Factorización de polinomios

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1 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 1 Factorización de polinomios Objetivos 1. Factorizar completamente polinomios mediante los métodos de factor común, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, inspección, agrupación y división sintética. Temas 1. Ceros de un polinomio. 2. Factorización de polinomios. Métodos de factorización: factor común, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, inspección, agrupación. 3. Teorema del factor y del residuo.

2 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 2 La factorización de un polinomio consiste en expresarlo como un producto de monomios o polinomios, llamados factores el polinomio original. Con el propósito de que pueda estudiar y comprender la factorización de polinomios, a continuación le ofrecemos diversos ejemplos. Le recomendamos que usted no asuma que ya lo sabe: lea, comprenda y efectúe por sí mismo cada ejemplo cuando termine de comrpender esta sección. Ejemplo 1 Cuál es la factorización completa de 16ax 2 2ax 5 + 8ax 3 64a? 16ax 2 2ax 5 + 8ax 3 64a = 2a(x 5 4x 3 8x ) = 2a [(x 5 4x 3 ) + ( 8x )] = 2a [x 3 (x 2 4) 8(x 2 4)] = 2a(x 2 4)(x 3 8) = 2a(x + 2)(x 2) 2 (x 2 + 2x + 4) Ejemplo 2 Factorice completamente x 8 1 x 8 1 = (x 4 + 1)(x 4 1) = (x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 1) = (x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x 1) Ejemplo 3 Factorice completamente x xy + 32y 2 x xy + 32y 2 = (x + 4y) (x + 8y)

3 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 3 Ejemplo 4 Factorice completamente 2x xy + 64y 2 2x xy + 64y 2 = 2 (x + 4y) (x + 8y) Ejemplo 5 Factorice completamente x xy 32y 2 x xy 32y 2 = (x 8y) (x 4y) Ejemplo 6 Factorice completamente 25x 2 (3x 1) 2 25x 2 (3x 1) 2 = (5x + 3x 1)(5x (3x 1)) = (8x 1)(2x + 1) Ejemplo 7 Factorice completamente 2x 3 24x x 2x 3 24x x = 2x (x 2) (x 10) Ejemplo 8 Factorice completamente (x + 1) 2 + 5(x + 1) + 6 (x + 1) 2 + 5(x + 1) + 6 = (x + 4) (x + 3) Ejemplo 9 Factorice completamente 6x 4 16x 3 + 4x 2 6x 4 16x 3 + 4x 2 = 2x 2 ( 8x + 3x 2 + 2) Ejemplo 10 Factorice completamente b 2 m 2 4(b + m) 2 b 2 m 2 4(b + m) 2 = (bm + 2(b + m))(bm 2(b + m)) = (bm + 2b + 2m)(bm 2b 2m)

4 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 4 Ejemplo 11 Factorice completamente 25 x 2 + 4xy 4y 2 25 x 2 + 4xy 4y 2 = 25 (x 2 4xy + 4y 2 ) 25 (x 2y) 2 = (5 + x 2y)(5 x + 2y) Ejemplo 12 Factorice completamente m 2 n 2 2m + 2n m 2 n 2 2m + 2n = (m + n)(m n) 2(m n) = (m n)(m + n 2) Ejemplo 13 Factorice completamente x 4 27xy 3 x 4 27xy 3 = x(x 3 27y 3 ) = x (x 3y) (3xy + x 2 + 9y 2 ) Ejemplo 14 Factorice completamente 4x 2 y 2 + 2x(2x + y) 4x 2 y 2 + 2x(2x + y) = (2x + y)(2x y) + 2x(2x + y) = (2x + y)(2x y + 2x) = (2x + y)(4x y) Ejemplo 15 Factorice completamente (x + y) 2 x 2 + y 2 (x + y) 2 x 2 + y 2 = (x + y) 2 + (y x)(y + x) = (x + y)(x + y + y x) = (x + y)(2y)

5 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 5 Ejemplo 16 Factorice completamente (4x 5y) 2 2x 2 + 5y 2 (4x 5y) 2 16x y 2 = (4x 5y) 2 (16x 2 25y 2 ) = (4x 5y) 2 (4x 5y)(4x + 5y) = (4x 5y)(4x 5y 4x 5y) = 10x(4x 5y) Ejemplo 17 Factorice completamente bmp b 2 m b 2 p + b 3 bmp b 2 m b 2 p + b 3 = (bmp b 2 m) (b 2 p b 3 ) = bm(p b) b 2 (p b) = (bm b 2 )(p b) = b(m b)(p b) Ejemplo 18 Factorice completamente 2x(x 2y) x + 2y : La respuesta es (a), pues 2x(x 2y) x + 2y = 2x(x 2y) (x 2y) = (x 2y)(2x 1) 1 Ejemplo 19 Factorice completamente x + 2x Sea u = x 1 2 x + 2x = u 2 + 2u + 1 = (u + 1) 2 = ( p x + 1) 2

6 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 6 Ejemplo 20 Factorice completamente y 2m 100 y 2m 100 = (y m + 10)(y m 10) Ejemplo 21 Sea p; q; m; n 2 R, si pq = m y p + q = n Cuál es la factorización de x 2 nx + m? Sea f(x) = x 2 nx + m, f(x) es factorizable si existen p; q 2 R tal que n = p + q ^ m = pq así x 2 nx + m = x 2 (p + q)x + pq = (x p)(x q) Ejemplo 22 Factorice completamente 24x 1 12x 2 9 Consideremos el cambio de variable u = x 1 ) 24x 1 12x 2 9 = 24u 12u 2 9 = 3 (8u 4u 2 3) = 3 (2u 1) (2u 3) = 3(2x 1 1)(2x 1 3) = x x = 2 x 2 3x 3 x x = 3 (2 x)(2 3x) x2 = 3 (x 2)(2 3x) x2 = 3x 2 (x 2)(2 3x)

7 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 7 Ejemplo 23 Considere el polinomio P (x) = x 3 + px 2 + qx r;con p; q; r 2 R: Si P (1) = P ( 2) = P ( 3) = 0: Cuál es el valor numérico de p + q r? Como P (1) = P ( 2) = P ( 3) = 0, por el teorema del factor se tiene que (x 1); (x + 2) y (x + 3) son factores de P (x) ) P (x) = (x 1)(x + 2)(x + 3) si realizamos las operaciones obtenemos P (x) = x 3 + 4x 2 + x 6 ) p = 4; q = 1; r = 6 p + q r = = 11 Teorema del residuo Teorema 1 Si un polinomio P (x) se divide por un monomio de la forma (x ), 2 Q; entonces el residiuo de la división es P (): Ejemplo 24 Calcular el residuo de (3x 4 + 2x 2 x + 6) (x 2) Se aplica el teorema del residuo, P (2) = 3(2) 4 + 2(2) = 60 Teorema del factor Teorema 2 Un polinomio P (x) tiene un factor de la forma (x ), 2 Q; sii P () = 0: División sintética Ejemplo 25 Factorizar completamente el polinomio 4x 4 20x x 2 57x + 18

8 ExMa-MA0125. Factorización de polinomios W. Poveda 8 Sea P (x) = 4x 4 20x 3 +51x 2 57x+18;se procede a obtener los posibles ceros del polinomio, éstos son los divisores de la constante 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18;y los posibles ceros racionales del polinomio, éstos son los divisores de la constante entre los divisores del coe ciente principal, los factores del coe ciente principal son: 1; 2; 4: 1; 2; 3; 6; 9; 18; 1 2 ; 1 4 ; 2 2 ; 2 4 ; 3 2 ; 3 4 ; 6 2 ; 6 4 ; 9 2 ; 9 4 ; 18 2 ; 18 4 eliminando los repetidos 1; 2; 3; 6; 9; 18; 1 2 ; 1 4 ; 3 2 ; 3 4 ; 9 2 ; 9 4 aplicando el teorema del residuo y factor con los posobles ceros anteriores como P (1) 6= 0 ) (x 1) no es factor de P (x) como P ( 1) 6= 0 ) (x + 1) no es factor de P (x) se continúa así hasta que 1 P = 0 ) (2x 1) es factor de P (x); se aplica división sintética y se 2 obtiene un cociente de (4x 3 18x x 36) ) P (x) = (2x 1) (4x 3 18x x 36) se continúa veri cando hasta hallar otro cero 1 como P 6= 0 ) (2x 1) no es factor de P (x) 2 : : : 3 P = 0 ) (2x 3) es factor de P (x) 2 se realiza otra división sintética pero ahora con (4x 3 18x x 36)(2x 3) para obtener el cociente (x 2 3x + 6) ) P (x) = (2x 1)(2x 3)(x 2 3x + 6) se aplica inspección o fórmula general para factorizar x 2 3x + 6; el cual no es factorizable en R: 4x 4 20x x 2 57x + 18 = (2x 1)(2x 3)(x 2 3x + 6)