La derivada de una función también se puede obtener como el límite del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos.

Transcripción

1 Regla de los cuatro pasos La derivada de una función también se puede obtener como el límite del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos. f ( ) lím 0 f ( ) f ( ) El procedimiento en este caso consiste en los pasos siguientes: 1. Se da un incremento, a la variable independiente Se obtiene el incremento correspondiente a la función f ( ) f ( ) 3. Se obtiene el cociente de los incrementos 4. Se calcula el límite del cociente de incrementos y esto proporciona la derivada de f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lím 0 En la aplicación de esta regla, además de las operaciones de factorización que ya recordamos, será necesario utilizar el desarrollo de binomios como: ( a b) a ab b ( a b) a 3a b 3ab b ( a b) a 4a b 6a b 4 ab b,etc Y también recordar cómo racionalizar el numerador o denominador de una fracción. Veamos otros ejemplos para obtener la derivada de una función, aplicando esta definición de la regla de los cuatro pasos Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

2 Ejemplo 14 Obtén la derivada de la función f ( ) Damos un incremento a, Obtenemos el incremento de la función f ( ) f ( ) 5( ) ( 5 ) Obtenemos el cociente de incrementos 4. aplicamos el límite Por lo tanto, f ( ) 6 lím ( 6) 6 0 f ( ) f ( ) 5 5 y de Ejemplo 15 Obtén la derivada f ( ) f() 1. Damos un incremento a y obtenemos el incremento correspondiente a f ( ) f ( ) 5( ) 13( ) Obtenemos el cociente de incrementos 1. 5( ) 13( ) 3 (5 13 3) Desarrollamos el binomio al cuadrado y eliminamos paréntesis Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 39

3 5( ) Simplificamos el 13 y el Calculamos el límite de la epresión anterior, para obtener la derivada lím Por lo tanto, f ( ) Ejemplo 16 Obtén la derivada de 3 f ( ) Damos inicialmente un incremento a y obtenemos el incremento correspondiente a f() f f 3 3 ( ) ( ) ( ) 6( ) 7( ) 11 ( ) Obtenemos el cociente de incrementos 3. f f 3 3 ( ) ( ) ( ) 6( ) 7( ) 11 ( ) Desarrollamos los binomios ( 3 3 ) 6( ) simplificamos términos semejantes Dividimos todos los términos entre 4. 0 y aplicamos el límite lím Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

4 Finalmente, la derivada de f f 3 ( ) es ( ) Ejemplo 17 Obtén la derivada de f ( ) 1. Calculamos el incremento de f() al incrementar la variable f ( ) f ( ) ( ) 7( ) 4 3. Obtenemos ahora el cociente de incrementos ( ) ( ) f ( ) f ( ) Desarrollamos los binomios a la cuarta y al cubo para después simplificar términos semejantes ( ) ( 3 3 ) Ahora dividimos cada término entre 0 y aplicamos el límite lím Por consiguiente, la derivada de 11 7 f ( ) es f ( ) Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 41

5 Ejemplo 18 Obtén la derivada de 5 f ( ) Nuevamente, iniciamos obteniendo el incremento de la función, al incrementar a la variable f f 5 5 ( ) ( ) 11 ( ) 6( ) (11 6 ) 3. Obtenemos ahora el cociente de los incrementos f f 5 5 ( ) ( ) 11 ( ) 6( ) (11 6 ) Desarrollamos los binomios 11 ( ) 6( ) Eliminamos paréntesis y simplificamos términos semejantes Dividimos por Δ y aplicamos el límite 4. lím Por lo tanto, la derivada de f ( ) es f ( ) Ejemplo 19 Obtén la derivada de f ( ) 3-4 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

6 1.Obtenemos el incremento de f() al incrementar f ( ) f ( ) 3 ( 3 ) 3. Obtenemos ahora el cociente de los incrementos f ( ) f ( ) 3 3 Multiplicaremos, tanto numerador y denominador, por el binomio conjugado del numerador para racionalizar éste ( ) = 3 3 ( 3 3 ) ( 3 3 ) Simplificamos y aplicamos el límite f ( ) lím Por consiguiente, la derivada de f ( ) 3 es f ( ) Ejemplo 0 Obtén la derivada de la función f( ) 8 1. Incrementamos y obtenemos el incremento de f( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) 8( ) 8 Debemos obtener el denominador común al sumar las fracciones ( ) 8( ) ( 8 ) ( ) 8( ) ( 8 ) ( )( 8 ) ( ) 8( ) ( )( 8 ) ( ) 8 8 Desarrollando los productos en el numerador, se obtiene Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 43

7 ( ) 8 8 ( ) 8( ) ( 8 ) Simplificamos términos semejantes en el numerador, tendremos ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) 3. Ahora obtenemos el cociente de los incrementos y simplificamos ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) f ( ) f ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) 4. Calculamos el límite cuando tiende a cero de éste último cociente lím ( ) 8( ) ( 8 ) 0 ( 8 )( 8 ) ( 8 ) Y éste último resultado es la derivada de la función f( ) 8 Ejercicio 4 Obtén la derivada de las siguientes funciones utilizando ya sea el límite de Fermat o la regla de los cuatro pasos y después calcula la pendiente de la tangente a la curva en el punto que se indica f 3 ( ) 6,en 1 f 3 3 ( ) 4,en 3 f 3 ( ) 6,en 1 f ( ) 4,en 4 5. f ( ) 4 7 1,en f ( ), en Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio