Gu ıa Departamento. Matem aticas U.V.

Transcripción

1 Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas 1. Determinar el cociente y el residuo de 541 y de -541al dividir por y -391 al dividir por 17 Guía de Teoría de Números 2. Sea a Z,n N comparar los cocientes y residuos de la división de a y a por n 3. Estudiar el residuo en la división por 3 de 7,7 2,7 3, Estudiar el residuo en la división por 4 de 3,3 2,3 3, Estudiar el residuo en la división por 12 de 8,8 2,8 3, El cociente y el residuo en la división de a + 52 por b + 4 son los mismos que en la división de a por b: Determinar todas las posibles soluciones. 7. El resto de la division de a por 12 es 7 Cuál es el resto de la división de a por 3? 8. El resto de la division de a por 3 es 1 Cuál es el resto de la división de a por 12? 9. Cuál es el menor natural cuyo residuo en la división por 3, y por 10 y por 16 siempre es 2? 10. Encontrar el residuo de la división de 37 n por 11, para todo n 11. Cuál es la cifra de la unidades de Cuál es el residuo de la división de 1+2 n +3 n +4 n +5 n por 4,n N? 13. Determinar la validez de las siguientes proposiciones en Z Justificar. Si a b y b c entonces a c Si a b entonces a bc Si a b y c d entonces ac bd d) Si a b y c d entonces (a+ (b+d) e) Si a bc entonces a b o a c f) Si a b y a (b+ entonces a c 14. Sean a,b,k Z. Probar que a divisor de b si y sólo si a es un divisor de (b k Aplicacion: Encontrar todas los enteros x en los casos siguientes (x 5) (x+7) (x 4) (2x+9) (x+2) (4x 6)

2 15. Probar que si n divide a x 1 y 1 y x 2 y 2 entonces n (x 1 x 2 y 1 y 2 ) 16. Probarquesindivideax i y i paratodoi = 1,2,...,sentoncesn (x 1 x 2...x s y 1 y 2...y s ) 17. Sea p N, Probar que el producto de p enteros consecutivos es divisible por p!. Probar que (2p)! es divisible por (p!) Establecer una regla de divisibilidad por 11 en el sistema decimal. Verificar la multiplicación = haciendo la prueba del 11 Construir una multiplicación inexacta (mal imposible de detectar por la prueba del Probar que para todo n N se tiene: 10 n (9n 1)+1 es divisible por 9 3 2n 2 n es divisible por 7 4 n +15n+1 es divisible por 9 d) 2 2n 1 3 n+2 +1 es divisible por 11 e) (a+1) n+1 a(n+1) 1 es divisible por a Sea x,y,n N, Probar que si x 2 divide a y 2 entonces x divide a y. Determinar si x n divide a y n entonces x divide a y. 21. Sean n,p N,p un número primo Determinar el número de naturales menor o igual a n que son divisible por p Determinar el número de naturales menor o igual a n que son divisible por p 2 Suponga que conoce el número de naturales que son divisible por p a. Determinar los que son divisible por p a+1 d) Cuál es el exponente de p en la descomposición de n! en factores primos. 22. Se dice que un natural n es perfecto si y sólo si la suma de todos sus divisores es 2n Comprobar que 6, 28, 496, 8128 son perfectos Comprobar que si 2 p 1 es primo entonces 2 p 2 (2 p 1) es un número perfecto. 23. La descomposición del natural n = 2 a 3 b 5 c Cuántos divisores tiene n? 24. La descomposición del natural n = p a q b r c, donde p,q,r son primos relativos Cuántos divisores tiene n? 25. Demostrar

3 (b, = 1 = (a,b = (a,(a, (a, = 1 = (a r,b r ) = 1,r N (a, = 1 = [(a+b,a = 1 (a+b,a = 2] d) [b c (a, = 1] = (a, = 1 e) (a, = 1 = (a, = (a,b f) [a c b c (a, = 1] = ab c 26. Sean a,n,m N. Demostrar (a 2m +1,a 2n +1) = { 1 si a es par 2 si a es impar 27. Sean a,b,x,y N. Demostrar (a, = (a,b,ax+by) 28. Sean a,b N. Demostrar (a,a+ b 29. Si (a, = p (primo). Determinar los posibles valores de (a 2,,(a 3,,(a 2,b 3 ) 30. Sean a,b,q,r N tales que a = bq +r entonces demostrar que (a, = (b,r) 31. Sean a,b,q,r N tales que a = bq + r entonces determinar si es verdad que (a, = (a,r) 32. Si (a, = 1, que puede decir de (a+b,a 2 +ab+b 2 ) (ab,a+ (a 2 b+ab 2,a+ab+ 33. Demostrar que (231, 338) = Determinar x,y Z tales que (231,338) = 231x+338y 35. Demostrar que [(a,4) = 2 (b,4) = 2] = (a+b,4) = 4 Si (n,7) = 1 entonces 7 n 6 1 Si (n,7) = 1 entonces 7 n 12 1 d) Si (n,7) = 1 entonces 7 n 6k Aplicando el algoritmo de Euclides encontrar (6188,4709) (162,252) (81719, 52003, 33649, 30107) d) (315,189,357)

4 37. Son primos los naturales 2309; 2501; ; 1111; Todo primo impar de la forma p = 3k + 1, con k un entero positivo, es de la forma p = 6n+1,n Z Definición: El mínimo común múltiplo entre a, b dos enteros positivos, es el número positivo mas pequeño que divisible por a y b. notación mcm(a, = [a,b] 39. Determinar [21,35] [162,252] [12, 31, 18] 40. Sean a, b enteros positivos.demostrar que 41. Sean a, b enteros positivos.demostrar que ab = (a,[a,b] (a, = ([a,b],a+ 42. Determinar todos los naturales a,b N, en cada uno de los siguientes casos: a+b = 360 (a, = 18 ab = [a, b] = 2590 (a, = 6 [a,b] = 420 e) d) f) a+b = 960 (a, = 40 2a 2 +b 2 = (a, = 14 (a, = 18 [a,b] = Hallar todos los naturales tales que (a, = 22 y [a,b] = Resolver las siguientes ecuaciones Diofánticas 3x 5y = 1 15x 6y = 4 3x 5y = 7 d) 36x+105y = 6 e) 18x+35y = 1 f) 3675x 5145y = 4410 g) 10x 7y = 17 h) 306x+1050y = Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en los enteros 2x+3y +5z = 1 x+2y +5z = 3

5 12x+18y +15z = 3 3x 2y +15z = 25 12x+18y +15z = 3 3x 2y +15z = Resolver las siguientes congruencias en Z 3x 4 (5) 15x 4 (24) 3x 7 (5) d) 36x 6 (105) e) 18x 1 (35) f) 3675x 4420 (5145) g) 10x 7 (36) h) 306x 6 (1050) 47. Resolver el siguiente sistema de congruencia en Z d) 2x 1 (3) x 3 (4) 3x 5 (7) x 3 (4) 2x 1 (3) x 3 (4) 3x 5 (7) 2x 10 (12) 3x 1 (10) 3x 9 (21) 48. Resolver el siguiente sistema de congruencia en Z 2x 10 (12) x 3 (10) x 2 4 (7) 2x 8 (12) x 2 (10) x 2 3 (13) 2x 10 (12) x (10) x 2 3 (11)

6 d) 2x 6 (12) x 3 71 (10) x 2 3 (11) 49. Escriba una sola congruencia, que sea equivalente al siguiente sistema 50. Resolver la siguiente ecuación en Z x 1 (4) x 2 37 (3) (13) 125 (10) 51x 0 (11) (123) 211 (7) 36x 0 (11)