Las demostraciones de las propiedades (1) y (2) quedan a cargo del estudiante.

Transcripción

1 Sección II CONCEPTOS PREVIOS.. Definición.. Se dice que un número entero! es divisible por otro entero! (distinto de cero) si existe un tercer entero! tal que! =!!. Se expresa como!!, que se lee! es divisible por! (o! divide a!, o! es divisor de!, o también! es múltiplo de!). Si! no divide a! se expresa!!. Ejemplos. ) 6 es divisible por, ya que ℤ tal que 6 = ) es divisible por, ya que ℤ tal que = ) 8 es divisible por 7, ya que 4 ℤ tal que 8 = 7 4 Contra-ejemplos. ) 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero! ℤ tal que 6 = 4!. ) no es divisible por, pues no existe un entero! ℤ tal que =!. ) 0 no es divisible por, pues no existe un entero! ℤ tal que 0 =!. Observaciones. )! y! tienen los mismos divisores. ) Todo divisor de! es menor o igual a! ) Un entero no nulo tiene un número finito de divisores. Propiedades. Sean!,!,! ℤ!"#! 0; entonces: ) Se tiene!,! 0,!!. ) Si!! entonces! (!) Las demostraciones de las propiedades () y () quedan a cargo del estudiante. ) Si!! y!! entonces! = ±!. 4

2 Demostración!!! =!" (!"#! ℤ)!!! =!" (!"#! ℤ) Por tanto:! =!" =!"! =!!"!" =!=!=!=!! =! =! =! 4) Si!! entonces!!! (! ℤ) Demostración Si!! entonces! =!", para algún! en ℤ, de donde!" =!(!"), luego!!" )!! y!! entonces!!. Demostración!!! =!! para algún! en ℤ y!!! =!!, para algún! en ℤ, luego sustituyendo tenemos que! =!!! =! (!") por lo tanto!!... PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA A continuación presentamos algunos teoremas que se desprenden del concepto de divisibilidad, algunos de las cuales usaremos más adelante. Teorema.. Si!! y!!, entonces! (! ±!). Demostración. Por hipótesis tenemos que:!!! =!", para algún! en ℤ!!! =!", para algún! en ℤ Sumando (y restando) miembro a miembro estas igualdades, tenemos:

3 ! ±! =!" ±!" Factorizando por!, tenemos:! ±! =!(! ±! ) Relación que establece que! (! ±!), que era lo que queríamos demostrar. Teorema.. Si!!, pero!!, entonces,! (! +!). Demostración. Sea! +! =!, y por hipótesis!! y!!. Luego, se desprende que!! =!. Supongamos que!! entonces!!! =!, por teorema.. pero!! lo que produce una contradicción a nuestra hipótesis, por lo tanto!!, es decir,! (! +!)... NÚMEROS PRIMOS Definición.. Decimos que un entero positivo! es primo si! y los únicos enteros positivos que dividen a! son y el propio!. Ejemplos. ) es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son y. ) es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son y. ) es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son y. Contra-ejemplos. ) 4 no es primo, dado que además de tener como divisores al y si mismo (4), es divisible también por. ) 6 no es primo, dado que además de tener como divisores al y si mismo (6), es divisible también por y por. ) 8 no es primo, dado que además de tener como divisores al y si mismo (8), es divisible también por y por 4. 6

4 Nota: A los números que no son primos se les llama compuestos.... Propiedades. ) El conjunto de los números primos es infinito. ) El único primo par es el. ) Si! y! son primos y!!, entonces! =! 4) Si! es un entero compuesto,! tendrá un divisor (primo) menor o igual a!. Teorema.. Todo número compuesto! N admite, al menos, un divisor primo distinto de. Teorema.. Todo número compuesto! N producto de factores primos. puede expresarse mediante el! =!!!!!!!!!!!" ( ) Donde!!,!!,,!! son números primos distintos,!!,!!,,!! enteros positivos. El número de divisores positivos de! es:!! +!! +.!! + (** ) Ejemplos. ) es compuesto y puede expresarse como: =!!!! = y!!!! =, además,!! = y!! =, entonces, el número de divisores positivos de! es: + + = = 4 Por lo tanto tiene 4 divisores positivos, a saber:,, y ) 8 es compuesto y puede expresarse como: 8 =! 7 (*)Ver [7] página 9. (**)Ver [7] página. 7

5 !!!! =! y!!!! = 7, además,!! = y!! =, entonces, el número de divisores positivos de! es: + + = =6 Por lo tanto 8 tiene 6 divisores positivos, a saber:,, 4, 7, 4! 8 ) 00 es compuesto y puede expresarse como: 00 =!!!!!! =! y!!!! =!, además,!! = y!! =, entonces, el número de divisores positivos de! es: + + = =9 Por lo tanto 00 tiene,, 4,, 0, 0,, 0! 00 9 divisores positivos, a saber:... CRIBA DE ERATÓSTENES. La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite colar todos los números primos menores que un número natural dado!, eliminando los números compuestos de la lista,,,!. Es simple y razonablemente eficiente para valores no muy grandes de!. Primero tomamos una lista de números,,,! y eliminamos de la lista los múltiplos de. Luego consideramos el primer entero después de que no fue borrado (el ) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente. Los números que permanecen en la lista son los primos,,, 7, Ejemplo. Primos menores que! = 0 Lista Inicial Eliminar múltiplos de Resultado Eliminar múltiplos de Resultado

6 ... ALGORITMO PARA DESARROLLAR LA CRIBA DE ERATÓSTENES... Primer refinamiento: Tachar sólo pares Excepto el, los pares no son primos, así que podríamos tachar sólo sobre la lista de impares!:,, 7, 9, =! +! = 0,,! El último impar es! o!. En cualquier caso, el último impar es pues, Si! es impar,! =! + y Si! es par,! =! y...!!!!!!!!!!!! + =!! +=! =!! + =! =! Segundo refinamiento: Tachar de!!! en adelante En el paso k-ésimo hay que tachar los múltiplos de primo!! desde!!! en adelante. Esto es así pues!!,!!,,!!!!!!. en los pasos anteriores ya se tacharon Por ejemplo, cuando nos toca tachar los múltiplos del primo 7, ya se han eliminado los múltiplos de, y, es decir, ya se han eliminado 7, 7, 4 7, 7 y 6 7. Por eso iniciamos en 7!.... Tercer refinamiento: Tachar mientras!!!! En el paso k-ésimo hay que tachar los múltiplos del primo!! sólo si!!!!. En otro caso, nos detendremos ahí, ya que en el paso anterior hemos tachado los La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así:!! =!, donde [!] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:!(!)! <!(!) +! 9

7 múltiplos del primo!! desde!!! en adelante, así que si!!! >! ya no hay nada que tachar. Ejemplo. Encontrar los primos menores que 0. El proceso termina cuando el cuadrado del número mayor confirmado como primo es < 0. Solución.. La lista inicial es,,, 7, 9,,,, 7, 9 (no se registran los pares con excepción del.. Como! 0, tachamos los múltiplo de desde! = 9 en adelante:,,, 7, 9,,,, 7, 9. Como! > 0 el proceso termina aquí. 4. Primos < 0:,,, 7,,, 7, 9 Ejemplo. Encontrar los primos menores que 0. El proceso termina cuando el cuadrado del número mayor confirmado como primo es < 0. Solución. ) La lista inicial es {,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9,4, 4, 4, 47, 49,,,, 7, 9, 6, 6, 6, 67, 69, 7, 7, 7, 77, 79, 8, 8, 8, 87, 89, 9, 9, 9, 97, 99, 0, 0, 0, 07, 09,,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9, 4 4, 4, 47, 49} (no se registran los pares con excepción del ). ) Como! 0, tachamos los múltiplo de desde! = 9 en adelante: {,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9,4, 4, 4, 47, 49,,,, 7, 9, 6, 6, 6, 67, 69, 7, 7, 7, 77, 79,8, 8, 8, 87 89, 9, 9, 9, 97, 99 0, 0, 0, 07, 09,,,, 79,,,, 7, 9,,,, 7, 9, 4, 4, 4,47, 49} 0

8 ) Como! 0, tachamos los múltiplo de desde! = en adelante: {,,, 7,,, 7, 9,,, 9,,, 7, 4, 4, 47, 49,, 9, 6, 6, 67, 7, 7, 77,79, 8, 8, 89, 9, 9, 97, 0, 0, 07, 09,,, 9,,, 7,,, 7, 9, 4, 4, 49} 4) Como 7! 0, tachamos los múltiplo de 7 desde 7! = 49 en adelante: {,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 49, 9, 6, 67, 7, 7, 77, 79, 8, 89, 9, 97, 0, 0, 07, 09,, 9,, 7,,, 7, 9, 4, 49} ) Como! 0, tachamos los múltiplo de desde! = en adelante: {,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 9, 6, 67, 7, 79, 8, 89, 97, 0, 0, 07, 09,,, 7,, 7, 9, 4, 49} 6) Como! > 0, el proceso termina aquí: 7) Primos < 0: {,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 9, 6, 67, 7, 79, 8, 89, 97, 0, 0, 07, 09,, 7,, 7, 9,49}.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.4.. Máximo Común Divisor (MCD) Definición.4. Sean!,! ℤ, con! 0!! 0, el máximo común divisor (!"#) de! y! es el entero más grande! que divide a! y! a la vez. En base a la definición precedente, para demostrar que un entero positivo! es el máximo común divisor de dos enteros! y!, con! 0!! 0, es suficiente probar que: (i)!!!!! (ii) Si!!!!!, entonces!!.

9 Descomponiendo en factores primos El!"# de dos o más números se puede calcular descomponiendo cada número en un producto de sus factores primos, utilizando las potencias, quedando este procedimiento definido por: El!"# de dos o más cantidades queda determinado por el producto de los factores primos comunes a todos los números, elevados al menor exponente con que se encuentren. Ejemplos ) Determinar!"# 70,68. Solución. Descomponemos cada número en factores primos: =! 9 68 =! 46 Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente, como en este caso sólo existe uno, tenemos que:!"# 70,68 = ) Determinar!"# 96,40. Solución. Descomponemos cada número en factores primos: =! =! 7 7 7

10 Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente, como en este caso sólo existe uno, tenemos que:!"# 70,68 =! = 4 ) Determinar!"# 84, 0. Solución. Descomponemos cada número en factores primos: =! 7 0 =! Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente y tenemos que:!"# 70,68 =! = Observaciones del MCD Si! =! = 0, entonces!"#!,! no existe. Si! 0 y! = 0, entonces!"#!,! =! y si! = 0 y! 0, entonces!"#!,! =!. El!"#!,!. Si! es múltiplo de!, o bien,! es divisor de!, entonces el!"#(!,!) =!. Si! y! son primos, entonces el!"#(!,!) =. Si! y! son compuestos, pero no tienen divisores comunes, entonces!"#!,! =..4.. Algoritmo de Euclides El Algoritmo de Euclides proporciona un método para calcular el!"# de dos números. Consiste en aplicar reiteradas veces el siguiente teorema: Teorema.. Sean!"#!,! =!"#!,!.!,!! ℤ! tales que! =!" +!. Entonces

11 Demostración. Es inmediata de la definición de máximo común divisor. Sean! =!"#(!,!) y! =!"#(!,!) los máximos comunes divisores de!,! y de!,!, respectivamente. Despejando! se tiene que! =!!". Como!! y!!, se obtiene por propiedad de la división, que! también divide a! y luego, por definición de!,!!. Además! es también un divisor de! y, por definición de!,!!. Por lo tanto no queda otra alternativa que! =!. Para calcular!"#(!,!) procedemos de la siguiente manera. Aplicando el algoritmo de la división sucesivamente obtenemos la siguiente cadena de igualdades:! =!!! +!!, 0!! <!,! =!!!! +!!, 0!! <!!,!! =!!!! +!!, 0!! <!!,!!!! =!!!!!! +!!, 0!! <!!!!,!!!! =!!!!!! +!!!!,!!!! = 0. Detenemos el proceso al encontrar el primer resto nulo. Esto siempre sucede puesto que el resto de una etapa es estrictamente menos que el resto de la etapa anterior y!!, el primer resto, es estrictamente menor que!. Aplicando el teorema se obtiene que:!"#!,! =!"#!,!! =!"#!!,!! = =!"#!!!!,!! =!!"#(!!, 0) =!! Corolario..! y! serán primos entre sí cuando también los sean! y!. Ejemplos. ) Hallar el!"# de 0 y. Solución. Tenemos: = = = = En este ejemplo! =,! = 0 y los correspondientes restos son!! = 8,!! = 7,!! = y!! = 0. Luego!"#(0,) = 4

12 ) Calcular el!"#(44, 94) Solución. Tenemos: = = = = = + 0 En este ejemplo! = 44,! = 94 y los correspondientes restos son!! =,!! = 69,!! = 46,!! = y!! = 0. Luego!"# 44, 94 =.4.. Mínimo Común Múltiplo (MCM) Definición.. Sean!,! Z, con!,! 0. Sea! un múltiplo de ambos. Se dice que! es el mínimo común múltiplo de! y! cuando es el más pequeño de todos sus múltiplos comunes y distinto de cero. Si! es el mínimo común múltiplo entre! y! se anota:!"!(!,!) =! En base a la definición precedente, para demostrar que un entero positivo! es el mínimo común múltiplo de dos enteros! y! con!,! 0, es suficiente probar que: (i)!!!!! (ii) Si!!!!!, entonces!!. Descomponiendo en factores primos El!"! de dos o más números se puede calcular descomponiendo cada número en un producto de sus factores primos, utilizando las potencias, quedando este procedimiento definido por: El!"! de dos o más cantidades queda determinado por el producto de los factores primos comunes, elevados al mayor exponente con que se encuentren, por los factores primos no comunes.

13 Ejemplo. ) Determinar el!"!(8,4) Solución. Descomponemos en factores primos cada número: 8 9! Luego, 4 6!!"! 8,4 =!! = 9 8 = 7 ) Determinar el!"!(40,8) Solución. Descomponemos en factores primos cada número: ! Luego, !"! 8,4 =! 9 = 8 9 =.60 Observaciones del!"! Si! es un múltiplo de! y!, entonces!"!!,!!.!" Si! > 0!! > 0, entonces!"!!,! =!"#(!,!). Si! > 0, entonces!"!!",!" =!!"!(!,!) Si! es múltiplo de!, o bien,! es divisor de!, entonces el!"!(!,!) =! Si! y! son primos, entonces el!"!(!,!) =!" Si! y! son compuestos, pero no tienen divisores comunes, entonces!"!!,! =!". 6

14 .. EJERCICIOS RESUELTOS ) Sean A= 0 7 y B=, encontrar MCD (A,B) y MCM (A,B). Solución. MCD (A,B) = = 4 MCM (A,B) = 0 7 ) Demostrar que!! +!! es divisible por! para cualquier número natural!. Solución. Para todo número entero n se tiene que:!! +! =!(!! + ) Aplicando el algoritmo de la división a! y se obtiene:! =! +!, 0! < Caso :! = 0! =! + 0 n es múltiplo de, luego!(!! + ) es múltiplo de Caso :! =! =! +!! + = 9!! + 6! + =!! +! +!! + es múltiplo de. Luego!(!! + ) es múltiplo de Caso :! =! =! +!! + = 9!! +! + 6 =!! + 4! +!! + es múltiplo de. Luego!(!! + ) es múltiplo de Por lo tanto,!! +! es múltiplo de para todo número entero!. 7

15 ) Cuántos divisores pares tiene el número!.!""? Solución. Descomponemos al número.00 en sus factores primos, obteniendo lo siguiente:.00 =!! Luego los exponentes obtenidos son 7 y De ahí tenemos que el número de divisores de.00 = = 8 = 4 Por lo tanto.00 tiene 4 divisores. De estos tenemos que sólo son pares aquellos que sean divisibles por. Además tenemos que los divisores de.00 serán los términos del producto: ( + +! +! +! +! +! +! ) + +! = ( + + ) y una forma práctica de calcularlos es determinando los números impares, que corresponden a,!!, es decir, y. Luego, los divisores impares son, por lo tanto los divisores impares son 4 =. 4) Cuántos divisores impares tiene el número!.!""? Solución. Primero descompongamos el número.00 para determinar cuántos divisores tiene: Por lo que al descomponer.00 en factores primos tenemos que:.00 =!! Observando los exponentes de los factores tenemos que:.00 tiene = = 6 divisores. tenemos que los divisores de.00 serán los términos del producto: ( + +! ) + +! = ( + )( + ) 8 Además

16 Ahora, determinemos cuáles de ellos son impares. Consideremos la tabla del ejemplo anterior, pero no consideremos aquellos múltiplos de. Luego,.00 tiene 9 divisores impares. x 7 x ) Cuál es la descomposición en factores primos del número más pequeño que tiene exactamente divisores? Solución. Tenemos que = = 0 + ( + ) por lo que los exponentes de los factores son y 0. Como se refiere al número más pequeños, los factores deben ser y por lo tanto la descomposición del número debe ser:!"! No consideramos la factorización!"! porque se pide el número más pequeño y éste no lo es..6. EJERCICIOS PROPUESTOS ) Resolver: i. Cuál es el entero positivo más pequeño que tiene exactamente 6 divisores? Y el que tiene 0? ii. Cuál es la característica de los números que tienen un número impar de divisores? iii. Cuántos cuadrados perfectos son divisores de 400? iv. Cuántos divisores pares tiene el número 0? v. Cuántos divisores impares tiene el número 4? 9

17 vi. Si un número n tiene 7 divisores Cuántos divisores tiene n? vii. El número n es múltiplo de 7 y tiene divisores Cuántos divisores tiene n? viii. El número p es múltiplo de 6 y tiene 9 divisores Cuántos divisores tiene 0n? ) Cuántos múltiplos puede tener un número n? Y cuántos divisores? Determinar estos conjuntos con los números 80, y 4. Mientras más grande el número mayor es el conjunto de elementos de múltplos y divisores? ) El residuo de la división de 84 entre 9 es. Diga sin efectuar la división, cuál será el residuo de dividir 68 entre 8; 8 entre? Por qué? 4) Cuáles de los siguientes números son primos: 7, 9, 97,, 4, 87,,, 89, 89, 9, 607, 70, 94, 96, 00, 009? ) Probar que!! + 4! es un múltiplo de para cualquier entero n. 6) Determinar un número natural n tal que entre 00 y 00 hay exactamente múltiplos de n 7) Expresar la descomposición en productos de factores de las siguientes parejas de números. Expresar y calcular el mcm y el MCD de ambos: a) 4 y 6 b) 0 y c) 40 y 8 d) y 48 8) Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de cada uno de los números del al 9? 9) Un gatito tarda segundos dar la vuelta a una pista circular, mientras que otro gatito lo hace en 6 segundos. Los dos parten al mismo tiempo de la línea de salida y la carrera termina minuto 40 segundos más tarde. Cuántas veces, durante la carrera, se encuentran simultáneamente en la línea de salida? 0) Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de: a) 7 y 6 b) 66 y 848 c) 78 y 84 0