el sistema de numeración que se utiliza y la demostración de su validez, que haremos aquí basándonos el la teoría de congruencias, nos proporciona elementos para formular nuevos criterios de divisibilidad. El siguiente lema, que es consecuencia inmediata de la definición de congruencia, es la razón por la que utilizaremos esta teoría para lograr nuestros objetivos. Lema 1. Un número k es divisible por c si y solo si k 0 (mód c) Demostración. (obvio). Para la lectura de este capítulo además de manejar las congruencias el lector debe estar familiarizado con los sistemas de numeración posicionales. Se aplica especialmente el Teorema fundamental de la numeración. 1. Criterios de la última cifra Algunas veces para ver si un número es divisible por otro es suficiente con observar la última cifra. Esto depende realmente de que el divisor divida la base, como cuando se trabaja en base 10 y se quiere saber si un entero es divisible por 2 o por 5. Proposición. Sea a = (a n a n 1...a 1 a 0 ) b si b 0 y solo si a 0 0 (mód c) (mód c) entonces a es divisible por c si Demostración. Sabemos que a = a 0 + a 1 b + a 2 b a n b n 1 y como b 0 (mód c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a a0 (mód c), que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. * Este texto es un capítulo actualizado de las notas de clase del autor tituladas Números enteros, teoría, algoritmos y divertimentos UIS,

2 Nótese que lo que se demuestra es que, en este caso, la última cifra (a 0 ) determina la clase de congruencia módulo c, a la cual pertenece el entero a. Es decir, lo que se obtiene observando la última cifra, es el residuo al dividir por c Ejemplo 1. Un número escrito en base 12 es divisible por 4 si termina en 0, 4 u 8, pues estos son los tres dígitos de la base 12 que se dejan dividir por 4. Ejemplo 2. Como ya se dijo una aplicación de la proposición 1 a la base decimal, encontramos los conocidos criterios para saber cuándo un entero es divisible por 2 o por 5. Sin embargo estos criterios no sirven cuando el número es escrito en cualquier base. Para base 15 el criterio del 2 no es válido aunque el del 5 casi. Por qué? 2. Criterios de la suma de las cifras. Otras veces la suma de las cifras indica si se es o no divisible por otro. Es el caso de los conocidos criterios para saber si un número es divisible por 3 o por 9, cuando está escrito en nuestra base decimal. La siguiente proposición justifica estos y otros casos. Proposición. Sea a = (a n a n 1...a 1 a 0 ) b si b 1 (mód c) entonces a es divisible por c si y solo si a 0 + a 1 + a a n 0 (mód c) Demostración. Sabemos que a = a 0 + a 1 b + a 2 b a n b n 1 y como b 1 (mód c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a 0 a 0 (mód c) a 1 b a 1 (mód c). a n b n a n (mód c) entonces sumando estas congruencias tenemos a a a 0 + a 1 + a a n (mód c) que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. Presentamos las aplicaciones de esta proposición como corolarios: Corolario. Si b es congruente con 1 módulo c y el número a está escrito en base b, entonces a es congruente con la suma de sus cifras módulo c. Corolario. Si b es congruente con 1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en base b) es divisible por c es suficiente saber si la suma de sus cifras lo es. Ejemplo 3. (Base decimal) La suma de las cifras del entero es 43 por tanto: (mód 3); (mód 9) Ejemplo 4. En base 4, la suma de las cifras del entero a es congruente con a módulo 3 pero no módulo 9. 2

3 3. Criterios de la suma y resta de las cifras Empecemos mostrando un ejemplo: Ejemplo 5. Para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 11, se halla la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma de las cifras de lugares impares; el número es múltiplo de 11, si y solo si, esta diferencia lo es. Digamos, para saber si es divisible por 11, sumamos las cifras de lugares impares: =30 ; sumamos las cifras de lugares pares: =13; hacemos la diferencia de estas dos sumas: 30-13=17. Como 17 no es múltiplo de 11 entonces no es múltiplo de 11. Es más, como se ve en la demostración de la siguiente proposición se tiene que (mód 11). Nótese que si a = (a n,a n 1,...,a 1,a 0 ) b la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma de las cifras de lugares impares viene dada por la expresión: a 0 a 1 + a ( 1) n a n Proposición. Sea a = (a n,a n 1,...,a 1,a 0 ) b si b 1 (mód c) entonces a a 0 a 1 + a ( 1) n a n (mód c) Demostración. Ejercicio (es similar a la demostración de la proposición 2). Corolario. Sea a = (a n,a n 1,...,a 1,a 0 ) b si b 1 (mód c) entonces a es divisible por c si y solo si a 0 a 1 + a ( 1) n a n 0 (mód c) Corolario. Si b es congruente con 1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en base b) es divisible por c es suficiente saber si la suma de cifras de lugares pares menos la suma de las cifras de lugares impares es múltiplo de c. 4. Criterios con bloques de cifras Algunas veces es conveniente considerar las cifras de un número tomadas de dos en dos, o de tres en tres (siempre de derecha a izquierda). Aquí realmente, se está pasando el número a base b 2 o b 3, como se resalta en el siguiente lema cuyo enunciado y demostración se dejó como ejercicio en sección anterior. Lema 2. Las cifras de a escrito en base b m son las mismas que en base b pero tomadas de derecha a izquierda en bloques de m: Cada grupo de m cifras en base b corresponde a un dígito en base b m Ejemplo 6. Para pasar de base 2 a base 8 el entero ( ) 2 traducimos los bloque de 3 así: (110) 2 = 6; (001) 2 = 1; (110) 2 = 6; (101) 2 = 5; (010) 2 = 2; (10) 2 = 2; entonces las cifras en base 8 son 6, 1, 6, 5, 2, 2 (tomadas de derecha a izquierda) es decir: ( ) 2 = (225616) 8. 3

4 Si quisiéramos pasar a base 16 escogeríamos grupos de a 4 y tendríamos: y tenemos:. (1110) 2 = E; (1000) 2 = 8; (1011) 2 = B; (0010) 2 = 2; (1) 2 = 1 ( ) 2 = (12B8E) 16 Cuando la base es muy grande podríamos agotar las letras del alfabeto, entonces no se acostumbra colocar nuevas letras, sino dejar los dígitos decimales. Por ejemplo para pasar de base decimal a base 100, se necesitaría agregar 90 nuevos dígitos, mejor entender las parejas de dígitos decimales como dígitos centesimales, así: ( ) 10 = (19 : 16 : 86 : 39) Al aplicar el lema 2 con alguna de las proposiciones 1, 2 o 3, para algún m podremos conseguir y explicar otros criterios de divisibilidad, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 7. (Base decimal) Para saber si un entero es múltiplo de 100, todos sabemos que basta con saber si sus dos últimas cifras son exactamente 00. Claro! Cuando escribimos los números en base 100 los múltiplos de 100 son los que terminan en cero, pero este dígito se representa con dos ceros de la base decimal. Por otra parte, aplicando la proposición 1 al lema 2 obtenemos que por ejemplo, cualquier entero es congruente modulo 25 con sus dos últimas cifras ya que 25 divide a 100. Otra manera de saber si un número escrito en base 10 es divisible por 11 es hacer la suma de sus cifras tomadas de dos en dos. Por ejemplo: Compare con el ejemplo 5! = (mód 11) Ejemplo 8. Busquemos un criterio para saber si un entero escrito en base 2 es múltiplo de 3. Como 4 1 (mód 3) entonces en base 4 se puede aplicar la proposición 2 y tenemos que un número escrito en base 4 es congruente módulo 3 con la suma de sus cifras (ejemplo 4) pero según el lema 2 las cifras de base 4 son las parejas de cifras en base 2, entonces: Un número escrito en base 2 es múltiplo de 3 si y solo si la suma de sus cifras tomadas de dos es dos de derecha a izquierda es múltiplo de Separando las últimas cifras El operador quitar la última cifra, o las dos últimas, parece que no fuera un operador aritmético. Según el Teorema fundamental de la numeración, y trabajando en base decimal, si la última cifra de n es a, entonces n tendrá la forma n = 10n + a con 0 < a < 10, en donde n es precisamente lo que queda. Si lo que se quita a n son las dos últimas cifras, entonces convendrá considerar la forma de n como n = 100n + a en donde a es el valor de las dos últimas cifras (0 < a < 100) y n es lo que queda. Utilizando este sencillo operador, podemos encontrar útiles criterios de divisibilidad, que se justifican por alguna ecuación de congruencias. 1 En algunos idiomas, por ejemplo el inglés, se usa definitivamente la base cien: para decir 2019 el gringo dice veinte, diez y nueve. 4

5 Ejemplo 9. Un número escrito en base 10 es divisible por 17, si y solo si, al quitar sus dos últimas cifras y restarlas del duplo de lo que queda, el resultado es múltiplo de 17. Por ejemplo, para saber si 4767 es múltiplo de 17: quito 67 y lo que queda es 47, su duplo 94, menos 67, obtengo 27, que no es múltiplo de 17 por tanto 4767 tampoco lo es, pero si pruebo con 4267 tengo (42 2) 67 = = 17, y por tanto 4267 si es múltiplo de 17. La demostración de que este procedimiento es válido, parte de considerar n con la forma n = 100n +b, donde n es lo que queda y b es el número representado por las dos últimas cifras; debemos ver que n 0 (mód 17) si y solo si, 2n b 0 (mód 17) y esta es una equivalencia de congruencias, que se demuestra fácilmente: n = 100n + b 0 (mód 17) 15n + b 0 (mód 17) 2n + b 0 (mód 17) 2n b 0 (mód 17) 6. PREGUNTAS Y EJERCICIOS. Demostrar los siguientes criterios de divisibilidad: 1. En base diez un número es divisible por 2, si termina en cifra par. 2. En base diez un número es divisible por 5, si termina en 0 o En base diez un número es divisible por 20, si termina en 00, 20, 40, 60 ó En base 12 un número es divisible por 3, si su última cifra lo es. 5. En base 12 un número es divisible por 6, si termina en 0 ó En base 2 los múltiplos de 4 son aquellos que terminan en En base diez un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por En base 6 un número es divisible por 5, si la suma de sus cifras es divisible por En base diez un número es divisible por 37, si la suma de sus cifras tomadas de tres en tres, es divisible por En base 4 un número es divisible por 15, si la suma de sus cifras, tomadas de os en dos, es divisible por Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 13, se le quita su última cifra y se le suma multiplicada por 4 a lo que queda, el resultado es múltiplo de Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 11, se le quita su última cifra y se le suma a lo que queda, el resultado es múltiplo de Enuncie y demuestre un criterio para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 19. 5