Ecuaciones diferenciales de orden superior
|
|
|
- Hugo Gutiérrez Quintero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior ED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n 3 En la sección anterior hemos obtenido las soluciones de la ED lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos, es decir: ay 00 C by 0 C cy D 0: Las soluciones fueron determinadas proponiendo una solución de la forma exponencial y D e rx, con r constante, y resolviendo luego la ecuación característica: ar 2 C br C c D 0: Los tres diferentes tipos de solución de esta ecuación algebraica determinaron los tres diferentes tipos de solución general para la ecuación diferencial. De manera análoga se resuelve la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n 3 W a n y.n/ C a n 1 y.n 1/ C C a 3 y.3/ C a 2 y 00 C a 1 y 0 C a 0 y D 0; donde los coeficientes a n ; a n 1 ; ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; a 0 son constantes y donde a n 0. Se propone que una solución sea de la forma y D e rx, por lo tanto: y D e rx y 0 D re rx y 00 D r 2 e rx y.3/ D r 3 e rx : : : y.n/ D r n e rx : Al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene la ecuación auxiliar o característica: El polinomio auxiliar o característico de grado n: a n r n C a n 1 r n 1 C C a 3 r 3 C a 2 r 2 C a 1 r C a 0 D 0: p.r/ D a n r n C a n 1 r n 1 C C a 3 r 3 C a 2 r 2 C a 1 r C a 0 tiene n raíces. Esta última afirmación se sustenta en el teorema Fundamental del Álgebra, en el que se asegura que: todo polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces 1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/
2 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias reales o complejas, considerando sus multiplicidades. Cada una de las raíces genera una solución de la ecuación diferencial. Cuando una raíz r se repite k-veces, se dice que tiene multiplicidad k, y una raíz es de multiplicidad uno cuando sólo aparece una vez. Así, la suma de las multiplicidades de las raíces será igual al grado n del polinomio característico. Ilustramos mediante los siguientes ejemplos las relaciones entre ED lineales con coeficientes constantes, sus polinomios característicos y las multiplicidades de sus raíces. Ejemplo Encuentra una ED que tenga como polinomio característico p.r/ D.r 1/ 2.r C 3/.r 2/ 3 : Las raíces del polinomio p.r/ son r D 1 (cuando r 1 D 0 y, por repetirse 2 veces, tiene multiplicidad 2. r D 3 (cuando r C 3 D 0 y tiene multiplicidad 1. r D 2 (cuando r 2 D 0 y, por repetirse 3 veces, tiene multiplicidad 3. La suma de las multiplicidades en este caso es 6 D 2 C 1 C 3, que es precisamente el grado del polinomio característico p.r/ D.r 1/ 2.r C 3/.r 2/ 3 D r 6 5r 5 C r 4 C 37r 3 86r 2 C 76r 24: Este polinomio es el polinomio auxiliar asociado a la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y.6/ 5y.5/ C y.4/ C 37y.3/ 86y 00 C 76y 0 24y D 0; que es de orden 6. Ejemplo Encuentra una ED que tenga como polinomio característico p.r/ D r 3.r 2 1/.r 2 C 1/: p.r/ tiene las raíces siguientes: r D 0 (cuando r 3 D 0, y tiene multiplicidad 3. r D 1 (cuando r 2 1 D 0, con multiplicidad 1 cada una. r D i (cuando r 2 C 1 D 0; o bien r 2 D 1, con multiplicidad 1 cada una. La suma de las multiplicidades es 7, esto es, 3 C 1 C 1 C 1 C 1, que es precisamente el grado del polinomio característico p.r/ D r 3.r 2 1/.r 2 C 1/ D r 7 r 3 ; el cual es el polinomio auxiliar asociado a la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y.7/ y.3/ D 0; que es de orden 7. El mayor problema que encontraremos al resolver la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n 3 está en encontrar las raíces del polinomio característico de grado n: p.r/ D a n r n C a n 1 r n 1 C C a 3 r 3 C a 2 r 2 C a 1 r C a 0 ;
3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 3 ya que, en general, no se tiene una fórmula para encontrar sus raíces, como sí se tiene para la ecuación de segundo grado. Un resultado que ayuda en esta problemática es el teorema del Residuo, el cual nos permite afirmar que: Si P.r/ es un polinomio (característico y r D r 1 es una raíz de P.r/, entonces.r r 1 / es un factor de P.r/. Esto es, P.r/ D.r r 1 /Q.r/; donde Q.r/ es el polinomio que resulta de dividir P.r/ entre r r 1. Es claro que, si P.r/ es de grado n, entonces Q.r/ es de grado n 1. En álgebra superior se demuestra que, si r D es una raíz racional del polinomio ˇ p.r/ D a n r n C a n 1 r n 1 C ::: C a 2 r 2 C a 1 r C a 0 ; entonces, debe ser un divisor de a 0 y ˇ debe ser un divisor del coeficiente a n. De esta manera, para un polinomio como p.r/ D r 3 r 2 C r 1, sus posibles raíces racionales son de la forma r D, donde es un ˇ divisor de a 0 D 1 y ˇ es un divisor de a 3 D 1. Esto es, los posibles valores de son 1 y de ˇ son 1; por ello, las posibles raíces racionales del polinomio p.r/ son r D 1. Ahora bien, para determinar si alguno de estos valores es una raíz del polinomio, se requiere saber si p.r/ D 0. Mediante cálculos numéricos podemos ver que r D 1 es una raíz de p.r/, ya que p.1/ D 0. Ejemplo Encuentre las raíces del polinomio P.r/ D r 3 r 2 C r 1. Por ser r D 1 una raíz de P.r/, se puede afirmar que.r Realizando la división de polinomios 1/ es un factor de P.r/. P.r/ r 1 D r 3 r 2 C r 1 ; r 1 encontramos que P.r/ r 1 D r 2 C 1, por lo cual P.r/ D.r 1/.r 2 C 1/. De esto se desprende que r 3 r 2 C r 1 D 0.r 1/.r 2 C 1/ D 0: Por lo tanto las raíces de P.r/ son: r D 1 & r D i. Ejemplo Encuentre las raíces del polinomio P.r/ D r 3 C r 2 4r 4. Mediante cálculos numéricos podemos ver que P.r/ D 0, para r D 2. Se afirma entonces que r D 2 es una raíz de P.r/, por lo cual.r 2/ es un factor de P.r/. Realizando la división P.r/ r 2, obtenemos: r 3 C r 2 4r 4 r 2 D r 2 C 3r C 2; por lo que se puede afirmar que r 3 C r 2 4r 4 D.r 2/.r 2 C 3r C 2/. Y debido a que r 2 C 3r C 2 D.r C 1/.r C 2/, tenemos: r 3 C r 2 4r 4 D 0.r 2/.r C 1/.r C 2/ D 0: Por lo tanto las raíces de P.r/ son: r D 2; r D 1; r D 2. Otro resultado del álgebra indica que todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como producto de polinomios lineales y polinomios cuadráticos irreducibles (con coeficientes también reales. Dichos polinomios cuadráticos no pueden factorizarse mediante polinomios lineales con coeficientes reales. En consecuencia:
4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias El polinomio característico P.r/ de grado n 3 puede expresarse como un producto de factores que pueden ser lineales o bien cuadráticos irreducibles. Los factores lineales generan raíces reales r. Los factores cuadráticos irreducibles siempre generan parejas de raíces complejas conjugadas r D iˇ. Podemos entonces utilizar las soluciones obtenidas en la ED lineal homogénea de orden 2, a efecto de construir un conjunto fundamental de soluciones de la ED lineal homogénea de orden n 3. Tenemos: Si r es una raíz real de multiplicidad k, entonces en el conjunto fundamental de soluciones se incluirán las soluciones fe rx ; xe rx ; x 2 e rx ; : : : ; x k 1 e rx g: Si r D iˇ es un par de soluciones complejas conjugadas de multiplicidad m, entonces en el conjunto fundamental de soluciones se incluirán las soluciones e x cos ˇx; xe x cos ˇx; x 2 e x cos ˇx; : : : ; x m 1 e x cos ˇx } I e x sen ˇx; xe x sen ˇx; x 2 e x sen ˇx; : : : ; x m 1 e x sen ˇx } : Y como en el caso de la ED lineal homogénea de orden 2, la solución general de la ED lineal homogénea de orden n 3 será una combinación lineal de soluciones de estos tipos. Ejemplo Obtener la solución general de la ecuación diferencial y 000 C y 00 4y 0 4y D 0. r 3 C r 2 4r 4 D 0; que, como vimos en el ejemplo anterior, se puede expresar así:.r 2/.r C 1/.r C 2/ D 0; r 2 D 0 r C 1 D 0 r C 2 D 0 r 1 D 2I r 2 D 1I r 3 D 2: Tenemos entonces 3 raíces reales, las que generan 3 soluciones exponenciales y 1 D e 2x ; y 2 D e x & y 3 D e 2x ; las cuales forman un conjunto fundamental de soluciones. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es y D c 1 e 2x C c 2 e x C c 3 e 2x ; donde c 1 ; c 2 & c 3 son constantes arbitrarias. Ejemplo Resolver la ecuación diferencial y.3/ y 00 C y 0 y D 0. r 3 r 2 C r 1 D 0; que, como vimos en el ejemplo anterior, se puede expresar así:.r 1/.r 2 C 1/ D 0I
5 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 5 r 1 D 0 r 2 C 1 D 0 r D 1 r 2 D 1 r D 1I r D i: Tenemos una raíz real r 1 D 1, la cual genera una solución exponencial: y 1 D e x. También se tiene un par de raíces complejas conjugadas r D i D 0 1i, las cuales dan origen a las soluciones: y 2 D e 0x cos 1x D cos x & y 3 D e 0x sen 1x D sen x. Entonces, el conjunto fundamental de soluciones está conformado por las funciones: e x ; cos x & sen x. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial dada es y D c 1 e x C c 2 cos x C c 3 sen x; con c 1 ; c 2 & c 3 constantes arbitrarias. Ejemplo Obtener la solución general de la ED y.6/ 5y.5/ C y.4/ C 37y.3/ 86y 00 C 76y 0 24y D 0. r 6 5r 5 C r 4 C 37r 3 86r 2 C 76r 24 D 0; que, como vimos en el ejemplo anterior, se puede expresar así:.r 1/ 2.r C 3/.r 2/ 3 D 0;.r 1/ 2 D 0 r C 3 D 0.r 2/ 2 D 0 r 1 D 0 r C 3 D 0 r 2 D 0 r 1 D 1I r 2 D 3I r 3 D 2: Que son raíces reales de diversas multiplicidades. La raíz real r 1 D 1 de multiplicidad 2 genera dos soluciones: y 1 D e x & y 2 D xe x. La raíz real r 2 D 3 de multiplicidad 1 da origen a sólo una solución: y 3 D e 3x. La raíz real r 3 D 2 de multiplicidad 3 genera tres soluciones: y 4 D e 2x ; y 5 D xe 2x & y 6 D x 2 e 2x. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial dada es y D c 1 e x C c 2 xe x C c 3 e 3x C c 4 e 2x C c 5 xe 2x C c 6 x 2 e 2x y D.c 1 C c 2 x/e x C c 3 e 3x C.c 4 C c 5 x C c 6 x 2 /e 2x : Ejemplo Resolver la ecuación diferencial y.7/ C 8y.5/ C 16y.3/ D 0. r 7 C 8r 5 C 16r 3 D 0; que se puede expresar así: r 3 D 0.r 2 C 4/ 2 D 0 r 3.r 4 C 8r 2 C 16/ D 0 r 3.r 2 C 4/ 2 D 0; r D 0 r 2 C 4 D 0 r D 0 r 2 D 4 r D 0I r D 2i:
6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias La raíz real r D 0 tiene multiplicidad 3 y genera tres soluciones: y 1 D e 0x D 1I y 2 D xe 0x D x & y 3 D x 2 e 0x D x 2. El par de raíces complejas conjugadas r D 0 2i, de multiplicidad 2, generan 4 soluciones: y 4 D e 0x cos 2x D cos 2xI y 5 D e 0x sen 2x D sen 2xI y 6 D x cos 2x & y 7 D x sen 2x. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial dada es y D c 1.1/ C c 2 x C c 3 x 2 C c 4 cos 2x C c 5 sen 2x C c 6 x cos 2x C c 7 x sen 2x; o bien y D c 1 C c 2 x C c 3 x 2 C.c 4 C c 6 x/ cos 2x C.c 5 C c 7 x/ sen 2x: Ejercicios ED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n 3. Soluciones en la página 7 Obtener la solución general de las ED siguientes: 1. y 000 C 7y 00 C 10y 0 D y 000 2y 00 C y 0 D y 000 3y 00 C 3y 0 1 D y.4/ y 00 D y.4/ C y 00 D y.6/ y 00 D y 000 C y 00 2y D y 000 C 3y 00 C 3y 0 C 1 D y.4/ C y 000 3y 00 5y 0 2y D y.4/ 16y D y.4/ C 2y 00 C y D y.7/ 2y.5/ C y.3/ D y.4/ y D y.3/ 8y D y.5/ C 8y.3/ D y.8/ 2y.4/ C y D 0.
7 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 7 Ejercicios ED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n. Página 6 1. y D c 1 C c 2 e 2x C c 3 e 5x. 2. y D c 1 C c 2 e x C c 3 xe x. 3. y D c 1 e x C c 2 xe x C c 3 x 2 e x. 4. y D c 1 C c 2 x C c 3 e x C c 4 e x. 5. y D c 1 C c 2 x C c 3 cos x C c 4 sen x. 6. y D c 1 C c 2 x C c 3 e x C c 4 e x C c 5 cos x C c 6 sen x. 7. y D c 1 e x C c 2 e x cos x C c 3 e x sen x. 8. y D c 1 e x C c 2 xe x C c 3 x 2 e x. 9. y D c 1 e x C c 2 xe x C c 3 x 2 e x C c 4 e 2x. 10. y D c 1 e 2x C c 2 e 2x C c 3 cos 2x C c 4 sen 2x. 11. y D c 1 cos x C c 2 sen x C c 3 x cos x C c 4 x sen x. 12. y D c 1 C c 2 x C c 3 x 2 C c 4 e x C c 5 xe x C c 6 e x C C c 7 xe x. 13. y D c 1 e x 2 C c 2 e x 2 C c 3 cos x 2 C c 4 sen x y D c 1 e 2x C e x Œc 2 cos. p 3x/ C c 3 sen. p 3x/. 15. y D c 1 Cc 2 x Cc 3 x 2 Cc 4 cos.2 p 2x/Cc 5 sen.2 p 2x/. 16. y D c 1 cos x C c 2 sen x C c 3 x cos x C c 4 x sen x C C c 5 e x C c 6 xe x C c 7 e x C c 8 xe x.
Ejercicios Resueltos del Tema 4
70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la
POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.
POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (
Funciones polinomiales de grados 3 y 4
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados
Factorización de polinomios
Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes
4.4 ED lineales homogéneas con coeficientes constantes
4.4 ED lineales homogéneas con coeficientes constantes 05 a. Verifique que, si y es una segunda solución tal que f y 1 ; y g sea linealmente independiente, entonces d y D W.y 1; y / dx y 1 y1.. Verifique
1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):
Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen
f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0
FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace
2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma
Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo
POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N
1.6.- CLASIFICACION Y OPERACIONES DE FUNCIONES
1.6.- CLASIFICACION Y OPERACIONES DE FUNCIONES OBJETIVO.- Conocer y manejar las operaciones definidas entre funciones así como conocer la clasificación de éstas y sus características. 1.6.1.- Operaciones
Anexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro
RELACIONES DE RECURRENCIA
Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta. Objetivos específicos
Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Descomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
1. División de polinomios por monomios
1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que
Divisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:
Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x 3 b) 2x 3 6x 2 + 4x c) 10x 3 5x 2 d) x 4 x 3 + x 2 x a) 9x 2 +6x 3 = 3(3x 2 + 2x 1) b) 2x 3 6x 2 + 4x = 2x(x
Polinomios y fracciones algebraicas
UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,
Álgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es
Ecuaciones diferenciales de orden superior
CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4.5 Obtención de una ecuación diferencial asta ahora el problema tratado ha sido: Obtener la solución general de una ED lineal homogénea con coeficientes
REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración
FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q.
FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS CON APLICACIONES EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL JORGE ALFONSO HERNÁNDEZ Profesor Titular de Matemática Facultad de Ciencias Económicas Universidad de El
UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS
UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto -generalmente en los primeros años de secundariaal estudio de los polinomios. Durante una temporada que parecía
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:
Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela
DIVISIBILIDAD SOLUCIÓN:
DIVISIBILIDAD 1. Si a, b y c son números naturales tales que c = a. b, se dice: a) c es divisor de a y de b. b) c es múltiplo de a y de b. c) a y b son múltiplos de c. Todo número descompuesto en un producto
Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ester Simó Mezquita Matemática Aplicada IV 1 1. Transformada de Laplace de una función admisible 2. Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff
Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.
mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx
mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Divisores de un número entero 2 2. Máximo común divisor
Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones
Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C
TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES
TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES
Polinomios y Fracciones Algebraicas
Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.
Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2
SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de
Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Matrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Dados = -+4i, z = 5-i, z = y z 4 =7i, calcular: a) ( - z ) z b) z 4 + z z 4 c) + z 4-5z d) + z -1 f) z g) ( + 1 ) 1 z z h) z 1 z i) z j) e) z -1 z + z 4 a)
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
1. Ecuaciones no lineales
1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar
Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
1. Encontrar el dominio de la función racional. 2. Encontrar los interceptos con x y y de la función racional.
1. Encontrar el dominio de la función racional. h(x) x 2 3x 1 (x 2 4)(x 2 + 11x + 24) Para encontrar el dominio de una función racional debemos encontrar los valores de la variable que hacen cero el denominador.
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Polinomios Definición: P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Raíces cuadradas y radicales
Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Departamento de Matemáticas
MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente
4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN
4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,
FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.
FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. Método de sustitución 5 3. Método de igualación 9 4. Método de eliminación 13 5. Conclusión 16 1 Sistemas de ecuaciones
MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
9.Método de integración por partes.-
Matemáticas de º de bachillerato página 6 Integral indefinida P P P Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: Sea u() una función. Para abreviar la epresaremos por
Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina
Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción
Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar
Qué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Operaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
218 Ecuaciones diferenciales. ) r 2 D 4: 9. y.4/ C y 000 3y 00 5y 0 2y D y.4/ 16y D y.4/ C 2y 00 C y D y.7/ 2y.5/ C y.3/ D 0.
218 Ecuaciones diferenciales Ejemplo 4.4.18 Resolver la ecuación diferencial y.7/ C 8y.5/ C 16y.3/ D 0. Proponiendo como solución y D e rx, se obtiene la ecuación característica r 7 C 8r 5 C 16r 3 D 0;
TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.
NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +
Diagonalización de matrices
diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla
Números y desigualdades
1/59 Números y desigualdades 2/59 Distintas clases de números 3/59 Números naturales Los números naturales 1,2,3,.... El conjunto de todos ellos se representa por N. 4/59 Números enteros Los números enteros...,-2,-1,0,1,2,...
Polinomios y Ecuaciones
Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números
Dominios de factorización única
CAPíTULO 3 Dominios de factorización única 1. Dominios euclídeos En la sección dedicada a los números enteros hemos descrito todos los ideales de Z. En este apartado introducimos una familia de anillos
4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
3 Polinomios y fracciones algebráicas
Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los
Clasificación de métricas.
Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender
ETS Caminos Santander. Curso 2012. Ejercicios de introducción a la programación.
Ejercicio 1. Saludo. El programa preguntará el nombre al usuario y a continuación le saludará de la siguiente forma "Hola, NOMBRE" donde NOMBRE es el nombre del usuario. Ejercicio 2. Suma. El programa
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Estudio de ceros de ecuaciones funcionales
Capítulo 1 Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) = 4 x, dando un intervalo 5 donde se localicen. Solución: Denimos f(x) = arctan(x)
Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Métodos de solución de ED de primer orden
CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos
1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y
UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y
Definición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes
Álgebra y Trigonometría CNM-108
Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO.
342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO. ALGUNAS APLICACIONES A LA TEORIA DE LAS FORMAS BINARIAS. Encontrar una forma cuya duplicación produce una forma dada del género principal. Puesto que los elementos
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización
TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:
EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] IR IR una función continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que
VII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:
Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número
SESION 4. 1. El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales
SESION. El comando Integrate. Aproimación de integrales definidas. Integración de funciones racionales . El comando Integrate El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo
E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
DESIGUALDADES E INTERVALOS
DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen
XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)
Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo
Polinomios y fracciones algebraicas
0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica