Operaciones combinadas con polinomios

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1 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda Operaciones combinadas con polinomios Objetivos. Aplicar las leyes de potencias.. Aplicar las propiedades de la suma y el producto.. Aplicar los productos notables en las operaciones con polinomios. 4. Efectuar divisiones de polinomios. Temas. De niciones básicas: Operaciones suma, resta, multiplicación.. Productos notables.. División algebraica y división sintética. 4. Operaciones combinadas

2 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda Resumen de conceptos fundamentales Leyes de Potencias Si x; y R; a; b Z entonces. x 0 ; x 6 0. x x. x a x a ; x x a x b x a+b 5. x a x b xa 6. (x y) a x a y a b 7. (x a ) b x ab 8. a x xa y y ; y 6 0 a Leyes de Signos para Potencias Si x R; a N; entonces ( x) a x a si a es par x a si a es impar Ejemplos ( ) 4 ( ) Notemos que ( ) y ( ) Fórmulas Notables Sean x; y R;. (x + y) x + xy + y. (x y) x xy + y. (x + y)(x y) x y

3 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda 4. (x + y) x + x y + xy + y 5. (x y) x x y + xy y 6. (x + y)(x xy + y ) x + y 7. (x y)(x + xy + y ) x y Operaciones combinadas Para simpli car una operación combinada: se efectúan las operaciones dentro de paréntesis, si los hay se aplican las fórmulas notables, si las hay se efectúan las multiplicaciones o divisiones nalmente, se efectúan sumas o restas Ejemplo Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica (a ) (a ) Se aplican las fórmulas notables (a ) (a ) (4a a + 9) (8a a + 6a ) se efectuan las multiplicaciones a + 6a 7 6a + 4a a + se efectuan las sumas o restas 6a + a + 4a 5 Ejemplo Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica m n m n m m n m m n m n m

4 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda m m n + mn 8 n m m n mn + 8 n Ejemplo Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica 9 n ( n+ n ) 9 n ( n+ n ) 9 n ( n+ n+ + n ) 9 n ( n (9 + )) 9 n 4 9 n 9 n n+ Ejemplo 4 Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica 9 b (b + ) 9 b (b + ) 9 9 b4 b + b 9 b 4 6b + 9 b 9 b 4 9b

5 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda 5 Ejemplo 5 Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica m m m m m m m m m + m 4 m m + m m m Ejemplo 6 Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica a b b + b a 8a a b + b b a 8a 4a b a b 8a b + a + b b 8a a b 4a b + a 4a b b + Ejemplo 7 Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica a (a b) (b a) (a b) (a b) a (a b) (b a) (a b) (a b) 6a + a b (ab b a + ab) (7a 7a b + 9ab b ) 6a + a b + ab + b + a ab 7a + 7a b 9ab + b a + 0a b 5ab + b + a 9ab + b

6 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda 6 División de polinomios Algoritmo de la división De nición Dados a; b Z con b 6 0 existen y son únicos q; r Z tales que a bq + r; 0 < r < q: El número a se llama dividendo, b divisor, q cociente y r residuo. La de nición anterior se puede ampliar a división de polinomios. De nición Dados los polinomios D(x) y d(x), existen y son únicos los polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) d(x) c(x) + r(x); grado r(x) <grado d(x) o bien r(x) igual al polinomio nulo. La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros: a. Se ordenan el dividendo y divisor de grado mayor a menor b. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor, el resultado es el primer término del cociente c. Se multiplica el monomio obtenido, por el polinomio divisor, se coloca el resultado bajo el dividendo d. Con el polinomio que se obtiene en el paso anterior se repite el proceso b y c. e. Se continúa hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Éste se llamará residuo. Ejemplo 8 Efectuar la división (x x ) (x + ) (x x + 0x ) (x + 0x + ) x x 0x x + 0x + (x +0x +4x) x x 4x (x +0x 4) 4x +

7 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda 7 División Sintética Se aplica cuando el divisor es de la forma (x a) ; a Q Ejemplo 9 Efectuar la división (x + 4x 4 x ) (x + ) Se puede aplicar división sintética pues el divisor es de la forma x a;donde a El primer paso es ordenar y completar el polinimio dividendo de grado mayor a menor. (x + 4x 4 x ) 4x 4 + x + 0x x Se trabaja sólo con los coe cientes numéricos del dividendo 4x 4 + x + 0x x ; los cuales son: 4 0 El divisor es (x + ) entonces el divisor que se usa en la división sintética es Los datos de la división sintética se interpretan: el cociente es 4x 7x + 4x 9 (un polinomio un grado menor que el dividendo) y el residuo es 55: Ejemplo 0 Efectuar la división (8x + 8x + x 5) (x ) En principio no se puede aplicar división sintética pues el divisor no es de la forma x a: Se puede ver que (x ) x ; reescribiendo la división se tiene que (8x + 8x + x 5) (x ) 8x + 8x + x 5 x se procede a realizar la división con divisor x con división sintética

8 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda El cociente es 8x + x + 8 4x + 6x + 4. y el residuo es Ejemplo Efectúe las operaciones y determine el cociente de (x + ) (x 4) (x ) (x + ) 8x + x + 6x + (x 4) 4x 6x + 6 (x + ) (x 4) 8x + 8x + x 6 Con división sintética Cociente 8x + x + 8 4x + 6x + 4 Ejemplo Efectúe las operaciones y determine el cociente de (8y 6 x y x 6 4xy 5 ) (xy x y ) : x 6 +0x 5 +0x 4 x y +0x 4xy 5 + 8y 6 x + xy y x 6 x 5 y + x 4 y x 4 + x y + 8x y + 4xy + 8y 4 x 5 y+ x 4 y x 5 y 9x 4 y +x y 8x 4 y 8x y 8x 4 y 4x y +8x y 4 4x y +8x y 4 4x y 6x y 4 + 4xy 5 8x y 4 + 8xy 5 8x y 4 54xy 5 + 8y 6 6xy 5 + 6y 6

9 ExMa-MA05. Operaciones combinadas W. Poveda 9 Ejemplo Efectuar las operaciones y simpli car la expresión algebraica (m 7m + 7m ) (m ) m 8 Como (m 7m + 7m ) (m ) m m + se tiene que m 8 (m 7m + 7m ) (m ) m m + m m + m m m 4 m + 9 m m 8 m 8